तुम्हाला रेखीय आणि घातांकीय कार्यांमधील फरक माहित आहे का? तुम्ही विद्यार्थी किंवा व्यावसायिक असाल, गणितीय समीकरणांसह कार्य करण्यासाठी रेखीय आणि घातांकीय कार्यांमधील फरक समजून घेणे आवश्यक आहे.

या ब्लॉग पोस्टमध्ये, आम्‍ही रेखीय आणि घातांकीय फंक्‍शनमध्‍ये फरक करू, संकल्पना समजावून सांगू आणि अनेक वास्तविक-जगाची उदाहरणे देऊ. हे पोस्ट वाचल्यानंतर, तुम्हाला रेखीय आणि घातांकीय फंक्शन्सची सुधारित समज मिळेल आणि ते तुमच्या स्वतःच्या कामात लागू करू शकाल.

रेखीय कार्ये समजून घेणे

रेखीय कार्ये ही समीकरणे आहेत y = mx + b या स्वरूपात व्यक्त केले जातात, जेथे m हा उतार आहे, b हा y-इंटरसेप्ट आहे आणि x इनपुट आहे.

रेषीय फंक्शन्स रेषीय संबंधांचे प्रतिनिधित्व करण्यासाठी उपयुक्त आहेत जसे की कालांतराने लोकसंख्येची वाढ. द्विमितीय आलेखावर आलेख केल्यावर रेखीय कार्ये सरळ रेषा असतात.

रेषीय कार्ये देखील घातांकीय कार्यांशी संबंधित आहेत, जे ही समीकरणे y = a * b^x या स्वरूपात व्यक्त केली जातात. घातांकीय वाढ दर्शवण्यासाठी घातांकीय कार्ये वापरली जातात, जसे की कालांतराने लोकसंख्या वाढ किंवा पेट्री डिशमध्ये बॅक्टेरियाची वाढ

लिनियर फंक्शन्सची वैशिष्ट्ये

रेषीय फंक्शन्स ही सर्वात मूलभूत प्रकारची फंक्शन्स आहेत जी व्हेरिएबल्समधील संबंधांचे वर्णन करण्यासाठी वापरली जाऊ शकतात. बदलाचा स्थिर दर आणि y=mx+b फॉर्मचे एक रेखीय समीकरण द्वारे त्यांचे वैशिष्ट्य आहे.

• एक रेखीय फंक्शनमध्ये नेहमी m चा उतार असतो, जो दोन बिंदूंमधील बदलाचा दर असतो आणि y-इंटरसेप्ट, ज्या बिंदूवर रेषा y-अक्ष ओलांडते. रेखीय फंक्शनची रेषा नेहमी सरळ असते आणि ती कधीही वक्र किंवा वाकत नाही.
• कोणत्याही रेखीय कार्याचा आलेख नेहमी मूळ उत्पत्तीमधून जातो, याचा अर्थ तो नेहमी (0) पासून सुरू होईल ,0). हे रेखीय फंक्शन्स दोन व्हेरिएबल्समधील साध्या संबंधांचे वर्णन करण्यासाठी विशेषतः उपयुक्त बनवते ज्याचे मोजमाप अंकीय पद्धतीने केले जाऊ शकते.स्केल.

रेषीय फंक्शन्ससह कार्य करणे आणि इतर प्रकारच्या फंक्शन्सपेक्षा अंदाज करणे सामान्यतः सोपे असते कारण बदलाचा दर नेहमीच स्थिर असतो. व्हेरिएबल्समधील तुलनेने सोप्या संबंधांची गणना करण्यासाठी हे त्यांना आदर्श बनवते.

लिनियर फंक्शन्सची उदाहरणे

लीनियर फंक्शन्स हे फंक्शनचे एक प्रकार आहेत जिथे आउटपुट इनपुटच्या प्रमाणात असते. ग्राफिकदृष्ट्या, आलेखावर प्लॉट केल्यावर रेखीय कार्ये सरळ रेषा तयार करतात.

रेषीय फंक्शन्सच्या उदाहरणांमध्ये y = 2x + 1 सारखी सरळ रेषा समीकरणे तसेच y = mx + b सारखी अधिक क्लिष्ट फॉर्म समाविष्ट आहेत.

रेखीय फंक्शन्सच्या विपरीत, घातांकीय फंक्शन्स घातांक दराने वाढतात किंवा कमी करतात. दुसऱ्या शब्दांत, इनपुटनुसार आउटपुट वेगाने वाढते किंवा कमी होते. ग्राफिकली, आलेखावर प्लॉट केल्यावर घातांकीय कार्ये वक्र रेषा तयार करतात. घातांकीय फंक्शन्सच्या उदाहरणांमध्ये y = 2^x आणि y = a^x सारखी समीकरणे समाविष्ट आहेत, जेथे a हा स्थिरांक आहे.

रेषीय कार्यांची काही उदाहरणे समाविष्ट आहेत:

1. y = 3x + 1
2. y = 2x + 5
3. y = 5
4. y = -2x + 7

या रेषीय फंक्शन्सचा आलेख सरळ रेषा दर्शविण्यासाठी केला जाऊ शकतो. जसजसे इनपुट वाढते तसतसे रेखीय कार्याचे आउटपुट स्थिर दराने वाढते. उदाहरणार्थ, समीकरण y = 2x + 5 मध्ये, जसे इनपुट वाढते, दआउटपुट 2 ने वाढते. हे रेखीय फंक्शनचे परिभाषित वैशिष्ट्य आहे.

एक्सपोनेन्शिअल फंक्शन्स समजून घेणे

एक्सपोनेन्शिअल फंक्शन हे f(x) = ax चे गणितीय कार्य आहे, जेथे a ही सकारात्मक वास्तविक संख्या 1 च्या बरोबरीची नाही आणि x ही वास्तविक संख्या आहे. लोकसंख्या वाढ, किरणोत्सर्गी क्षय आणि कंपाऊंड व्याज यांसारख्या वास्तविक-जगातील घटनांचे प्रतिनिधित्व करण्यासाठी या प्रकारच्या फंक्शनचा वापर केला जातो.

एक्सपोनेन्शिअल फंक्शन्सचे वर्णन y = a^x या समीकरणाने केले जाऊ शकते. , जिथे a ही सकारात्मक वास्तविक संख्या आहे (1 पेक्षा जास्त) बेस म्हणतात आणि x ही वास्तविक संख्या आहे. आलेख किती वाढतो किंवा कमी होतो हे बेस ठरवतो. उदाहरणार्थ, जर आधार 2 असेल, तर आलेख 1 चा आधार असलेल्या आलेखापेक्षा दुप्पट वेगाने वाढतो.

घातांकीय कार्यांना एक विशिष्ट आकार असतो. x-मूल्य जसजसे वाढते तसतसे, y-मूल्य झपाट्याने वाढू किंवा कमी होऊ शकते. याचा अर्थ घातांकीय फंक्शनच्या बदलाचा दर स्थिर नसतो आणि फंक्शनच्या आलेखाचा काही बिंदूंवर इतरांपेक्षा जास्त उतार असतो.

रेषीय फंक्शन्सच्या विपरीत, ज्यांचा उतार नेहमी समान असतो , x च्या मूल्यानुसार घातांकीय फंक्शन्समध्ये भिन्न उतार असू शकतात. याचे कारण म्हणजे फंक्शनचा वाढीचा दर x

घातांकीय कार्यांची वैशिष्ट्ये

घातांकीय कार्ये गणितीय आहेतदोन चलांचा समावेश असलेली समीकरणे: घातांक (किंवा शक्ती) आणि आधार.

• लोकसंख्या वाढ, चक्रवाढ व्याज, किरणोत्सर्गी क्षय आणि बरेच काही यासह अनेक घटनांचे वर्णन करण्यासाठी घातांकीय कार्ये वापरली जातात. त्यांच्याकडे अनेक अद्वितीय वैशिष्ट्ये आहेत जी त्यांना उपयुक्त बनवतात. समस्या सोडवण्यामध्ये.
• घातांकीय फंक्शन्सचे एक वैशिष्ट्य म्हणजे ते सतत वाढीचा किंवा क्षय दराचा समावेश करतात. वाढीचा किंवा क्षयचा हा दर फंक्शनच्या बेसद्वारे निर्धारित केला जातो, जो सामान्यत: एकापेक्षा मोठा असतो. जसजसा आधार वाढतो तसतसा वाढीचा किंवा क्षय होण्याचा दर वाढतो. याचा अर्थ घातांक त्वरीत मोठ्या संख्येने निर्माण करू शकतात.
• एक्सपोनेन्शिअल फंक्शन्समध्ये अशी गुणधर्म देखील असतात की आउटपुट मूल्य अत्यंत मोठे किंवा लहान असू शकते. याचे कारण असे की घातांक स्वतः एक चल आहे, जे याचा अर्थ असा की बेसची शक्ती अत्यंत मोठ्या आकारात वाढू शकते. हे दीर्घकालीन वाढ किंवा क्षय यांचे वर्णन करण्यासाठी घातांकीय कार्ये उपयुक्त बनवते.

घातांकीय कार्यांची उदाहरणे

घातांकीय कार्ये ही एक प्रकारची गणितीय समीकरणे आहेत जी बहुधा लोकसंख्या वाढीचे मॉडेल करण्यासाठी वापरली जातात, व्हायरल मार्केटिंग आणि इतर अनेक वास्तविक-जगातील परिस्थिती. ते समीकरण y = bx द्वारे दर्शविले जाऊ शकतात, जेथे b फंक्शनचा आधार आहे आणि x हे इनपुट मूल्य आहे.

एक्सपोनेन्शियल फंक्शन्ससह कार्य करणे अधिक कठीण आहेरेखीय कार्ये पेक्षा. याचे कारण असे की घातांकीय समीकरणाचे आउटपुट जितके वेगाने वाढते तितक्या वेगाने इनपुट वाढते. यामुळे घातांकीय समीकरणाच्या आउटपुटचा अंदाज लावणे कठिण होऊ शकते.

रेखीय आणि घातांकीय कार्यांमधील फरक

रेषीय आणि घातांकीय कार्ये ही दोन प्रकारची गणितीय कार्ये अनेक उद्योगांमध्ये वापरली जातात. दोन प्रकारच्या फंक्शन्समध्ये वेगळे गुणधर्म आहेत जे त्यांना वेगवेगळ्या ऍप्लिकेशन्ससाठी योग्य बनवतात.

रेखीय फंक्शन्स ही समीकरणे आहेत जी आलेख केल्यावर सरळ रेषा तयार करतात. रेखीय फंक्शनचे समीकरण सहसा या स्वरूपात लिहिले जाते: y = mx + b , जेथे m हा उतार आहे आणि b हा y-इंटरसेप्ट आहे.

रेखीय फंक्शन्स दोन व्हेरिएबल्समधील साध्या संबंधांचे प्रतिनिधित्व करण्यासाठी वापरली जाऊ शकतात आणि भविष्यातील मूल्यांचा अंदाज लावण्यासाठी उपयुक्त आहेत.

एक्सपोनेन्शिअल फंक्शन्स , दुसरीकडे, आलेख केल्यावर वक्र रेषा निर्माण करणारी समीकरणे आहेत. घातांकीय कार्याचे समीकरण सहसा या स्वरूपात लिहिले जाते: y = ab^x , जेथे a हे प्रारंभिक मूल्य आहे आणि b हे बदलाचा दर आहे.

एक्सपोनेन्शिअल फंक्शन्सचा वापर वाढ आणि क्षय मॉडेल करण्यासाठी केला जातो आणि व्हेरिएबल्समधील जटिल संबंधांचे वर्णन करण्यासाठी वापरला जाऊ शकतो.

सामान्यत:, रेखीय कार्ये सोप्यासाठी वापरली जातात समस्या, तर घातांकीय कार्ये यासाठी वापरली जातातअधिक जटिल समस्या. कोणते फंक्शन वापरायचे याची निवड समस्येचे स्वरूप आणि उपलब्ध डेटावर अवलंबून असते.

जर डेटा रेखीय असेल तर रेखीय कार्य अधिक योग्य आहे, जर डेटा अधिक जटिल असेल तर घातांकीय कार्य अधिक योग्य असू शकते

वास्तविक- काय आहेत रेखीय आणि घातांकीय कार्यांचे जागतिक अनुप्रयोग?

रेखीय आणि घातांकीय कार्ये वास्तविक-जगातील समस्यांवर लागू केली जाऊ शकतात. रेखीय फंक्शन्सचा वापर दोन व्हेरिएबल्समधील संबंधांचे वर्णन करण्यासाठी केला जातो जे सातत्यपूर्ण दराने बदलतात.

या फंक्शन्सचा वापर लोकसंख्या वाढ, वेग आणि अंतर यासारख्या विविध वास्तविक-जगातील परिस्थितींचे मॉडेल करण्यासाठी केला जाऊ शकतो.

वास्तविक-जागतिक समस्यांचे मॉडेल करण्यासाठी घातांकीय कार्ये देखील वापरली जाऊ शकतात. या फंक्शन्सचा वापर अशा परिस्थितीचे वर्णन करण्यासाठी केला जातो जिथे एक व्हेरिएबल प्रत्येक वेळेच्या टप्प्यात विशिष्ट टक्केवारीने वाढतो किंवा कमी होतो.

एक्सपोनेन्शिअल फंक्शन्स बहुतेक वेळा लोकसंख्या वाढ, चक्रवाढ व्याज, लोकसंख्या घट आणि प्रसार मॉडेल करण्यासाठी वापरली जातात व्हायरसचे.

रेखीय आणि घातांकीय कार्यांबद्दल वारंवार विचारले जाणारे प्रश्न

रेखीय आणि घातांकीय कार्यांमध्ये काय फरक आहे?

रेखीय फंक्शन्समध्ये कोणत्याही दोन बिंदूंमधील बदलाचा दर स्थिर असतो, तर घातांकीय फंक्शन्समध्ये बदलाचा दर वाढतो.

रेखांकन केल्यावर रेखीय कार्ये सरळ रेषा तयार करतात, घातांकीय कार्ये तयार करतानावक्र रेषा.

मी रेखीय किंवा घातांकीय कार्य कसे ओळखू?

लीनियर फंक्शन्स अशी आहेत जी y = mx + b या स्वरूपात लिहिली जाऊ शकतात, जिथे m स्थिरांक आहे.

एक्सपोनेन्शिअल फंक्शन्स अशी आहेत जी y = bx^a या स्वरूपात लिहिली जाऊ शकतात, जिथे a आणि b स्थिरांक आहेत.

डेटाचा कोणता प्रकार उत्तम प्रकारे दर्शविला जातो रेखीय किंवा घातांकीय कार्ये?

रेखीय कार्ये सामान्यत: रेखीय डेटा दर्शवण्यासाठी वापरली जातात जसे की वेळेनुसार लोकसंख्या वाढ किंवा वेळेनुसार प्रवास केलेले अंतर.

एक्सपोनेन्शिअल फंक्शन्स सामान्यत: लोकसंख्येची वाढ किंवा लोकसंख्येतील घट यासारख्या वेगाने वाढणाऱ्या किंवा कमी होणाऱ्या डेटाचे प्रतिनिधित्व करण्यासाठी वापरली जातात.

निष्कर्ष

• शेवटी, रेखीय आणि घातांकीय फंक्शन्समध्ये खूप भिन्न वैशिष्ट्ये आणि वर्तन असू शकते.
• रेखीय फंक्शन्स ही फंक्शन्स आहेत ज्यांचा आलेख एक रेषा आहे आणि घातांक फंक्शन्स अशी फंक्शन्स आहेत ज्यांच्या आलेखामध्ये वाढता किंवा कमी होणारा वक्र असू शकतो.
• रेखीय फंक्शन्समध्ये बदलाचा दर स्थिर असतो, तर घातांकीय फंक्शन्समध्ये बदलाचा दर वाढतो किंवा कमी होतो.
• बदलाच्या दरातील हा फरक रेखीय आणि घातांकीय कार्यांचे वर्तन एकमेकांपेक्षा खूप वेगळे बनवतो.

• फ्लेवर्ड कॉफीमध्ये कॅफीन असते का? (किती?)
• कॉफी-मेट तुमच्यासाठी वाईट आहे का? (वाचलेच पाहिजे)
• चा इतिहासकॉफी (भूतकाळातील कथा)
• कॉफीमुळे लोहाचे शोषण वाढते का? (स्पष्टीकरण)