संभाव्यता ही गणिताची एक शाखा आहे जी डेटाच्या दिलेल्या संचासाठी घडणार्‍या विशिष्ट घटनेच्या अंदाजाचे प्रमाण ठरवते. हे इच्छित परिणाम मिळविण्याच्या संभाव्यतेचे गणितीय स्पष्टीकरण देते.

कोणत्याही घटनेची संभाव्यता शून्य आणि एक दरम्यान येते. शून्य हे सूचित करते की त्या घटनेची कोणतीही शक्यता किंवा शक्यता नाही आणि एखादी घटना घडण्याची शक्यता 100% आहे असे दर्शविते.

संभाव्यतेचा अभ्यास आपल्याला शक्यतांचा अंदाज लावू शकतो किंवा त्याचा न्याय करू शकतो कोणत्याही इच्छित कार्यक्रमाचे यश किंवा अपयश आणि ते सुधारण्यासाठी उपाययोजना करा.

उदाहरणार्थ, नवीन उत्पादनाची चाचणी करताना, अपयशाची उच्च संभाव्यता कमी दर्जाचे उत्पादन दर्शवते. अयशस्वी किंवा यशाच्या शक्यतांचे प्रमाण निश्चित केल्याने उत्पादकांना त्यांच्या उत्पादनाची गुणवत्ता आणि अनुभव सुधारण्यास मदत होऊ शकते.

डेटा विश्लेषणामध्ये, द्विवैरिएट डेटामधील संभाव्यता शोधण्यासाठी सीमांत आणि सशर्त वितरण वापरले जाते. पण त्यामध्ये जाण्यापूर्वी, आपण काही मूलभूत गोष्टी पाहू.

संभाव्यतेची मूलतत्त्वे

संभाव्यतेमध्ये वारंवार वापरली जाणारी संज्ञा म्हणजे ‘रँडम व्हेरिएबल’. यादृच्छिक व्हेरिएबलचा वापर एखाद्या यादृच्छिक घटनेच्या परिणामांचे प्रमाण मोजण्यासाठी केला जातो.

उदाहरणार्थ, शाळा त्यांच्या मागील परीक्षांच्या आधारे, आगामी परीक्षांमध्ये गणितातील त्यांच्या विद्यार्थ्यांच्या कामगिरीचा अंदाज घेण्यासाठी संशोधन करते कामगिरी संशोधन एकूण 110 पर्यंत मर्यादित आहे6 ते 8 वी पर्यंतचे विद्यार्थी. यादृच्छिक व्हेरिएबल "X" ची व्याख्या प्राप्त केलेल्या ग्रेड म्हणून केली असल्यास. खालील सारणी संकलित डेटा दर्शवते:

डेटा नमुना

पी (X=A+) = 14/110 = 0.1273

0.1273 *100=12.7%

यावरून असे दिसून येते की सुमारे 12.7% विद्यार्थी गुण मिळवू शकतात त्यांच्या आगामी परीक्षांमध्ये A+ साठी.

शाळांनाही त्यांच्या वर्गांच्या संदर्भात विद्यार्थ्यांच्या ग्रेडचे विश्लेषण करायचे असेल तर? तर A+ गुण मिळवणाऱ्या १२.७% विद्यार्थ्यांपैकी किती विद्यार्थी आठवी इयत्तेचे आहेत?

एकाच यादृच्छिक व्हेरिएबलशी व्यवहार करणे खूप सोपे आहे, परंतु जेव्हा तुमचा डेटा दोन यादृच्छिक व्हेरिएबलच्या संदर्भात वितरित केला जातो , आकडेमोड थोडी क्लिष्ट असू शकते.

द्विव्हेरिएट डेटामधून संबंधित माहिती काढण्याचे दोन सर्वात सोप्या मार्ग म्हणजे किरकोळ आणि सशर्त वितरण.

संभाव्यतेच्या मूलभूत गोष्टी स्पष्ट करण्यासाठी, येथे एक व्हिडिओ आहे मॅथ अँटिक्स मधून:

गणित अँटीक्स – मूलभूत संभाव्यता

सीमांत वितरण म्हणजे काय?

मार्जिनल डिस्ट्रिब्युशन किंवा मार्जिनल प्रोबॅबिलिटी हे व्हेरिएबलचे इतर व्हेरिएबलपेक्षा स्वतंत्र वितरण आहे. हे फक्त दोनपैकी एकावर अवलंबून आहेइतर इव्हेंटच्या सर्व शक्यतांचा समावेश करताना घडणार्‍या घटना.

जेव्हा डेटा सारणीच्या स्वरूपात दर्शविला जातो तेव्हा सीमांत वितरणाची संकल्पना समजून घेणे सोपे होते. मार्जिनल या शब्दाचा अर्थ असा आहे की त्यात मार्जिनसह वितरण समाविष्ट आहे.

खालील तक्त्या 6-8 वी मधील 110 विद्यार्थ्यांच्या ग्रेड दर्शवतात. आम्ही या माहितीचा उपयोग त्यांच्या आगामी गणिताच्या परीक्षेसाठी,

डेटा नमुना

या सारणीचा किंवा नमुना डेटाचा वापर करून, आम्ही एकूण विद्यार्थ्यांच्या संख्येच्या संदर्भात ग्रेडचे किरकोळ वितरण किंवा विशिष्ट मानकांमधील विद्यार्थ्यांच्या किरकोळ वितरणाची गणना करू शकतो.<1

सीमांत वितरणाची गणना करताना आम्ही दुसऱ्या घटनेकडे दुर्लक्ष करतो.

उदाहरणार्थ, एकूण संख्येच्या संदर्भात C प्राप्त केलेल्या विद्यार्थ्यांच्या सीमांत वितरणाची गणना करतानाविद्यार्थ्यांनो, आम्ही फक्त पंक्तीमधील प्रत्येक वर्गासाठी विद्यार्थ्यांच्या संख्येची बेरीज करतो आणि एकूण विद्यार्थ्यांच्या संख्येसह मूल्य विभाजित करतो.

सर्व मानकांमध्ये C मिळवलेल्या विद्यार्थ्यांची एकूण संख्या 19 आहे.

इयत्ता 6-8वी मधील एकूण विद्यार्थ्यांच्या संख्येने भागिले: 19/110=0.1727

मूल्याचा 100 ने गुणाकार केल्यास 17.27% मिळते.

17.27 एकूण विद्यार्थ्यांपैकी % ने C मिळवले.

आम्ही प्रत्येक इयत्तेतील विद्यार्थ्यांचे किरकोळ वितरण निर्धारित करण्यासाठी देखील या सारणीचा वापर करू शकतो. उदाहरणार्थ, 6 वी इयत्तेतील विद्यार्थ्यांचे किरकोळ वितरण 29/110 आहे, जे 0.2636 देते. या मूल्याला 100 ने गुणाकार केल्यास 26.36% मिळते.

त्याचप्रमाणे, 7वी आणि 8वी मधील विद्यार्थ्यांचे किरकोळ वितरण अनुक्रमे 40% आणि 33.6% आहे.

काय सशर्त वितरणाचा अर्थ आहे का?

नावाद्वारे स्पष्ट केल्याप्रमाणे सशर्त वितरण, आधीपासून अस्तित्वात असलेल्या स्थितीवर आधारित आहे. ही एका व्हेरिएबलची संभाव्यता आहे तर दुसरा व्हेरिएबल दिलेल्या स्थितीवर सेट केला आहे.

सशर्त वितरण तुम्हाला तुमच्या दोन व्हेरिएबलच्या नमुन्याचे विश्लेषण करण्यास सक्षम करते. डेटा अॅनालिटिक्समध्ये, अनेकदा घटना घडण्याची शक्यता दुसर्‍या घटकाने प्रभावित होते.

सशर्त संभाव्यता डेटाचे सारणीबद्ध प्रतिनिधित्व वापरते. हे नमुना डेटाचे व्हिज्युअलायझेशन आणि विश्लेषण सुधारते.

उदाहरणार्थ, तुम्ही सरासरी आयुष्याचे सर्वेक्षण करत असल्यासलोकसंख्येचा कालावधी, विचारात घेण्यासाठी दोन चल असू शकतात, त्यांचे दररोजचे सरासरी कॅलरी सेवन आणि शारीरिक हालचालींची वारंवारता. सशर्त संभाव्यता तुम्‍हाला लोकसंख्‍याच्‍या सरासरी आयुष्‍यावर शारीरिक हालचालींचा प्रभाव 2500kcal पेक्षा जास्त किंवा उलट असेल तर तुम्‍हाला मदत करू शकते.

जसे आम्‍ही दैनंदिन कॅलरीचे सेवन सेट करतो < 2500kcal, आम्ही एक अट ठेवली. या स्थितीच्या आधारे, सरासरी आयुर्मानावर शारीरिक हालचालींचा प्रभाव निश्चित केला जाऊ शकतो.

किंवा, दोन प्रचलित ब्रँड्सच्या एनर्जी ड्रिंक्सच्या विक्रीतील विचलनाचे निरीक्षण करताना, दोन चलने ज्यांच्या विक्रीवर परिणाम होतो ही एनर्जी ड्रिंक्स त्यांची उपस्थिती आणि किंमत आहे. ग्राहकांच्या खरेदीच्या हेतूवर किंमत आणि दोन एनर्जी ड्रिंक्सची उपस्थिती यांचा प्रभाव निर्धारित करण्यासाठी आम्ही सशर्त संभाव्यता वापरू शकतो.

अधिक चांगल्या प्रकारे समजून घेण्यासाठी, सीमांत वितरणामध्ये वापरलेले समान उदाहरण पाहूया:

डेटा नमुना

उदाहरणार्थ, तुम्हाला एकूण विद्यार्थ्यांच्या संख्येशी संबंधित 6 वी इयत्तेच्या विद्यार्थ्यांचे C स्कोअर केलेले वितरण शोधायचे आहे. तुम्ही फक्त सहावी इयत्तेतील विद्यार्थ्यांच्या संख्येला सी गुण मिळवणाऱ्या तीनही इयत्तेतील एकूण विद्यार्थ्यांच्या संख्येने विभाजित करा.

म्हणून उत्तर b 4/19= 0.21<होईल. 5>

याचा शंभराने गुणाकार केल्यास 21% मिळते

7वी इयत्तेच्या विद्यार्थ्याचे C स्कोअर करणारे वितरण 7/19= 0.37

याने गुणाकार केल्यास 100 37% देते

आणि 8वी इयत्तेच्या विद्यार्थ्याचे C स्कोअर 8/19= 0.42

याचा 100 ने गुणाकार केल्यास 42.1% मिळते

सशर्त आणि सीमांत वितरण मधील फरक

सशर्त आणि सीमांत वितरण मधील फरक

समस्य वितरण हे एकूण नमुन्याच्या संदर्भात व्हेरिएबलचे वितरण आहे, तर सशर्त वितरण दुसर्‍या व्हेरिएबलशी संबंधित व्हेरिएबलचे वितरण आहे.

सीमांत वितरण स्वतंत्र आहेइतर व्हेरिएबलच्या परिणामांची. दुसऱ्या शब्दांत, ते फक्त बिनशर्त आहे.

उदाहरणार्थ, उन्हाळी शिबिरातील मुलांच्या लिंगासाठी एक यादृच्छिक व्हेरिएबल "X" नियुक्त केले असल्यास आणि त्यांच्या वयासाठी दुसरे यादृच्छिक चल "Y" नियुक्त केले असल्यास मग मुले,

उन्हाळी शिबिरातील मुलांचे किरकोळ वितरण P(X=boys) द्वारे दिले जाऊ शकते, तर 8 वर्षांखालील मुलांचे प्रमाण P( म्हणून सशर्त वितरणाद्वारे दिले जाते. X = मुले