Varbūtība ir matemātikas nozare, kas kvantitatīvi nosaka prognozi par noteikta notikuma iestāšanos konkrētam datu kopumam. Tā matemātiski interpretē vēlamā rezultāta iegūšanas varbūtību.

Jebkura notikuma iestāšanās varbūtība ir no nulles līdz vienai. Nulle nozīmē, ka nav nekādu izredžu vai varbūtības, ka šis notikums varētu notikt, bet viens nozīmē, ka noteikta notikuma iestāšanās varbūtība ir 100 %.

Varbūtības pētījumi ļauj mums paredzēt vai novērtēt jebkura vēlamā notikuma veiksmes vai neveiksmes izredzes un veikt pasākumus, lai tās uzlabotu.

Piemēram, testējot jaunu produktu, liela neveiksmes varbūtība nozīmē, ka produkts ir nekvalitatīvs. Kvantitatīva neveiksmes vai veiksmes varbūtības noteikšana var palīdzēt ražotājiem uzlabot produktu kvalitāti un pieredzi.

Datu analīzē, lai atrastu varbūtību divdimensiju datos, tiek izmantoti marginālie un nosacījuma sadalījumi. Bet, pirms mēs to sākam, aplūkosim dažus pamatus.

Varbūtības pamati

Bieži lietots varbūtības termins ir "nejaušais mainīgais". Nejaušo mainīgo izmanto, lai kvantitatīvi izteiktu nejauša notikuma iznākumu.

Piemēram, kāda skola veic pētījumu, lai prognozētu savu skolēnu sekmes matemātikā gaidāmajos eksāmenos, pamatojoties uz viņu iepriekšējiem rezultātiem. Pētījums aprobežojas ar 110 skolēniem no 6. līdz 8. standartam. Ja nejaušais mainīgais lielums "X" ir definēts kā iegūtās atzīmes. Tālāk tabulā ir parādīti iegūtie dati:

Datu paraugs

P(X=A+) = 14/110 = 0,1273

0.1273 *100=12.7%

Tas liecina, ka aptuveni 12,7 % skolēnu gaidāmajos eksāmenos var iegūt līdz pat A+.

Ko darīt, ja skolas vēlas analizēt arī skolēnu vērtējumus, ņemot vērā viņu klases. Tātad, cik no 12,7 % skolēnu, kas ieguvuši A+, pieder 8. klasei?

Darbība ar vienu nejaušo mainīgo ir diezgan vienkārša, taču, ja dati ir sadalīti, ņemot vērā divus nejaušos mainīgos, aprēķini var būt nedaudz sarežģītāki.

Divi vienkāršākie veidi, kā no divdimensiju datiem iegūt būtisku informāciju, ir marginālais un nosacījuma sadalījums.

Lai vizuāli izskaidrotu varbūtības pamatus, šeit ir Math Antics video:

Matemātikas antikvariāts - Varbūtības pamati

Ko nozīmē robežizplatījums?

Marginālais sadalījums jeb marginālā varbūtība ir mainīgā lieluma sadalījums, kas nav atkarīgs no otra mainīgā lieluma. Tas ir atkarīgs tikai no viena no diviem notikumiem, bet ietver visas otra notikuma iespējamības.

Marginālā sadalījuma jēdzienu ir vieglāk izprast, ja dati ir attēloti tabulārajā formā. Termins "marginālais" apzīmē, ka tas ietver sadalījumu gar malām.

Turpmākajās tabulās ir norādītas 110 skolēnu 6.-8. klases atzīmes. Šo informāciju varam izmantot, lai prognozētu vērtējumu gaidāmajā matemātikas eksāmenā,

Datu paraugs

Izmantojot šo tabulu vai izlases datus, mēs varam aprēķināt vērtējumu marginālo sadalījumu attiecībā pret kopējo skolēnu skaitu vai skolēnu marginālo sadalījumu konkrētā standartā.

Aprēķinot marginālo sadalījumu, mēs neņemam vērā otrā notikuma iestāšanos.

Piemēram, aprēķinot skolēnu, kuri ieguvuši C, robežizplatījumu attiecībā pret kopējo skolēnu skaitu, mēs vienkārši saskaitām katras klases skolēnu skaitu visā rindā un iegūto vērtību summējam ar kopējo skolēnu skaitu.

Kopējais to skolēnu skaits, kuri ieguva C visos standartos kopā, ir 19.

Dalot to ar kopējo skolēnu skaitu 6.-8. klasē: 19/110=0,1727.

Šo vērtību reizinot ar 100, iegūst 17,27%.

17,27 % no kopējā skolēnu skaita ieguva C.

Šo tabulu varam izmantot arī, lai noteiktu skolēnu robežizplatījumu katrā standartā. Piemēram, skolēnu robežizplatījums 6. standartā ir 29/110, kas ir 0,2636. Šo vērtību reizinot ar 100, iegūstam 26,36%.

Līdzīgi arī 7. un 8. klases skolēnu marginālais sadalījums ir attiecīgi 40 % un 33,6 %.

Ko nozīmē nosacījuma sadalījumi?

Nosacījuma sadalījums, kā to interpretē pēc nosaukuma, ir balstīts uz iepriekš pastāvošu nosacījumu. Tā ir viena mainīgā varbūtība, kamēr otrs mainīgais ir iestatīts uz noteiktu nosacījumu.

Nosacījuma sadalījumi ļauj analizēt izlasi attiecībā uz diviem mainīgajiem. Datu analīzē bieži vien kāda notikuma iestāšanās varbūtību ietekmē cits faktors.

Nosacījuma varbūtība izmanto datu tabulāro attēlojumu. Tas uzlabo izlases datu vizualizāciju un analīzi.

Piemēram, ja apsekojat iedzīvotāju vidējo mūža ilgumu, var ņemt vērā divus mainīgos lielumus - iedzīvotāju vidējo dienas kaloriju patēriņu un fizisko aktivitāšu biežumu. Nosacījuma varbūtība var palīdzēt jums noskaidrot fizisko aktivitāšu ietekmi uz iedzīvotāju vidējo mūža ilgumu, ja viņu dienas kaloriju patēriņš pārsniedz 2500 kcal vai otrādi.

Nosakot dienas kaloriju patēriņu <2500kcal, mēs izvirzījām nosacījumu. Pamatojoties uz šo nosacījumu, var noteikt fizisko aktivitāšu ietekmi uz vidējo dzīves ilgumu.

Vai arī, novērojot divu dominējošo enerģijas dzērienu zīmolu pārdošanas novirzi, divi mainīgie, kas ietekmē šo enerģijas dzērienu pārdošanu, ir to klātbūtne un cena. Mēs varam izmantot nosacīto varbūtību, lai noteiktu cenas un divu enerģijas dzērienu klātbūtnes ietekmi uz pircēju pirkšanas nodomu.

Lai to labāk saprastu, aplūkosim to pašu piemēru, kas izmantots marginālajā sadalījumā:

Datu paraugs

Piemēram, jūs vēlaties noskaidrot to 6. standarta skolēnu sadalījumu attiecībā pret kopējo skolēnu skaitu, kuri ieguvuši C. Jūs vienkārši dalāt to 6. standarta skolēnu skaitu, kuri ieguvuši C, ar to skolēnu kopējo skaitu visos trīs standartos, kuri ieguvuši C.

Tātad atbilde būs b 4/19= 0,21

To reizinot ar simts, iegūst 21%.

7. klases skolēna, kurš ieguvis C, punktu sadalījums ir 7/19 = 0,37.

To reizinot ar 100, iegūst 37%.

Un 8. klases skolēnu, kuri ieguvuši C punktu, sadalījums ir 8/19= 0,42.

Ja to reizina ar 100, iegūst 42,1%.

Atšķirība starp nosacīto un robeždalījumu

Atšķirība starp nosacīto un robeždalījumu

Marginālais sadalījums ir mainīgā lieluma sadalījums attiecībā pret visu izlasi, bet nosacījuma sadalījums ir mainīgā lieluma sadalījums attiecībā pret citu mainīgo lielumu.

Marginālais sadalījums ir neatkarīgs no otra mainīgā rezultāta. Citiem vārdiem sakot, tas ir vienkārši beznosacījumu sadalījums.

Piemēram, ja nejaušais mainīgais "X" tiek piešķirts bērnu dzimumam vasaras nometnē un cits nejaušais mainīgais "Y" tiek piešķirts šo bērnu vecumam, tad,

Vasaras nometnē esošo zēnu skaita robežšķirtni var izteikt ar P(X=zēni), bet to zēnu īpatsvaru, kuri ir jaunāki par 8 gadiem, var izteikt ar nosacījuma sadalījumu kā P(X=zēni).

Nobeiguma domas

Marginālais sadalījums parāda mainīgo dažādu vērtību varbūtības, nenorādot uz citiem mainīgajiem.

Tomēr nosacījuma sadalījums ir mainīgā lieluma varbūtība, ko aprēķina, ņemot vērā citu mainīgo lielumu.

Abas šīs varbūtības teorijas ir pareizas, un to pielietojums dažādās problēmās, gadījumos un scenārijos atšķiras.

Saistītie raksti