Wat is het verschil tussen vectoren en tensoren? (uitgelegd) - Alle Verschillen

 Wat is het verschil tussen vectoren en tensoren? (uitgelegd) - Alle Verschillen

Mary Davis

Tensoren zijn complexe matrices die specifieke en verschillende eigenschappen hebben. Niet elke veelzijdige verzameling is een tensor.

Er zijn twee soorten eendimensionale tensoren: vectoren en co-vectoren. Zowel vectoren als co-vectoren kunnen worden voorgesteld als een toegankelijke matrix van getallen.

Het enige verschil is dat het koppelen van die twee komt wanneer je een verscheidenheid aan cijfers hebt die het object op één basis vertegenwoordigen en je wilt uitzoeken welke cijfers hetzelfde op een andere grond compliceren.

Transformatietekens en -regels zijn enigszins verschillend voor vectoren en co-vectoren. Vectoren en co-vectoren zijn gewoonlijk respectievelijk "kolommen van getallen" of "lijnen van getallen".

Vector- en tensorverschil

Kortom, een vector is altijd een eendimensionale tensor; als je een eendimensionale tensor hebt, zal het zeker een vector of co-vector zijn. Tweedimensionale tensoren staan bekend als matrices.

Er zijn vier verschillende soorten tweedimensionale tensoren, maar er bestaan geen specifieke namen. In het geval van vectoren zijn de transformatieregels iets anders als je van de ene basis naar de andere gaat, maar er zijn geen specifieke namen voor deze tensoren: het zijn alleen matrices.

Vroeg of laat kunnen ze elke tweedimensionale matrix een "matrix" noemen, zelfs als het geen tensor is. Nogmaals, voor meer details over het verschil tussen matrix en tensor, zie de eerdere bespreking.

Wat u moet weten over tensoren

Tensoren zijn complexe matrices die specifieke en verschillende eigenschappen hebben.

Tensors zijn wiskundige objecten die kunnen worden gebruikt om wezenlijke eigenschappen te beschrijven, net als scalars en vectoren. Tensors zijn eenvoudigweg een samenstelling van scalars en vectoren; een scalar is een tensor van de 0e rang, en een vector is een tensor van de 1e rang.

De rang van een tensor wordt bepaald door het aantal richtingen (en dus de dimensionaliteit van de matrix) dat nodig is om hem te definiëren. Zo kunnen eigenschappen die één benadering vereisen (of eerste rang) gemakkelijk worden beschreven door een 3×1 kolomvector.

Voorts kunnen eigenschappen die twee orden vereisen (tensoren van de tweede rang) worden gedefinieerd door negen getallen, zoals in een 3×3 matrix in het algemeen 3n coëfficiënten de n-de rang tensor kunnen beschrijven.

Het vereiste van tensoren van de tweede rang komt wanneer we moeten nadenken over meer dan één richting om 1 van deze fysische aspecten te beschrijven.

Een perfect voorbeeld hiervan is als we de elektrische geleiding van een isotroop kristal moeten bepalen. We weten dat isotrope geleiders in het algemeen moeten voldoen aan de wet van Ohm en dat is; j=σE. Dit betekent dat de stroomdichtheid j evenwijdig is aan het toegewijde elektrische veld, E en dat elk deel van j lineair evenredig is met elk element van E. (bijv. j1 = σE1).

Componenten van het elektrisch veld
j1 = σ11E1 + σ12E2 + σ13E3
j2 = σ21E1 + σ22E2 + σ23E3
j3 = σ31E1 + σ32E2 + σ33E3

Componenten van het elektrisch veld

De in een anisotroop materiaal geïnduceerde stroomdichtheid zal echter niet noodzakelijk parallel lopen met het betrokken elektrisch veld, vanwege de verschillende stroomrichting van het kristal (een uitstekend voorbeeld hiervan is in grafiet). Dit suggereert dat in het algemeen elke component van de bestaande dichtheidsvector kan steunen op alle onderdelen van het aanwezige elektrisch veld.

Dus, in het algemeen, De elektrische geleiding is een tensor van de tweede rang en kan worden bepaald door negen onafhankelijke coëfficiënten, die kan worden geïllustreerd in een 3×3 matrix.

Dit betekent dat de stroomdichtheid j evenwijdig is aan het specifieke elektrische veld, E en dat elk deel van j lineair evenredig is met per veld.

Enkele voorbeelden van tweede-rangs-tanoren

Enkele andere voorbeelden van tensoren van de tweede rang zijn:

  • Elektrische gevoeligheid
  • Thermische geleidbaarheid
  • Stress

Zij relateren in het algemeen een vector aan een andere vector of een andere tensor van de tweede rang aan een scalair. Tensoren van een hogere rang worden geïnstrueerd om eigenschappen die twee tensoren van de tweede rang vertellen (bv. Stijfheid (4e rang): spanning en rek) of een tensor van de tweede rang en een vector (bv. Piëzo-elektriciteit (3e rang): angst en polarisatie) volledig te beschrijven.

Om deze en meer voorbeelden te bekijken en te onderzoeken hoe het veranderen van de componenten van de tensoren deze eigenschappen beïnvloedt, kunt u het onderstaande flash-programma doorlopen.

Inleiding tot tensoren

Wat is een vector?

Een vector is een 1-dimensionale matrix van getallen, een matrix waarbij m of n gelijk is aan 1. Net als met een matrix kunnen op een vector verschillende wiskundige bewerkingen worden uitgevoerd, en het is gemakkelijk om matrices te vermenigvuldigen met vectoren en omgekeerd.

Een tensor kan echter worden beschouwd als een gegeneraliseerde matrix die zijn rang kan beschrijven.

De rang van een tensor is een geheel getal van 0 of hoger. Een scalar kan een tensor met rang 0 voorstellen, een tensor met rang één kan worden voorgesteld door een vector, en een matrix kan een tensor met rang twee voorstellen. Er zijn ook tensoren met rang drie en hoger, waarvan de laatste moeilijker te visualiseren zijn.

Naast de rangorde hebben tensoren specifieke kenmerken in verband met de wijze waarop zij met elkaar wiskundige entiteiten interageren. Als een van de entiteiten in een interactie de andere entiteit of entiteiten transformeert, moet de tensor aan een soortgelijke transformatieregel gehoorzamen.

Verschil tussen vectoren en tensoren

Vector is een eendimensionale matrix van getallen, vaak matrix genoemd, waarbij m of n = één.

Alle vectoren zijn meestal tensoren. Maar alle tensoren kunnen geen vectoren zijn. Dit betekent dat tensoren een wijder verspreid object zijn dan een vector (strikt genomen, hoewel wiskundigen tensoren samenstellen door middel van vectoren). Tensoren worden technisch beschreven aan de hand van twee verschillende objecten:

  • Vectoren
  • Eenvormen ("dubbele" vectoren)

Vectoren zijn uitsluitend objecten waarvan je weet wat tellen van twee ervan (vectoroptelling) betekent voor schaalvergroting (ook bekend als scalaire vermenigvuldiging).

De ene vorm heeft eveneens dezelfde begrippen; afgezien daarvan kan hij op vectoren werken en vervolgens scalars teruggeven. De meest prototypische voorbeelden zijn Euclidische vectoren -punten van de ruimte.

Voorbeelden van one-forms zijn de magnetische potentiële "vector" (het is geen "echte" vector) of de gradiëntoperator .

Wanneer je andere passende aannames toevoegt, is de belangrijkste eigenschap dat eenvormen en vectoren op de een of andere manier converteren onder een verandering van coördinaten. Dit zijn de eigenschappen waarover natuurkundigen zich het vaakst zorgen maken wanneer zij overleg plegen over zaken als de algemene relativiteitstheorie.

Tensoren zijn, bij uitbreiding, als wiskundige objecten "multilineaire" operatoren; dit wil zeggen dat zij reeksen vectoren (en éénvormen) opnemen en een andere tensor teruggeven (in tegenstelling tot lineaire operatoren, die vectoren opnemen en vectoren teruggeven). Deze hebben uiteenlopende toepassingen.

Zie ook: Wat is een gemakkelijke manier om het verschil tussen een miljoen en een miljard te laten zien? (Onderzocht) - Alle Verschillen

Stel dat je de algemene theorie van tensoren wilt begrijpen. In dat geval zou je abstracte algebra en ongelooflijke lineaire algebra) moeten begrijpen, en als je tensor calculus gaat begrijpen, zou je ook de theorie van differentieerbare manifolds moeten begrijpen.

Laatste gedachten

In dit artikel heb je dat geleerd:

  • Tensoren zijn multidimensionale arrays met verschillende eigenschappen.
  • Niet elke veelzijdige verzameling is een tensor.
  • Een vector is altijd een eendimensionale tensor, en een eendimensionale tensor is altijd ofwel een vector ofwel een co-vector. Matrix is de naam voor tweedimensionale tensoren.
  • Een vector is een eendimensionale matrix van getallen, vaak matrix genoemd, waarbij m of n = 1. Een vector kan, net als een matrix, worden gebruikt om allerlei wiskundige bewerkingen uit te voeren, en het is eenvoudig om matrices te vermenigvuldigen met vectoren en omgekeerd.
  • Anderzijds kan een tensor worden opgevat als een veralgemeende matrix die wordt beschreven door zijn rang.

Verwante artikelen

Tovenaar vs. Warlock (Wie is sterker?)

Zie ook: Mars Bar VS Milky Way: Wat is het verschil? - All The Differences

Verschillende soorten steaks (T-Bone, Ribeye, Tomahawk, en Filet Mignon)

Verschillen tussen de Cessna 150 en Cessna 152 (vergelijking)

Mary Davis

Mary Davis is een schrijver, maker van inhoud en een fervent onderzoeker, gespecialiseerd in vergelijkingsanalyse over verschillende onderwerpen. Met een graad in journalistiek en meer dan vijf jaar ervaring in het veld, heeft Mary een passie voor het leveren van onpartijdige en duidelijke informatie aan haar lezers. Haar liefde voor schrijven begon toen ze jong was en is een drijvende kracht geweest achter haar succesvolle schrijfcarrière. Mary's vermogen om onderzoek te doen en bevindingen te presenteren in een gemakkelijk te begrijpen en boeiende vorm heeft haar geliefd gemaakt bij lezers over de hele wereld. Als ze niet aan het schrijven is, houdt Mary van reizen, lezen en tijd doorbrengen met familie en vrienden.