সম্ভাব্যতা হল গণিতের একটি শাখা যা একটি নির্দিষ্ট তথ্যের সেটের জন্য ঘটে যাওয়া একটি নির্দিষ্ট ঘটনার পূর্বাভাসকে পরিমাপ করে। এটি পছন্দসই ফলাফল পাওয়ার সম্ভাবনার গাণিতিক ব্যাখ্যা দেয়৷

যেকোন ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা শূন্য এবং একের মধ্যে পড়ে৷ শূন্য বোঝায় যে ঘটনা ঘটার কোন সম্ভাবনা বা সম্ভাবনা নেই, এবং একটি প্রতিনিধিত্ব করে যে একটি নির্দিষ্ট ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা 100%।

সম্ভাব্যতার অধ্যয়ন আমাদের সম্ভাবনার পূর্বাভাস বা বিচার করতে সক্ষম করে কোনো কাঙ্খিত ইভেন্টের সাফল্য বা ব্যর্থতা এবং এটিকে উন্নত করার জন্য ব্যবস্থা নিন।

উদাহরণস্বরূপ, একটি নতুন পণ্য পরীক্ষা করার সময়, ব্যর্থতার উচ্চ সম্ভাবনা একটি নিম্নমানের পণ্যকে নির্দেশ করে। ব্যর্থতা বা সাফল্যের সম্ভাবনা পরিমাপ করা নির্মাতাদের তাদের পণ্যের গুণমান এবং অভিজ্ঞতা উন্নত করতে সাহায্য করতে পারে।

ডেটা অ্যানালিটিক্সে, প্রান্তিক এবং শর্তসাপেক্ষ বন্টনগুলি দ্বিভূক্তি ডেটাতে সম্ভাব্যতা খুঁজে পেতে ব্যবহৃত হয়। কিন্তু আমরা এর মধ্যে ঝাঁপিয়ে পড়ার আগে, আসুন কিছু বেসিক দিয়ে যাওয়া যাক।

সম্ভাব্যতার মূল বিষয়

সম্ভাব্যতার একটি প্রায়শই ব্যবহৃত শব্দ হল 'র্যান্ডম পরিবর্তনশীল'। একটি র্যান্ডম পরিবর্তনশীল একটি র্যান্ডম ইভেন্টের ফলাফলের পরিমাপ করতে ব্যবহৃত হয়৷

উদাহরণস্বরূপ, একটি স্কুল তাদের পূর্ববর্তী পরীক্ষাগুলির উপর ভিত্তি করে, আসন্ন পরীক্ষায় গণিতে তাদের ছাত্রদের পারফরম্যান্সের পূর্বাভাস দেওয়ার জন্য গবেষণা পরিচালনা করে কর্মক্ষমতা. গবেষণাটি মোট 110 জনের মধ্যে সীমাবদ্ধ6 থেকে 8 ম শ্রেণী পর্যন্ত ছাত্ররা। যদি একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল "X" প্রাপ্ত গ্রেড হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। নিম্নলিখিত সারণী সংগৃহীত ডেটা দেখায়:

ডেটা নমুনা

P (X=A+) = 14/110 = 0.1273

0.1273 *100=12.7%

এটি দেখায় যে প্রায় 12.7% শিক্ষার্থী স্কোর করতে পারে তাদের আসন্ন পরীক্ষায় একটি A+ এর জন্য।

কি হবে যদি স্কুলগুলিও তাদের ক্লাসের ক্ষেত্রে শিক্ষার্থীদের গ্রেড বিশ্লেষণ করতে চায়। তাহলে A+ স্কোর করা 12.7% শিক্ষার্থীর মধ্যে কতজন 8ম মানের?

একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবল নিয়ে কাজ করা খুবই সহজ, কিন্তু যখন আপনার ডেটা দুটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের ক্ষেত্রে বিতরণ করা হয় , গণনাগুলি কিছুটা জটিল হতে পারে৷

দ্বিভেরিয়েট ডেটা থেকে প্রাসঙ্গিক তথ্য বের করার দুটি সবচেয়ে সরলীকৃত উপায় হল প্রান্তিক এবং শর্তসাপেক্ষ বণ্টন৷

সম্ভাব্যতার মূল বিষয়গুলি দৃশ্যমানভাবে ব্যাখ্যা করার জন্য, এখানে একটি ভিডিও দেওয়া হল ম্যাথ অ্যান্টিক্স থেকে:

ম্যাথ অ্যান্টিক্স – প্রাথমিক সম্ভাব্যতা

প্রান্তিক বন্টন বলতে কী বোঝায়?

মার্জিনাল ডিস্ট্রিবিউশন বা প্রান্তিক সম্ভাবনা হল অন্য ভেরিয়েবল থেকে স্বাধীন একটি পরিবর্তনশীলের বন্টন। এটি কেবল দুটির একটির উপর নির্ভর করেঅন্যান্য ইভেন্টের সমস্ত সম্ভাবনাকে সাবসাম করার সময় ঘটে যাওয়া ইভেন্ট।

ডেটা যখন ট্যাবুলার আকারে উপস্থাপিত হয় তখন প্রান্তিক বন্টনের ধারণা বোঝা সহজ হয়। প্রান্তিক শব্দটি নির্দেশ করে যে এটি মার্জিন বরাবর বন্টন অন্তর্ভুক্ত করে।

নিম্নলিখিত সারণী 6-8ম মানের 110 জন শিক্ষার্থীর গ্রেড দেখায়। আমরা তাদের আসন্ন গণিত পরীক্ষার জন্য একটি গ্রেড ভবিষ্যদ্বাণী করতে এই তথ্য ব্যবহার করতে পারি,

ডেটা নমুনা

এই টেবিল বা নমুনা ডেটা ব্যবহার করে, আমরা মোট শিক্ষার্থীর সংখ্যা বা একটি নির্দিষ্ট স্ট্যান্ডার্ডে শিক্ষার্থীদের প্রান্তিক বন্টনের ক্ষেত্রে গ্রেডের প্রান্তিক বন্টন গণনা করতে পারি।

প্রান্তিক বন্টন গণনা করার সময় আমরা একটি দ্বিতীয় ইভেন্টের ঘটনাকে উপেক্ষা করি৷

উদাহরণস্বরূপ, মোট সংখ্যার সাপেক্ষে সি প্রাপ্ত ছাত্রদের প্রান্তিক বিতরণ গণনা করার সময়ছাত্রছাত্রীরা, আমরা শুধু সারি জুড়ে প্রতিটি ক্লাসের জন্য ছাত্রদের সংখ্যা যোগ করি এবং মোট ছাত্র সংখ্যার সাথে মানটি পাশা করি।

সমস্ত স্ট্যান্ডার্ডে সি প্রাপ্ত ছাত্রদের মোট সংখ্যা হল 19।

6-8 তম মানের মোট শিক্ষার্থীর সংখ্যা দিয়ে ভাগ করলে: 19/110=0.1727

মানকে 100 দিয়ে গুণ করলে পাওয়া যায় 17.27%।

17.27 মোট শিক্ষার্থীর % একটি সি অর্জন করেছে।

আমরা প্রতিটি মান জুড়ে ছাত্রদের প্রান্তিক বন্টন নির্ধারণ করতেও এই টেবিলটি ব্যবহার করতে পারি। উদাহরণস্বরূপ, 6 তম মানের ছাত্রদের প্রান্তিক বন্টন হল 29/110, যা 0.2636 দেয়। এই মানটিকে 100 দ্বারা গুণ করলে 26.36% পাওয়া যায়।

একইভাবে, 7ম এবং 8ম শ্রেণীর ছাত্রদের প্রান্তিক বন্টন যথাক্রমে 40% এবং 33.6%।

কি শর্তসাপেক্ষ বন্টন দ্বারা বোঝানো হয়?

কন্ডিশনাল ডিস্ট্রিবিউশন যেমন নাম দ্বারা ব্যাখ্যা করা হয়েছে, একটি পূর্বে বিদ্যমান অবস্থার উপর ভিত্তি করে। এটি একটি ভেরিয়েবলের সম্ভাব্যতা যখন অন্য ভেরিয়েবলটি একটি প্রদত্ত অবস্থায় সেট করা থাকে।

শর্তগত বিতরণ আপনাকে দুটি ভেরিয়েবলের বিষয়ে আপনার নমুনা বিশ্লেষণ করতে সক্ষম করে। ডেটা বিশ্লেষণে, প্রায়শই একটি ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা অন্য কারণ দ্বারা প্রভাবিত হয়৷

শর্তগত সম্ভাবনা ডেটার সারণী উপস্থাপনা ব্যবহার করে৷ এটি নমুনা ডেটার ভিজ্যুয়ালাইজেশন এবং বিশ্লেষণকে উন্নত করে।

উদাহরণস্বরূপ, আপনি যদি গড় জীবন জরিপ করছেনজনসংখ্যার ব্যাপ্তি, অ্যাকাউন্টে নেওয়ার জন্য দুটি পরিবর্তনশীল হতে পারে, তাদের দৈনিক গড় ক্যালোরি গ্রহণ এবং শারীরিক কার্যকলাপের ফ্রিকোয়েন্সি। শর্তযুক্ত সম্ভাবনা আপনাকে জনসংখ্যার গড় আয়ুষ্কালের উপর শারীরিক ক্রিয়াকলাপের প্রভাব খুঁজে বের করতে সাহায্য করতে পারে যদি তাদের দৈনিক ক্যালোরি গ্রহণ 2500kcal এর উপরে হয় বা এর বিপরীতে।

যেমন আমরা দৈনিক ক্যালোরি গ্রহণ সেট করি < 2500kcal, আমরা একটি শর্ত রেখেছি। এই অবস্থার উপর ভিত্তি করে, গড় আয়ুষ্কালের উপর শারীরিক কার্যকলাপের প্রভাব নির্ধারণ করা যেতে পারে।

অথবা, দুটি প্রচলিত ব্র্যান্ডের এনার্জি ড্রিংকের বিক্রয় বিচ্যুতি পর্যবেক্ষণ করার সময়, দুটি ভেরিয়েবল যা বিক্রিকে প্রভাবিত করে এই শক্তি পানীয় তাদের উপস্থিতি এবং দাম. ক্রেতাদের ক্রয়ের অভিপ্রায়ের উপর দামের প্রভাব এবং দুটি এনার্জি ড্রিংকের উপস্থিতি নির্ধারণ করতে আমরা শর্তসাপেক্ষ সম্ভাব্যতা ব্যবহার করতে পারি।

ভালোভাবে বোঝার জন্য, আসুন প্রান্তিক বিতরণে ব্যবহৃত একই উদাহরণটি দেখি:

ডেটা নমুনা

উদাহরণস্বরূপ, আপনি মোট শিক্ষার্থীর সংখ্যার বিষয়ে 6 তম মানের ছাত্রদের একটি সি স্কোর করে বিতরণ খুঁজে পেতে চান। আপনি সহজভাবে 6ষ্ঠ মানের ছাত্রদের সংখ্যাকে ভাগ করুন যারা C স্কোর করেছে তিনটি স্ট্যান্ডার্ডে C স্কোর করা মোট শিক্ষার্থীর সংখ্যা দিয়ে।

তাহলে উত্তর হবে b 4/19= 0.21

এটিকে একশ দিয়ে গুণ করলে 21% পাওয়া যায়

7ম মানের একজন শিক্ষার্থীর বণ্টন হল 7/19= 0.37

এর সাথে গুণ করা 100 দেয় 37%

এবং একটি 8ম মানের ছাত্রের বন্টন একটি C স্কোর 8/19= 0.42

এটিকে 100 দিয়ে গুণ করলে পাওয়া যায় 42.1%

শর্তসাপেক্ষ এবং প্রান্তিক বন্টনের মধ্যে পার্থক্য

শর্তসাপেক্ষ এবং প্রান্তিক বণ্টনের মধ্যে পার্থক্য

প্রান্তিক বন্টন হল মোট নমুনার ক্ষেত্রে একটি পরিবর্তনশীলের বন্টন, যখন শর্তসাপেক্ষ বন্টন একটি ভেরিয়েবলের বন্টন হল অন্য ভেরিয়েবলের সাথে।

প্রান্তিক বন্টন স্বাধীনঅন্যান্য ভেরিয়েবলের ফলাফলের। অন্য কথায়, এটি কেবল শর্তহীন।

উদাহরণস্বরূপ, গ্রীষ্মকালীন ক্যাম্পে শিশুদের লিঙ্গের জন্য যদি একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবল "X" বরাদ্দ করা হয় এবং অন্য একটি র্যান্ডম পরিবর্তনশীল "Y" তাদের বয়সের জন্য বরাদ্দ করা হয় তখন বাচ্চারা,

একটি গ্রীষ্মকালীন শিবিরে ছেলেদের প্রান্তিক বন্টন P(X=ছেলেদের) দ্বারা দেওয়া যেতে পারে, যেখানে 8 বছরের কম বয়সী ছেলেদের অনুপাত শর্তসাপেক্ষ বন্টন দ্বারা P( X=ছেলে