Todennäköisyys on matematiikan osa-alue, jossa kvantifioidaan ennuste tietyn tapahtuman toteutumisesta tietyllä tietomäärällä. Se antaa matemaattisen tulkinnan halutun tuloksen saavuttamisen todennäköisyydelle.

Minkä tahansa tapahtuman todennäköisyys on nollan ja yhden välillä. Nolla tarkoittaa, että tapahtuman toteutumiselle ei ole mitään mahdollisuuksia tai todennäköisyyttä, ja yksi tarkoittaa, että tietyn tapahtuman toteutumisen todennäköisyys on 100 prosenttia.

Todennäköisyystutkimuksen avulla voimme ennustaa tai arvioida jonkin halutun tapahtuman onnistumisen tai epäonnistumisen todennäköisyyttä ja ryhtyä toimenpiteisiin sen parantamiseksi.

Esimerkiksi uutta tuotetta testattaessa suuri epäonnistumisen todennäköisyys merkitsee heikkolaatuista tuotetta. Epäonnistumisen tai onnistumisen mahdollisuuksien kvantifiointi voi auttaa valmistajia parantamaan tuotteidensa laatua ja kokemusta.

Data-analytiikassa käytetään marginaalijakaumia ja ehdollisia jakaumia todennäköisyyden määrittämiseen kaksimuuttujaisissa tiedoissa. Mutta ennen kuin siirrymme tähän, käydään läpi muutamia perusasioita.

Todennäköisyyden perusteet

Satunnaismuuttuja on usein käytetty termi todennäköisyydessä. Satunnaismuuttujaa käytetään määrittämään satunnaisten tapahtumien tuloksia.

Esimerkiksi eräs koulu tekee tutkimusta ennustaakseen oppilaidensa matematiikan suorituksia tulevissa kokeissa heidän aiempien suoritustensa perusteella. Tutkimus rajoittuu yhteensä 110 oppilaaseen, jotka ovat 6.-8. luokan oppilaita. Jos satunnaismuuttuja "X" määritellään saaduiksi arvosanoiksi. Seuraavassa taulukossa esitetään kerätyt tiedot:

Tieto Näyte

P(X=A+) = 14/110 = 0,1273.

0.1273 *100=12.7%

Tämä osoittaa, että noin 12,7 prosenttia opiskelijoista voi saada jopa kiitettävän arvosanan A+ tulevissa kokeissaan.

Entä jos kouluissa halutaan analysoida myös oppilaiden arvosanoja suhteessa luokkiinsa. Kuinka moni 12,7 prosentista oppilaista, jotka saavat arvosanan A+, kuuluu 8. luokkaan?

Yhden satunnaismuuttujan käsittely on melko yksinkertaista, mutta kun tiedot jakautuvat kahden satunnaismuuttujan suhteen, laskelmat voivat olla hieman monimutkaisia.

Kaksi yksinkertaisinta tapaa poimia relevanttia tietoa kaksimuuttujaisista tiedoista ovat marginaalijakauma ja ehdollinen jakauma.

Tässä on Math Anticsin video, jossa selitetään visuaalisesti todennäköisyyden perusteet:

Matematiikka Antics - perustodennäköisyys

Mitä tarkoitetaan marginaalijakaumalla?

Marginaalijakauma tai marginaalinen todennäköisyys on toisesta muuttujasta riippumaton muuttujan jakauma, joka riippuu vain toisen tapahtuman toteutumisesta, kun taas toisen tapahtuman kaikki mahdollisuudet sisältyvät siihen.

Marginaalijakauman käsite on helpompi ymmärtää, kun tiedot esitetään taulukkomuodossa. Termi marginaalinen tarkoittaa, että se sisältää jakauman marginaaleissa.

Seuraavissa taulukoissa on 110 oppilaan arvosanat vuosiluokilta 6-8. Voimme käyttää näitä tietoja ennustaaksemme heidän tulevan matematiikan kokeensa arvosanan,

Tieto Näyte

Tämän taulukon tai otostietojen avulla voidaan laskea arvosanojen marginaalijakauma suhteessa oppilaiden kokonaismäärään tai tietyn standardin oppilaiden marginaalijakauma.

Marginaalijakaumaa laskettaessa ei oteta huomioon toisen tapahtuman esiintymistä.

Esimerkiksi laskettaessa C:n saaneiden opiskelijoiden marginaalijakaumaa suhteessa opiskelijoiden kokonaismäärään yksinkertaisesti lasketaan yhteen kunkin luokan opiskelijoiden määrä rivin yli ja noputetaan arvo opiskelijoiden kokonaismäärän kanssa.

Kaikista standardeista yhteensä C:n saaneiden oppilaiden kokonaismäärä on 19.

Jaetaan se 6-8. luokan oppilaiden kokonaismäärällä: 19/110=0,1727.

Kertomalla arvo 100:lla saadaan 17,27 %.

17,27 % kaikista opiskelijoista sai arvosanan C.

Taulukon avulla voidaan myös määrittää oppilaiden marginaalijakauma kussakin standardissa. Esimerkiksi 6. standardin oppilaiden marginaalijakauma on 29/110, mikä on 0,2636. Kun tämä arvo kerrotaan 100:lla, saadaan 26,36 %.

Vastaavasti 7. ja 8. luokan oppilaiden marginaalijakauma on 40 % ja 33,6 %.

Mitä tarkoitetaan ehdollisilla jakaumilla?

Ehdollinen jakauma perustuu nimensä mukaisesti olemassa olevaan ehtoon. Se on yhden muuttujan todennäköisyys, kun toinen muuttuja on asetettu tiettyyn ehtoon.

Ehdollisten jakaumien avulla voit analysoida näytettäsi kahden muuttujan osalta. Data-analytiikassa tapahtuman esiintymistodennäköisyyteen vaikuttaa usein jokin toinen tekijä.

Ehdollinen todennäköisyys käyttää tietojen taulukkomuotoista esitystä. Tämä parantaa otostietojen visualisointia ja analysointia.

Jos esimerkiksi tutkit väestön keskimääräistä elinikää, kaksi huomioon otettavaa muuttujaa voivat olla päivittäinen keskimääräinen kalorien saanti ja fyysisen aktiivisuuden tiheys. Ehdollinen todennäköisyys voi auttaa sinua selvittämään fyysisen aktiivisuuden vaikutuksen väestön keskimääräiseen elinikään, jos päivittäinen kalorien saanti on yli 2500 kcal tai päinvastoin.

Kun asetamme päivittäisen kalorien saannin <2500kcal, asetamme ehdon. Tämän ehdon perusteella voidaan määrittää liikunnan vaikutus keskimääräiseen elinikään.

Tai kun tarkastellaan kahden vallitsevan energiajuomamerkin myyntipoikkeamaa, kaksi muuttujaa, jotka vaikuttavat näiden energiajuomien myyntiin, ovat niiden läsnäolo ja hinta. Voimme käyttää ehdollista todennäköisyyttä määrittääksemme kahden energiajuoman hinnan ja läsnäolon vaikutuksen asiakkaiden ostoaikeisiin.

Jotta ymmärtäisimme paremmin, tarkastellaan samaa esimerkkiä, jota käytetään marginaalijakaumassa:

Tieto Näyte

Jos esimerkiksi haluat löytää C-pisteitä saavien 6. standardin oppilaiden jakauman suhteessa oppilaiden kokonaismäärään, voit yksinkertaisesti jakaa C-pisteitä saavien 6. standardin oppilaiden määrän kaikkien kolmen standardin C-pisteitä saavien oppilaiden kokonaismäärällä.

Vastaus on siis 4/19= 0,21.

Kun se kerrotaan sadalla, saadaan 21 %.

Seitsemännen luokan oppilaan arvosanan C jakauma on 7/19= 0,37.

Kun se kerrotaan 100:lla, saadaan 37 %.

Ja 8. luokan oppilaan, joka saa arvosanan C, jakauma on 8/19= 0,42.

Kun se kerrotaan 100:lla, saadaan 42,1 %.

Ehdollisen ja marginaalijakauman välinen ero

Ehdollisen ja marginaalijakauman välinen ero

Marginaalijakauma on muuttujan jakauma suhteessa koko otokseen, kun taas ehdollinen jakauma on muuttujan jakauma suhteessa toiseen muuttujaan.

Marginaalijakauma on riippumaton toisen muuttujan tuloksista. Toisin sanoen se on yksinkertaisesti ehdoton.

Jos esimerkiksi satunnaismuuttuja "X" määritetään kesäleirillä olevien lasten sukupuolelle ja toinen satunnaismuuttuja "Y" määritetään näiden lasten iälle, niin,

Poikien marginaalijakauma kesäleirillä voidaan antaa muodossa P(X=pojat), kun taas alle 8-vuotiaiden poikien osuus saadaan ehdollisen jakauman avulla muodossa P(X=pojat).

Lopulliset ajatukset

Marginaalijakauma osoittaa muuttujien eri arvojen todennäköisyydet viittaamatta muihin muuttujiin.

Ehdollinen jakauma on kuitenkin muuttujan todennäköisyys, joka lasketaan suhteessa toiseen muuttujaan.

Molemmat todennäköisyysteoriat ovat oikeita, ja niiden soveltaminen vaihtelee eri ongelmissa, tapauksissa ja skenaarioissa.

Aiheeseen liittyvät artikkelit