പ്രൊബബിലിറ്റി എന്നത് ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ ഒരു ശാഖയാണ്, അത് ഒരു നിശ്ചിത ഡാറ്റയുടെ ഒരു കൂട്ടം സംഭവിക്കുന്ന ഒരു സംഭവത്തിന്റെ പ്രവചനം അളക്കുന്നു. ആവശ്യമുള്ള ഫലം ലഭിക്കാനുള്ള സാധ്യതയെ ഇത് ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ വ്യാഖ്യാനം നൽകുന്നു.

ഏതെങ്കിലും സംഭവത്തിന്റെ സംഭാവ്യത പൂജ്യത്തിനും ഒന്നിനും ഇടയിലാണ്. പൂജ്യം സൂചിപ്പിക്കുന്നത് ആ ഇവന്റ് സംഭവിക്കാനുള്ള സാധ്യതകളോ സാധ്യതകളോ ഇല്ല എന്നാണ്, ഒരു നിശ്ചിത സംഭവത്തിന്റെ സാധ്യത 100% ആണെന്ന് ഒരാൾ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു.

സാധ്യതകളെക്കുറിച്ചുള്ള പഠനം, സാധ്യതകൾ പ്രവചിക്കാനോ വിലയിരുത്താനോ നമ്മെ പ്രാപ്തരാക്കുന്നു. ആഗ്രഹിക്കുന്ന ഏതെങ്കിലും ഇവന്റിന്റെ വിജയമോ പരാജയമോ അത് മെച്ചപ്പെടുത്തുന്നതിനുള്ള നടപടികൾ കൈക്കൊള്ളുക.

ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു പുതിയ ഉൽപ്പന്നം പരീക്ഷിക്കുമ്പോൾ, പരാജയപ്പെടാനുള്ള ഉയർന്ന സംഭാവ്യത കുറഞ്ഞ നിലവാരമുള്ള ഉൽപ്പന്നത്തെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു. പരാജയത്തിന്റെയോ വിജയത്തിന്റെയോ സാധ്യതകൾ കണക്കാക്കുന്നത് നിർമ്മാതാക്കളെ അവരുടെ ഉൽപ്പന്ന ഗുണനിലവാരവും അനുഭവവും മെച്ചപ്പെടുത്താൻ സഹായിക്കും.

ഡാറ്റാ അനലിറ്റിക്‌സിൽ, ദ്വിതീയ ഡാറ്റയിലെ പ്രോബബിലിറ്റി കണ്ടെത്തുന്നതിന് നാമമാത്രവും സോപാധികവുമായ വിതരണങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു. എന്നാൽ അതിലേക്ക് കടക്കുന്നതിന് മുമ്പ്, നമുക്ക് ചില അടിസ്ഥാനകാര്യങ്ങളിലൂടെ കടന്നുപോകാം.

പ്രോബബിലിറ്റിയുടെ അടിസ്ഥാനങ്ങൾ

സംഭാവ്യതയിൽ പതിവായി ഉപയോഗിക്കുന്ന പദമാണ് 'റാൻഡം വേരിയബിൾ'. ക്രമരഹിതമായി നടക്കുന്ന ഒരു സംഭവത്തിന്റെ ഫലങ്ങൾ കണക്കാക്കാൻ ഒരു റാൻഡം വേരിയബിൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു സ്കൂൾ അവരുടെ മുൻ പരീക്ഷകളെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, വരാനിരിക്കുന്ന പരീക്ഷകളിൽ അവരുടെ ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലെ പ്രകടനം പ്രവചിക്കാൻ ഗവേഷണം നടത്തുന്നു. പ്രകടനം. ഗവേഷണം ആകെ 110 എണ്ണത്തിൽ ഒതുങ്ങുന്നു6 മുതൽ 8 ക്ലാസ് വരെയുള്ള വിദ്യാർത്ഥികൾ. ഒരു റാൻഡം വേരിയബിൾ "X" എന്നത് ലഭിച്ച ഗ്രേഡുകളായി നിർവചിച്ചിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ. ഇനിപ്പറയുന്ന പട്ടിക ശേഖരിച്ച ഡാറ്റ കാണിക്കുന്നു:

ഡാറ്റ സാമ്പിൾ

P (X=A+) = 14/110 = 0.1273

0.1273 *100=12.7%

ഇത് കാണിക്കുന്നത് ഏകദേശം 12.7% വിദ്യാർത്ഥികൾക്ക് സ്കോർ ചെയ്യാൻ കഴിയുമെന്നാണ് അവരുടെ വരാനിരിക്കുന്ന പരീക്ഷകളിൽ A+ ലേക്ക്.

സ്കൂളുകളും വിദ്യാർത്ഥികളുടെ ഗ്രേഡുകൾ അവരുടെ ക്ലാസുകളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് വിശകലനം ചെയ്യാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്നുവെങ്കിൽ എന്തുചെയ്യും. അപ്പോൾ A + സ്കോർ ചെയ്യുന്ന 12.7% വിദ്യാർത്ഥികളിൽ എത്ര പേർ 8-ാം ക്ലാസ്സിൽ നിന്നുള്ളവരാണ്?

ഒരു റാൻഡം വേരിയബിൾ കൈകാര്യം ചെയ്യുന്നത് വളരെ ലളിതമാണ്, എന്നാൽ നിങ്ങളുടെ ഡാറ്റ രണ്ട് റാൻഡം വേരിയബിളുകളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് വിതരണം ചെയ്യുമ്പോൾ , കണക്കുകൂട്ടലുകൾ അൽപ്പം സങ്കീർണ്ണമായേക്കാം.

ബൈവേറിയറ്റ് ഡാറ്റയിൽ നിന്ന് പ്രസക്തമായ വിവരങ്ങൾ എക്‌സ്‌ട്രാക്റ്റുചെയ്യുന്നതിനുള്ള ഏറ്റവും ലളിതമായ രണ്ട് വഴികൾ നാമമാത്രവും സോപാധികവുമായ വിതരണമാണ്.

സംഭാവ്യതയുടെ അടിസ്ഥാനകാര്യങ്ങൾ ദൃശ്യപരമായി വിശദീകരിക്കാൻ, ഇതാ ഒരു വീഡിയോ ഗണിത ആൻറിക്‌സിൽ നിന്ന്:

ഗണിത ആന്റിക്‌സ് - അടിസ്ഥാന സാധ്യത

മാർജിനൽ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ എന്നതുകൊണ്ട് എന്താണ് അർത്ഥമാക്കുന്നത്?

മാർജിനൽ ഡിസ്‌ട്രിബ്യൂഷൻ അല്ലെങ്കിൽ മാർജിനൽ പ്രോബബിലിറ്റി എന്നത് മറ്റൊരു വേരിയബിളിൽ നിന്ന് സ്വതന്ത്രമായ ഒരു വേരിയബിളിന്റെ വിതരണമാണ്. ഇത് രണ്ടിൽ ഒന്നിനെ മാത്രം ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നുമറ്റ് ഇവന്റിന്റെ എല്ലാ സാധ്യതകളും ഉൾപ്പെടുത്തുമ്പോൾ സംഭവിക്കുന്ന ഇവന്റുകൾ.

ഡാറ്റയെ ഒരു പട്ടികാ രൂപത്തിൽ പ്രതിനിധീകരിക്കുമ്പോൾ, മാർജിനൽ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ എന്ന ആശയം മനസ്സിലാക്കാൻ എളുപ്പമാണ്. മാർജിനൽ എന്ന പദം സൂചിപ്പിക്കുന്നത് അതിൽ മാർജിനുകളോടു കൂടിയ വിതരണവും ഉൾപ്പെടുന്നു എന്നാണ്.

താഴെപ്പറയുന്ന പട്ടികകൾ 6-8 ക്ലാസ് വരെയുള്ള 110 വിദ്യാർത്ഥികളുടെ ഗ്രേഡുകൾ കാണിക്കുന്നു. അവരുടെ വരാനിരിക്കുന്ന മാത്തമാറ്റിക്‌സ് പരീക്ഷയുടെ ഗ്രേഡ് പ്രവചിക്കാൻ ഞങ്ങൾക്ക് ഈ വിവരങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കാം,

ഡാറ്റ സാമ്പിൾ

ഈ ടേബിളോ സാമ്പിൾ ഡാറ്റയോ ഉപയോഗിച്ച്, മൊത്തം വിദ്യാർത്ഥികളുടെ എണ്ണത്തെയോ അല്ലെങ്കിൽ ഒരു പ്രത്യേക സ്റ്റാൻഡേർഡിലെ വിദ്യാർത്ഥികളുടെ നാമമാത്ര വിതരണത്തെയോ സംബന്ധിച്ച് ഗ്രേഡുകളുടെ നാമമാത്രമായ വിതരണം നമുക്ക് കണക്കാക്കാം.

മാർജിനൽ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ കണക്കാക്കുമ്പോൾ രണ്ടാമത്തെ ഇവന്റ് സംഭവിക്കുന്നത് ഞങ്ങൾ അവഗണിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണത്തിന്, മൊത്തം സംഖ്യയുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് C നേടിയ വിദ്യാർത്ഥികളുടെ നാമമാത്ര വിതരണം കണക്കാക്കുമ്പോൾവിദ്യാർത്ഥികളേ, വരിയിലുടനീളമുള്ള ഓരോ ക്ലാസിലെയും വിദ്യാർത്ഥികളുടെ എണ്ണം ഞങ്ങൾ ചുരുക്കി, മൊത്തം വിദ്യാർത്ഥികളുടെ എണ്ണം കൊണ്ട് മൂല്യം ഡൈസ് ചെയ്യുന്നു.

എല്ലാ സ്റ്റാൻഡേർഡുകളിലും സി നേടിയ മൊത്തം വിദ്യാർത്ഥികളുടെ എണ്ണം 19 ആണ്.

6-8 ക്ലാസിലെ മൊത്തം വിദ്യാർത്ഥികളുടെ എണ്ണം കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ: 19/110=0.1727

മൂല്യം 100 കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ 17.27% ലഭിക്കും.

17.27 മൊത്തം വിദ്യാർത്ഥികളുടെ % ഒരു C നേടി.

ഓരോ സ്റ്റാൻഡേർഡിലുമുള്ള വിദ്യാർത്ഥികളുടെ നാമമാത്രമായ വിതരണം നിർണ്ണയിക്കാൻ ഞങ്ങൾക്ക് ഈ പട്ടിക ഉപയോഗിക്കാം. ഉദാഹരണത്തിന്, ആറാം ക്ലാസിലെ വിദ്യാർത്ഥികളുടെ മാർജിനൽ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ 29/110 ആണ്, ഇത് 0.2636 നൽകുന്നു. ഈ മൂല്യം 100 കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ 26.36% ലഭിക്കും.

അതുപോലെ, 7, 8 ക്ലാസുകളിലെ വിദ്യാർത്ഥികളുടെ നാമമാത്ര വിതരണം യഥാക്രമം 40% ഉം 33.6% ഉം ആണ്.

എന്താണ് സോപാധിക വിതരണങ്ങൾ കൊണ്ട് ഉദ്ദേശിക്കുന്നത്?

പേര് വ്യാഖ്യാനിക്കുന്നത് പോലെ സോപാധികമായ വിതരണം, നിലവിലുള്ള അവസ്ഥയെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ്. ഇത് ഒരു വേരിയബിളിന്റെ പ്രോബബിലിറ്റിയാണ്, മറ്റൊരു വേരിയബിൾ നൽകിയിരിക്കുന്ന അവസ്ഥയിൽ സജ്ജീകരിച്ചിരിക്കുന്നു.

കണ്ടീഷണൽ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷനുകൾ രണ്ട് വേരിയബിളുകൾ സംബന്ധിച്ച് നിങ്ങളുടെ സാമ്പിൾ വിശകലനം ചെയ്യാൻ നിങ്ങളെ പ്രാപ്തരാക്കുന്നു. ഡാറ്റാ അനലിറ്റിക്സിൽ, പലപ്പോഴും സംഭവിക്കുന്ന ഒരു സംഭവത്തിന്റെ സാധ്യത മറ്റൊരു ഘടകത്താൽ സ്വാധീനിക്കപ്പെടുന്നു.

സോപാധിക സംഭാവ്യത ഡാറ്റയുടെ ടാബ്ലർ പ്രാതിനിധ്യം ഉപയോഗിക്കുന്നു. ഇത് സാമ്പിൾ ഡാറ്റയുടെ ദൃശ്യവൽക്കരണവും വിശകലനവും മെച്ചപ്പെടുത്തുന്നു.

ഉദാഹരണത്തിന്, നിങ്ങൾ ശരാശരി ജീവിതമാണ് സർവേ ചെയ്യുന്നതെങ്കിൽജനസംഖ്യയുടെ വ്യാപ്തി, കണക്കിലെടുക്കേണ്ട രണ്ട് വേരിയബിളുകൾ, അവരുടെ ദൈനംദിന ശരാശരി കലോറി ഉപഭോഗം, ശാരീരിക പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ആവൃത്തി എന്നിവ ആകാം. അവരുടെ പ്രതിദിന കലോറി ഉപഭോഗം 2500kcal-ന് മുകളിലാണെങ്കിൽ അല്ലെങ്കിൽ തിരിച്ചും, ജനസംഖ്യയുടെ ശരാശരി ആയുസ്സിൽ ശാരീരിക പ്രവർത്തനത്തിന്റെ സ്വാധീനം കണ്ടെത്താൻ സോപാധിക പ്രോബബിലിറ്റി നിങ്ങളെ സഹായിക്കും.

ഞങ്ങൾ പ്രതിദിന കലോറിയുടെ അളവ് സജ്ജമാക്കുമ്പോൾ < 2500kcal, ഞങ്ങൾ ഒരു നിബന്ധന വെച്ചു. ഈ അവസ്ഥയെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, ശരാശരി ആയുസ്സിൽ ശാരീരിക പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ആഘാതം നിർണ്ണയിക്കാനാകും.

അല്ലെങ്കിൽ, നിലവിലുള്ള രണ്ട് എനർജി ഡ്രിങ്കുകളുടെ വിൽപ്പന വ്യതിയാനം നിരീക്ഷിക്കുമ്പോൾ, വിൽപ്പനയെ സ്വാധീനിക്കുന്ന രണ്ട് വേരിയബിളുകൾ ഈ ഊർജ്ജ പാനീയങ്ങൾ അവയുടെ സാന്നിധ്യവും വിലയുമാണ്. രണ്ട് എനർജി ഡ്രിങ്കുകളുടെ വിലയുടെയും സാന്നിദ്ധ്യത്തിന്റെയും സ്വാധീനം ഉപഭോക്താവിന്റെ വാങ്ങൽ ഉദ്ദേശത്തിൽ നിർണ്ണയിക്കാൻ നമുക്ക് സോപാധിക പ്രോബബിലിറ്റി ഉപയോഗിക്കാം.

നല്ലത് മനസ്സിലാക്കാൻ, നാമമാത്ര വിതരണത്തിൽ ഉപയോഗിച്ച അതേ ഉദാഹരണം നോക്കാം:

ഡാറ്റ സാമ്പിൾ

ഉദാഹരണത്തിന്, മൊത്തം വിദ്യാർത്ഥികളുടെ എണ്ണവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് സി സ്കോർ ചെയ്യുന്ന ആറാം ക്ലാസ് വിദ്യാർത്ഥികളുടെ വിതരണം നിങ്ങൾ കണ്ടെത്തണം. നിങ്ങൾ ആറാം ക്ലാസിലെ സി നേടിയ വിദ്യാർത്ഥികളുടെ എണ്ണത്തെ സി നേടിയ മൂന്ന് സ്റ്റാൻഡേർഡുകളിലെയും മൊത്തം വിദ്യാർത്ഥികളുടെ എണ്ണം കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ മതി.

അതിനാൽ ഉത്തരം b 4/19= 0.21

ഇതിനെ നൂറുകൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ 21% ലഭിക്കും

ഏഴാം ക്ലാസ് വിദ്യാർത്ഥിക്ക് സി സ്കോർ ചെയ്യുന്നതിന്റെ വിതരണം 7/19= 0.37

ഇത് കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ 100 37% നൽകുന്നു

ഒപ്പം 8-ാം ക്ലാസ് വിദ്യാർത്ഥിക്ക് C സ്കോർ ചെയ്യുന്നതിന്റെ വിതരണം 8/19= 0.42

100 കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ 42.1% ലഭിക്കും

സോപാധികവും മാർജിനൽ വിതരണവും തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം

സോപാധികവും നാമമാത്രവുമായ വിതരണങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം

മാർജിനൽ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ എന്നത് മൊത്തം സാമ്പിളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് ഒരു വേരിയബിളിന്റെ വിതരണമാണ്, അതേസമയം സോപാധിക വിതരണമാണ് മറ്റൊരു വേരിയബിളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ഒരു വേരിയബിളിന്റെ വിതരണമാണ്.

മാർജിനൽ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ സ്വതന്ത്രമാണ്മറ്റ് വേരിയബിളിന്റെ ഫലങ്ങളുടെ. മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, ഇത് നിരുപാധികമാണ്.

ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു സമ്മർ ക്യാമ്പിലെ കുട്ടികളുടെ ലിംഗഭേദത്തിന് ഒരു റാൻഡം വേരിയബിൾ "X" നൽകുകയും മറ്റൊരു റാൻഡം വേരിയബിൾ "Y" ഇവയുടെ പ്രായത്തിന് നൽകുകയും ചെയ്യുന്നുവെങ്കിൽ കുട്ടികൾ അപ്പോൾ,

ഒരു വേനൽക്കാല ക്യാമ്പിലെ ആൺകുട്ടികളുടെ നാമമാത്ര വിതരണം പി(X=ആൺകുട്ടികൾ) നൽകാം, അതേസമയം 8 വയസ്സിന് താഴെയുള്ള ആൺകുട്ടികളുടെ അനുപാതം സോപാധികമായ വിതരണത്തിലൂടെ പി( X=ആൺകുട്ടികൾ