સંભાવના એ ગણિતની એક શાખા છે જે ડેટાના આપેલ સેટ માટે બનતી ચોક્કસ ઘટનાની આગાહીનું પ્રમાણ નક્કી કરે છે. તે ઇચ્છિત પરિણામ મેળવવાની સંભાવના માટે ગાણિતિક અર્થઘટન આપે છે.

કોઈપણ ઘટના બનવાની સંભાવના શૂન્ય અને એકની વચ્ચે આવે છે. શૂન્ય સૂચવે છે કે તે ઘટના બનવાની કોઈ શક્યતાઓ અથવા સંભાવનાઓ નથી, અને તે દર્શાવે છે કે કોઈ ચોક્કસ ઘટના બનવાની સંભાવના 100% છે.

સંભાવનાનો અભ્યાસ અમને સંભાવનાઓની આગાહી અથવા નિર્ણય કરવા સક્ષમ બનાવે છે કોઈપણ ઇચ્છિત ઘટનાની સફળતા અથવા નિષ્ફળતા અને તેને સુધારવા માટે પગલાં લો.

ઉદાહરણ તરીકે, જ્યારે નવી પ્રોડક્ટનું પરીક્ષણ કરવામાં આવે છે, ત્યારે નિષ્ફળતાની ઉચ્ચ સંભાવના એ ઓછી ગુણવત્તાવાળી પ્રોડક્ટ દર્શાવે છે. નિષ્ફળતા અથવા સફળતાની શક્યતાઓને માપવાથી ઉત્પાદકોને તેમના ઉત્પાદનની ગુણવત્તા અને અનુભવ સુધારવામાં મદદ મળી શકે છે.

ડેટા એનાલિટિક્સમાં, દ્વિપક્ષીય ડેટામાં સંભાવના શોધવા માટે સીમાંત અને શરતી વિતરણનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. પરંતુ આપણે તેમાં જઈએ તે પહેલાં, ચાલો કેટલીક મૂળભૂત બાબતો પર જઈએ.

સંભાવનાની મૂળભૂત બાબતો

સંભાવનામાં વારંવાર વપરાતો શબ્દ ‘રેન્ડમ વેરીએબલ’ છે. રેન્ડમ વેરીએબલનો ઉપયોગ રેન્ડમ ઘટનાના પરિણામોને માપવા માટે કરવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ તરીકે, શાળા તેમની અગાઉની પરીક્ષાઓના આધારે, આગામી પરીક્ષાઓમાં ગણિતમાં તેમના વિદ્યાર્થીઓના પ્રદર્શનની આગાહી કરવા સંશોધન કરે છે. કામગીરી સંશોધન કુલ 110 ની સંખ્યા સુધી મર્યાદિત છે6 થી 8 ધોરણ સુધીના વિદ્યાર્થીઓ. જો રેન્ડમ ચલ “X” ને પ્રાપ્ત ગ્રેડ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. નીચેનું કોષ્ટક એકત્રિત ડેટા દર્શાવે છે:

ડેટા સેમ્પલ

P (X=A+) = 14/110 = 0.1273

0.1273 *100=12.7%

આ બતાવે છે કે લગભગ 12.7% વિદ્યાર્થીઓ સ્કોર કરી શકે છે તેમની આગામી પરીક્ષાઓમાં A+ માટે.

જો શાળાઓ પણ તેમના વર્ગોના સંદર્ભમાં વિદ્યાર્થીઓના ગ્રેડનું વિશ્લેષણ કરવા માંગતી હોય તો શું થશે. તો A+ સ્કોર કરનારા 12.7% વિદ્યાર્થીઓમાંથી કેટલા 8મા ધોરણના છે?

એક જ રેન્ડમ વેરીએબલ સાથે કામ કરવું ખૂબ જ સરળ છે, પરંતુ જ્યારે તમારો ડેટા બે રેન્ડમ ચલોના સંદર્ભમાં વિતરિત કરવામાં આવે છે , ગણતરીઓ થોડી જટિલ હોઈ શકે છે.

દ્વિપરિવર્તિત ડેટામાંથી સંબંધિત માહિતી કાઢવાની બે સૌથી સરળ રીતો સીમાંત અને શરતી વિતરણ છે.

સંભાવનાની મૂળભૂત બાબતોને દૃષ્ટિપૂર્વક સમજાવવા માટે, અહીં એક વિડિયો છે. મૅથ ઍન્ટિક્સમાંથી:

મૅથ ઍન્ટિક્સ – મૂળભૂત સંભાવના

માર્જિનલ ડિસ્ટ્રિબ્યુશનનો અર્થ શું છે?

સીમાંત વિતરણ અથવા સીમાંત સંભાવના એ અન્ય ચલથી સ્વતંત્ર ચલનું વિતરણ છે. તે ફક્ત બેમાંથી એક પર આધાર રાખે છેઅન્ય ઇવેન્ટની તમામ શક્યતાઓને સબમ કરતી વખતે બનતી ઘટનાઓ.

જ્યારે ડેટાને ટેબ્યુલર સ્વરૂપમાં રજૂ કરવામાં આવે ત્યારે સીમાંત વિતરણની વિભાવનાને સમજવી સરળ છે. સીમાંત શબ્દ સૂચવે છે કે તેમાં માર્જિન સાથેના વિતરણનો સમાવેશ થાય છે.

નીચેના કોષ્ટકો 6-8મા ધોરણના 110 વિદ્યાર્થીઓના ગ્રેડ દર્શાવે છે. અમે આ માહિતીનો ઉપયોગ તેમની આગામી ગણિતની પરીક્ષા,

ડેટા સેમ્પલ

આ ટેબલ અથવા સેમ્પલ ડેટાનો ઉપયોગ કરીને, અમે વિદ્યાર્થીઓની કુલ સંખ્યા અથવા ચોક્કસ ધોરણમાં વિદ્યાર્થીઓના સીમાંત વિતરણના સંદર્ભમાં ગ્રેડના સીમાંત વિતરણની ગણતરી કરી શકીએ છીએ.<1

સીમાંત વિતરણની ગણતરી કરતી વખતે અમે બીજી ઘટનાની અવગણના કરીએ છીએ.

ઉદાહરણ તરીકે, કુલ સંખ્યાના સંદર્ભમાં C મેળવનાર વિદ્યાર્થીઓના સીમાંત વિતરણની ગણતરી કરતી વખતેવિદ્યાર્થીઓ, અમે ફક્ત દરેક વર્ગ માટે વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યાનો સરવાળો કરીએ છીએ અને વિદ્યાર્થીઓની કુલ સંખ્યા સાથે મૂલ્યને પાસા કરીએ છીએ.

તમામ ધોરણોમાં સંયુક્ત રીતે C મેળવનાર વિદ્યાર્થીઓની કુલ સંખ્યા 19 છે.

અમે દરેક ધોરણમાં વિદ્યાર્થીઓનું સીમાંત વિતરણ નક્કી કરવા માટે પણ આ કોષ્ટકનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ. ઉદાહરણ તરીકે, 6ઠ્ઠા ધોરણમાં વિદ્યાર્થીઓનું સીમાંત વિતરણ 29/110 છે, જે 0.2636 આપે છે. આ મૂલ્યને 100 વડે ગુણાકાર કરવાથી 26.36% મળે છે.

તેવી જ રીતે, 7મા અને 8મા ધોરણમાં વિદ્યાર્થીઓનું સીમાંત વિતરણ અનુક્રમે 40% અને 33.6% છે.

શું શું શરતી વિતરણનો અર્થ છે?

નામ દ્વારા અર્થઘટન કરાયેલ શરતી વિતરણ, પૂર્વ અસ્તિત્વમાં રહેલી સ્થિતિ પર આધારિત છે. તે એક ચલની સંભાવના છે જ્યારે અન્ય ચલ આપેલ સ્થિતિ પર સેટ કરેલ છે.

શરતી વિતરણો તમને બે ચલોને લગતા તમારા નમૂનાનું વિશ્લેષણ કરવામાં સક્ષમ કરે છે. ડેટા એનાલિટિક્સમાં, ઘણીવાર ઘટના બનવાની સંભાવના અન્ય પરિબળ દ્વારા પ્રભાવિત થાય છે.

શરતી સંભાવના ડેટાના ટેબ્યુલર રજૂઆતનો ઉપયોગ કરે છે. આ નમૂનાના ડેટાના વિઝ્યુલાઇઝેશન અને વિશ્લેષણને સુધારે છે.

ઉદાહરણ તરીકે, જો તમે સરેરાશ જીવનનું સર્વેક્ષણ કરી રહ્યાં છોવસ્તીની અવધિ, ધ્યાનમાં લેવાના બે ચલો હોઈ શકે છે, તેમની દૈનિક સરેરાશ કેલરીની માત્રા અને શારીરિક પ્રવૃત્તિની આવર્તન. શરતી સંભાવના તમને વસ્તીના સરેરાશ આયુષ્ય પર શારીરિક પ્રવૃત્તિની અસરને સમજવામાં મદદ કરી શકે છે જો તેમની દૈનિક કેલરીની માત્રા 2500kcal કરતાં વધુ હોય અથવા તેનાથી ઊલટું.

જેમ કે આપણે દૈનિક કેલરીની માત્રા સેટ કરીએ છીએ < 2500kcal, અમે એક શરત મૂકી. આ સ્થિતિના આધારે, સરેરાશ આયુષ્ય પર શારીરિક પ્રવૃત્તિઓની અસર નક્કી કરી શકાય છે.

અથવા, એનર્જી ડ્રિંક્સની બે પ્રચલિત બ્રાન્ડ્સના વેચાણના વિચલનનું અવલોકન કરતી વખતે, બે ચલો જે તેના વેચાણને પ્રભાવિત કરે છે આ એનર્જી ડ્રિંક્સ તેમની હાજરી અને કિંમત છે. અમે ગ્રાહકોના ખરીદીના ઉદ્દેશ્ય પર કિંમતના પ્રભાવ અને બે એનર્જી ડ્રિંક્સની હાજરી નક્કી કરવા માટે શરતી સંભાવનાનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.

વધુ સારી રીતે સમજવા માટે, ચાલો સીમાંત વિતરણમાં વપરાતા સમાન ઉદાહરણને જોઈએ:

ડેટા સેમ્પલ

ઉદાહરણ તરીકે, તમે વિદ્યાર્થીઓની કુલ સંખ્યાને લગતા, C સ્કોર કરતા 6ઠ્ઠા ધોરણના વિદ્યાર્થીઓનું વિતરણ શોધવા માંગો છો. તમે ફક્ત 6ઠ્ઠા ધોરણમાં C સ્કોર કરનારા વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યાને ત્રણેય ધોરણોમાં C અંક મેળવનારા વિદ્યાર્થીઓની કુલ સંખ્યા વડે વિભાજિત કરો.

તેથી જવાબ b આવશે 4/19= 0.21

તેનો સો સાથે ગુણાકાર કરવાથી 21% મળે છે

C સ્કોર કરનાર 7મા ધોરણના વિદ્યાર્થીનું વિતરણ 7/19= 0.37 છે

તેની સાથે ગુણાકાર 100 37% આપે છે

અને 8મા ધોરણના વિદ્યાર્થીને C સ્કોર કરે છે તેનું વિતરણ 8/19= 0.42

તેને 100 સાથે ગુણાકાર કરવાથી 42.1% મળે છે

શરતી અને સીમાંત વિતરણ વચ્ચેનો તફાવત

શરતી અને સીમાંત વિતરણ વચ્ચેનો તફાવત

સીમાંત વિતરણ એ કુલ નમૂનાના સંદર્ભમાં ચલનું વિતરણ છે, જ્યારે શરતી વિતરણ અન્ય ચલ સંબંધિત ચલનું વિતરણ છે.

સીમાંત વિતરણ સ્વતંત્ર છેઅન્ય ચલના પરિણામોમાંથી. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, તે ફક્ત બિનશરતી છે.

ઉદાહરણ તરીકે, જો સમર કેમ્પમાં બાળકોના લિંગ માટે રેન્ડમ વેરીએબલ “X” અસાઇન કરવામાં આવ્યું હોય અને અન્ય રેન્ડમ ચલ “Y” આની ઉંમરને સોંપવામાં આવે તો પછી બાળકો,

સમર કેમ્પમાં છોકરાઓનું સીમાંત વિતરણ P(X=છોકરાઓ) દ્વારા આપી શકાય છે, જ્યારે 8 વર્ષથી ઓછી ઉંમરના છોકરાઓનું પ્રમાણ શરતી વિતરણ દ્વારા P( એક્સ = છોકરાઓ