సంభావ్యత అనేది గణిత శాస్త్రంలో ఒక విభాగం, ఇది ఇచ్చిన డేటా సెట్ కోసం సంభవించే నిర్దిష్ట సంఘటన యొక్క అంచనాను గణిస్తుంది. ఇది ఆశించిన ఫలితాన్ని పొందే సంభావ్యతకు గణిత వివరణ ఇస్తుంది.

ఏదైనా సంఘటన సంభవించే సంభావ్యత సున్నా మరియు ఒకటి మధ్య వస్తుంది. సున్నా ఆ సంఘటన సంభవించే అవకాశాలు లేదా సంభావ్యత లేదని సూచిస్తుంది మరియు ఒక నిర్దిష్ట సంఘటన సంభవించే సంభావ్యత 100% అని సూచిస్తుంది.

సంభావ్యత అధ్యయనం మనకు అవకాశాలను అంచనా వేయడానికి లేదా నిర్ధారించడానికి వీలు కల్పిస్తుంది ఏదైనా కావలసిన ఈవెంట్ యొక్క విజయం లేదా వైఫల్యం మరియు దానిని మెరుగుపరచడానికి చర్యలు తీసుకోండి.

ఉదాహరణకు, కొత్త ఉత్పత్తిని పరీక్షించేటప్పుడు, వైఫల్యం యొక్క అధిక సంభావ్యత తక్కువ-నాణ్యత ఉత్పత్తిని సూచిస్తుంది. వైఫల్యం లేదా విజయం యొక్క అవకాశాలను లెక్కించడం తయారీదారులు వారి ఉత్పత్తి నాణ్యత మరియు అనుభవాన్ని మెరుగుపరచడంలో సహాయపడుతుంది.

డేటా విశ్లేషణలలో, ద్విపద డేటాలో సంభావ్యతను కనుగొనడానికి ఉపాంత మరియు షరతులతో కూడిన పంపిణీలు ఉపయోగించబడతాయి. కానీ మనం దానిలోకి వెళ్లే ముందు, కొన్ని ప్రాథమిక అంశాల ద్వారా వెళ్దాం.

సంభావ్యత యొక్క ప్రాథమికాలు

సంభావ్యతలో తరచుగా ఉపయోగించే పదం 'రాండమ్ వేరియబుల్'. యాదృచ్ఛికంగా జరుగుతున్న సంఘటన యొక్క ఫలితాలను లెక్కించడానికి యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ ఉపయోగించబడుతుంది.

ఉదాహరణకు, ఒక పాఠశాల వారి మునుపటి పరీక్షల ఆధారంగా రాబోయే పరీక్షలలో గణితంలో వారి పనితీరును అంచనా వేయడానికి పరిశోధనను నిర్వహిస్తుంది. పనితీరు. పరిశోధన మొత్తం 110 మందికి పరిమితమైంది6 నుండి 8 వ తరగతి వరకు విద్యార్థులు. యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ "X" పొందిన గ్రేడ్‌లుగా నిర్వచించబడితే. కింది పట్టిక సేకరించిన డేటాను చూపుతుంది:

డేటా నమూనా

P (X=A+) = 14/110 = 0.1273

0.1273 *100=12.7%

సుమారు 12.7% మంది విద్యార్థులు స్కోర్ చేయగలరని ఇది చూపిస్తుంది వారి రాబోయే పరీక్షలలో A+కి.

పాఠశాలలు కూడా వారి తరగతులకు సంబంధించి విద్యార్థుల గ్రేడ్‌లను విశ్లేషించాలనుకుంటే. కాబట్టి A + స్కోర్ చేసిన 12.7% మంది విద్యార్థుల్లో 8వ తరగతికి చెందిన వారు ఎంత మంది ఉన్నారు?

ఒకే యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్‌తో వ్యవహరించడం చాలా సులభం, అయితే మీ డేటా రెండు యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్‌లకు సంబంధించి పంపిణీ చేయబడినప్పుడు , గణనలు కొంచెం క్లిష్టంగా ఉండవచ్చు.

బివేరియేట్ డేటా నుండి సంబంధిత సమాచారాన్ని సంగ్రహించే రెండు అత్యంత సరళీకృత మార్గాలు ఉపాంత మరియు షరతులతో కూడిన పంపిణీ.

సంభావ్యత యొక్క ప్రాథమికాలను దృశ్యమానంగా వివరించడానికి, ఇక్కడ ఒక వీడియో ఉంది గణిత చేష్టల నుండి:

గణిత చేష్టలు – ప్రాథమిక సంభావ్యత

మార్జినల్ డిస్ట్రిబ్యూషన్ అంటే ఏమిటి?

మార్జినల్ డిస్ట్రిబ్యూషన్ లేదా మార్జినల్ ప్రాబబిలిటీ అనేది ఇతర వేరియబుల్ నుండి స్వతంత్రంగా వేరియబుల్ పంపిణీ. ఇది రెండింటిలో ఒకదానిపై మాత్రమే ఆధారపడి ఉంటుందిఇతర ఈవెంట్ యొక్క అన్ని అవకాశాలను ఉపసంహరించుకునేటప్పుడు జరిగే సంఘటనలు.

డేటా పట్టిక రూపంలో సూచించబడినప్పుడు ఉపాంత పంపిణీ భావనను అర్థం చేసుకోవడం సులభం. మార్జినల్ అనే పదం మార్జిన్‌ల వెంట పంపిణీని కలిగి ఉందని సూచిస్తుంది.

క్రింది పట్టికలు 6-8వ తరగతి నుండి 110 మంది విద్యార్థుల గ్రేడ్‌లను చూపుతాయి. మేము వారి రాబోయే గణిత పరీక్షకు గ్రేడ్‌ను అంచనా వేయడానికి ఈ సమాచారాన్ని ఉపయోగించవచ్చు,

డేటా నమూనా

ఈ పట్టిక లేదా నమూనా డేటాను ఉపయోగించి, మేము మొత్తం విద్యార్థుల సంఖ్యకు లేదా నిర్దిష్ట ప్రమాణంలో విద్యార్థుల ఉపాంత పంపిణీకి సంబంధించి గ్రేడ్‌ల ఉపాంత పంపిణీని లెక్కించవచ్చు.

మేము ఉపాంత పంపిణీని గణిస్తున్నప్పుడు రెండవ ఈవెంట్ సంభవించడాన్ని విస్మరిస్తాము.

ఉదాహరణకు, మొత్తం సంఖ్యకు సంబంధించి Cని పొందిన విద్యార్థుల ఉపాంత పంపిణీని గణిస్తున్నప్పుడువిద్యార్థులు, మేము కేవలం అడ్డు వరుసలో ఉన్న ప్రతి తరగతికి విద్యార్థుల సంఖ్యను సంకలనం చేస్తాము మరియు మొత్తం విద్యార్థుల సంఖ్యతో విలువను పాచికలు చేస్తాము.

అన్ని ప్రమాణాలలో కలిపి C పొందిన మొత్తం విద్యార్థుల సంఖ్య 19.

దీనిని 6-8వ తరగతిలోని మొత్తం విద్యార్థుల సంఖ్యతో భాగిస్తే: 19/110=0.1727

విలువను 100తో గుణిస్తే 17.27% వస్తుంది.

17.27 మొత్తం విద్యార్థులలో % మంది C సాధించారు.

ప్రతి ప్రమాణంలో విద్యార్థుల ఉపాంత పంపిణీని నిర్ణయించడానికి మేము ఈ పట్టికను కూడా ఉపయోగించవచ్చు. ఉదాహరణకు, 6వ తరగతిలో విద్యార్థుల ఉపాంత పంపిణీ 29/110, ఇది 0.2636 ఇస్తుంది. ఈ విలువను 100తో గుణిస్తే 26.36% వస్తుంది.

అదేవిధంగా, 7వ మరియు 8వ తరగతి విద్యార్థుల ఉపాంత పంపిణీ వరుసగా 40% మరియు 33.6%.

ఏమిటి షరతులతో కూడిన పంపిణీల ద్వారా ఉద్దేశించబడిందా?

పేరు ద్వారా వివరించబడిన షరతులతో కూడిన పంపిణీ, ముందుగా ఉన్న పరిస్థితిపై ఆధారపడి ఉంటుంది. ఇది ఒక వేరియబుల్ యొక్క సంభావ్యత అయితే మరొక వేరియబుల్ ఇచ్చిన స్థితిలో సెట్ చేయబడింది.

షరతులతో కూడిన పంపిణీలు రెండు వేరియబుల్‌లకు సంబంధించి మీ నమూనాను విశ్లేషించడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తాయి. డేటా అనలిటిక్స్‌లో, తరచుగా ఈవెంట్ సంభవించే సంభావ్యత మరొక అంశం ద్వారా ప్రభావితమవుతుంది.

నియత సంభావ్యత డేటా యొక్క పట్టిక ప్రాతినిధ్యాన్ని ఉపయోగిస్తుంది. ఇది నమూనా డేటా యొక్క విజువలైజేషన్ మరియు విశ్లేషణను మెరుగుపరుస్తుంది.

ఉదాహరణకు, మీరు సగటు జీవితాన్ని సర్వే చేస్తుంటేజనాభా యొక్క వ్యవధి, పరిగణనలోకి తీసుకోవలసిన రెండు వేరియబుల్స్, వారి రోజువారీ సగటు కేలరీల తీసుకోవడం మరియు శారీరక శ్రమ యొక్క ఫ్రీక్వెన్సీ. షరతులతో కూడిన సంభావ్యత వారి రోజువారీ కేలరీల తీసుకోవడం 2500kcal కంటే ఎక్కువగా ఉంటే జనాభా యొక్క సగటు జీవిత కాలంపై శారీరక శ్రమ ప్రభావాన్ని గుర్తించడంలో మీకు సహాయపడుతుంది.

మేము రోజువారీ క్యాలరీలను సెట్ చేసినప్పుడు < 2500kcal, మేము ఒక షరతు ఉంచాము. ఈ పరిస్థితి ఆధారంగా, సగటు జీవిత కాలంపై శారీరక శ్రమల ప్రభావాన్ని నిర్ణయించవచ్చు.

లేదా, రెండు ప్రబలంగా ఉన్న ఎనర్జీ డ్రింక్స్ యొక్క విక్రయాల విచలనాన్ని గమనిస్తూ, రెండు వేరియబుల్స్ అమ్మకాలను ప్రభావితం చేస్తాయి. ఈ శక్తి పానీయాలు వాటి ఉనికి మరియు ధర. కస్టమర్ల కొనుగోలు ఉద్దేశంపై ధర మరియు రెండు ఎనర్జీ డ్రింక్స్ ఉనికిని నిర్ణయించడానికి మేము షరతులతో కూడిన సంభావ్యతను ఉపయోగించవచ్చు.

మంచిగా అర్థం చేసుకోవడానికి, ఉపాంత పంపిణీలో ఉపయోగించిన అదే ఉదాహరణను చూద్దాం:

డేటా నమూనా

ఉదాహరణకు, మీరు మొత్తం విద్యార్థుల సంఖ్యకు సంబంధించి C స్కోర్ చేసిన 6వ తరగతి విద్యార్థుల పంపిణీని కనుగొనాలనుకుంటున్నారు. మీరు కేవలం 6వ తరగతిలో C స్కోర్ చేసిన విద్యార్థుల సంఖ్యను C స్కోర్ చేసిన మూడు స్టాండర్డ్స్‌లోని మొత్తం విద్యార్థుల సంఖ్యతో భాగించండి.

కాబట్టి సమాధానం b 4/19= 0.21

దీనిని వందతో గుణిస్తే 21% వస్తుంది

C స్కోర్ చేసిన 7వ తరగతి విద్యార్థి యొక్క పంపిణీ 7/19= 0.37

దీనితో గుణిస్తే 100 37% ఇస్తుంది

మరియు 8వ తరగతి విద్యార్థి C స్కోర్ చేసిన వారి పంపిణీ 8/19= 0.42

దీనిని 100తో గుణిస్తే 42.1% వస్తుంది

నియత మరియు ఉపాంత పంపిణీ మధ్య వ్యత్యాసం

నియత మరియు ఉపాంత పంపిణీ మధ్య వ్యత్యాసం

ఉపాంత పంపిణీ అనేది మొత్తం నమూనాకు సంబంధించి వేరియబుల్ పంపిణీ, అయితే షరతులతో కూడిన పంపిణీ మరొక వేరియబుల్‌కు సంబంధించిన వేరియబుల్ పంపిణీ.

ఉపాంత పంపిణీ స్వతంత్రంగా ఉంటుందిఇతర వేరియబుల్ యొక్క ఫలితాలు. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, ఇది కేవలం షరతులు లేనిది.

ఉదాహరణకు, వేసవి శిబిరంలో పిల్లల లింగానికి యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ “X” కేటాయించబడితే మరియు మరొక యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ “Y” వారి వయస్సుకి కేటాయించబడుతుంది. పిల్లలు అప్పుడు,

వేసవి శిబిరంలో అబ్బాయిల ఉపాంత పంపిణీని P(X=అబ్బాయిలు) అందించవచ్చు, అయితే 8 సంవత్సరాల కంటే తక్కువ వయస్సు ఉన్న అబ్బాయిల నిష్పత్తిని షరతులతో కూడిన పంపిణీ ద్వారా P( X=అబ్బాయిలు