A valószínűség a matematika egyik ága, amely egy adott adathalmaz esetében egy bizonyos esemény bekövetkezésének előrejelzését számszerűsíti. Matematikai értelmezést ad a kívánt eredmény elérésének valószínűségére.

Bármely esemény bekövetkezésének valószínűsége nulla és egy közé esik. A nulla azt jelenti, hogy az adott esemény bekövetkezésének nincs esélye vagy valószínűsége, az egy pedig azt, hogy egy bizonyos esemény bekövetkezésének valószínűsége 100%.

A valószínűségtan lehetővé teszi számunkra, hogy megjósoljuk vagy megítéljük bármely kívánt esemény sikerének vagy kudarcának esélyét, és intézkedéseket hozzunk annak javítására.

Például egy új termék tesztelésekor a nagy valószínűségű kudarc alacsony minőségű terméket jelez. A kudarc vagy a siker esélyének számszerűsítése segíthet a gyártóknak a termék minőségének és tapasztalatainak javításában.

Az adatelemzésben a marginális és feltételes eloszlásokat használják a valószínűség meghatározására kétváltozós adatokban. Mielőtt azonban belevágnánk, nézzünk át néhány alapelvet.

A valószínűségszámítás alapjai

A valószínűségszámításban gyakran használt kifejezés a "véletlen változó". A véletlen változót egy véletlen esemény bekövetkezésének kimenetelének számszerűsítésére használják.

Például egy iskola kutatást végez, hogy megjósolja diákjainak matematikából nyújtott teljesítményét a közelgő vizsgákon, a korábbi teljesítményük alapján. A kutatás összesen 110 diákra korlátozódik a 6-tól a 8. osztályig. Ha egy véletlen változó "X" az elért jegyek. A következő táblázat mutatja az összegyűjtött adatokat:

Adatminta

P(X=A+) = 14/110 = 0,1273

0.1273 *100=12.7%

Ez azt mutatja, hogy a diákok körülbelül 12,7%-a szerezhet akár ötöst is a közelgő vizsgáin.

Mi van akkor, ha az iskolák a tanulók osztályzatát is elemezni akarják az osztályok tekintetében. Tehát a 12,7%-os A+ pontszámot elérő tanulók közül hányan tartoznak a 8. osztályba?

Egyetlen véletlen változóval elég egyszerű dolgozni, de ha az adatok két véletlen változóra oszlanak el, a számítások kissé bonyolultak lehetnek.

A kétváltozós adatokból a releváns információk kinyerésének két legegyszerűbb módja a marginális és a feltételes eloszlás.

A valószínűség alapjainak vizuális magyarázatához itt egy videó a Math Antics-tól:

Matematika Antics - Alapvető valószínűség

Mit jelent a határeloszlás?

A marginális eloszlás vagy marginális valószínűség egy változónak a másik változótól független eloszlása. Csak a két esemény közül az egyik bekövetkezésétől függ, miközben a másik esemény minden lehetőségét magában foglalja.

A marginális eloszlás fogalmát könnyebb megérteni, ha az adatokat táblázatos formában ábrázoljuk. A marginális kifejezés azt jelzi, hogy az eloszlást a margók mentén tartalmazza.

A következő táblázatokban 110 diák jegyei láthatók a 6-8. osztályból. Ezek alapján megjósolhatjuk a közelgő matematikavizsgájuk osztályzatát,

Adatminta

E táblázat vagy mintaadatok segítségével kiszámíthatjuk az osztályzatok szélsőérték-eloszlását az összes tanulóra vagy a tanulók szélsőérték-eloszlását egy adott standardban.

A marginális eloszlás kiszámításakor figyelmen kívül hagyjuk a második esemény bekövetkezését.

Például a C-t kapott tanulók marginális eloszlásának kiszámítása során a tanulók összlétszámához viszonyítva egyszerűen összeadjuk az egyes osztályok tanulóinak számát a sorban, és az értéket a tanulók összlétszámával kockázzuk.

Az összes diák száma, aki az összes követelményből együttesen C-t kapott, 19.

Osztva a 6-8. osztályos tanulók összlétszámával: 19/110=0,1727

Az értéket 100-zal megszorozva 17,27%-ot kapunk.

Az összes tanuló 17,27%-a ért el hármas osztályzatot.

Ezt a táblázatot arra is használhatjuk, hogy meghatározzuk a tanulók marginális eloszlását az egyes standardok között. Például a 6. standardban a tanulók marginális eloszlása 29/110, ami 0,2636. Ezt az értéket 100-zal megszorozva 26,36%-ot kapunk.

Hasonlóképpen, a 7. és 8. osztályos tanulók marginális megoszlása 40%, illetve 33,6%.

Mit jelent a feltételes eloszlás?

A feltételes eloszlás, ahogyan a neve is értelmezi, egy már meglévő feltételen alapul. Ez az egyik változó valószínűsége, miközben a másik változó egy adott feltételen áll.

A feltételes eloszlások lehetővé teszik, hogy két változóra vonatkozóan elemezze a mintáját. Az adatelemzésben gyakran előfordul, hogy egy esemény bekövetkezésének valószínűségét egy másik tényező befolyásolja.

A feltételes valószínűség az adatok táblázatos ábrázolását használja. Ez javítja a mintaadatok megjelenítését és elemzését.

Ha például a lakosság átlagos élettartamát vizsgálja, két változót vehet figyelembe: a napi átlagos kalóriabevitelt és a fizikai aktivitás gyakoriságát. A feltételes valószínűség segíthet kitalálni, hogy a fizikai aktivitás milyen hatással van a lakosság átlagos élettartamára, ha a napi kalóriabevitel 2500 kcal felett van, vagy fordítva.

Mivel a napi kalóriabevitelt <2500kcal-ra állítottuk be, egy feltételt helyeztünk el. E feltétel alapján meghatározható a fizikai aktivitás hatása az átlagos élettartamra.

Vagy két uralkodó energiaital-márka eladási eltérésének megfigyelése során két olyan változó van, amely befolyásolja az energiaitalok eladásait: a jelenlétük és az áruk. Feltételes valószínűséggel meghatározhatjuk, hogy az ár és a két energiaital jelenléte milyen hatással van a vásárlók vásárlási szándékára.

A jobb megértés érdekében nézzük meg ugyanazt a példát, amelyet a határérték-eloszlásnál is használtunk:

Adatminta

Ha például meg akarja találni a C pontot elért 6. osztályos tanulók eloszlását az összes tanulóra vonatkozóan, akkor egyszerűen elosztja a 6. osztályban C pontot elért tanulók számát a három osztályban összesen C pontot elért tanulók számával.

A válasz tehát 4/19= 0,21 lesz.

Százzal szorozva 21%-ot kapunk.

Egy 7. osztályos tanuló C pontszámának eloszlása 7/19= 0.37

Ha ezt megszorozzuk 100-zal, akkor 37%-ot kapunk.

Egy 8. osztályos tanuló C pontszámának eloszlása pedig 8/19= 0,42.

Ha ezt megszorozzuk 100-zal, akkor 42,1%-ot kapunk.

Különbség a feltételes és a marginális eloszlás között

A feltételes és a marginális eloszlás közötti különbség

A marginális eloszlás egy változó eloszlása a teljes minta tekintetében, míg a feltételes eloszlás egy változó eloszlása egy másik változóra vonatkozóan.

A marginális eloszlás független a másik változó kimenetelétől. Más szóval egyszerűen feltétel nélküli.

Például, ha egy "X" véletlen változót rendelünk a nyári táborban résztvevő gyermekek neméhez, és egy másik "Y" véletlen változót rendelünk e gyermekek életkorához, akkor,

A nyári táborban részt vevő fiúk marginális eloszlását P(X=fiúk), míg a 8 év alatti fiúk arányát feltételes eloszlással P(X=fiúk) adhatja meg

Végső gondolatok

A marginális eloszlás a változók különböző értékeinek valószínűségeit mutatja meg anélkül, hogy a többi változóra utalna.

A feltételes eloszlás azonban egy változó valószínűsége, amelyet egy másik változóra való hivatkozással számolnak ki.

Mindkét valószínűségi elmélet helyes, és alkalmazásuk különböző problémák, esetek és forgatókönyvek esetén eltérő.

Kapcsolódó cikkek