La probabilità è una branca della matematica che quantifica la previsione del verificarsi di un certo evento per un dato insieme di dati, dando un'interpretazione matematica alla probabilità di ottenere il risultato desiderato.

La probabilità che un evento si verifichi è compresa tra zero e uno. Zero indica che non ci sono possibilità o probabilità che quell'evento si verifichi, mentre uno rappresenta che la probabilità che un certo evento si verifichi è del 100%.

Lo studio della probabilità ci permette di prevedere o giudicare le probabilità di successo o di fallimento di un evento desiderato e di adottare misure per migliorarlo.

Ad esempio, quando si testa un nuovo prodotto, un'alta probabilità di fallimento indica un prodotto di bassa qualità. Quantificare le probabilità di fallimento o di successo può aiutare i produttori a migliorare la qualità e l'esperienza del prodotto.

Nell'analisi dei dati, le distribuzioni marginali e condizionali vengono utilizzate per trovare la probabilità nei dati bivariati. Ma prima di entrare nel merito, esaminiamo alcune nozioni di base.

Fondamenti di probabilità

Un termine frequentemente usato in probabilità è "variabile casuale", che serve a quantificare i risultati di un evento casuale che si verifica.

Ad esempio, una scuola conduce una ricerca per prevedere il rendimento dei propri studenti in matematica nei prossimi esami, sulla base dei loro risultati precedenti. La ricerca è limitata a un numero totale di 110 studenti dal 6° all'8° livello. Se una variabile casuale "X" è definita come i voti ottenuti, la tabella seguente mostra i dati raccolti:

Campione di dati

P(X=A+) = 14/110 = 0,1273

0.1273 *100=12.7%

Ciò dimostra che circa il 12,7% degli studenti può ottenere un punteggio fino a A+ nei prossimi esami.

E se le scuole volessero analizzare anche i voti degli studenti rispetto alle loro classi, quanti del 12,7% degli studenti che hanno ottenuto una A+ appartengono all'ottava classe?

Trattare una singola variabile casuale è piuttosto semplice, ma quando i dati sono distribuiti rispetto a due variabili casuali, i calcoli possono essere un po' complessi.

I due modi più semplificati per estrarre informazioni rilevanti da dati bivariati sono la distribuzione marginale e quella condizionale.

Per spiegare visivamente le basi della probabilità, ecco un video di Math Antics:

Buffonate matematiche - Probabilità di base

Cosa si intende per distribuzione marginale?

La distribuzione marginale o probabilità marginale è la distribuzione di una variabile indipendente dall'altra variabile, che dipende solo dal verificarsi di uno dei due eventi e che comprende tutte le possibilità dell'altro evento.

È più facile comprendere il concetto di distribuzione marginale quando i dati sono rappresentati in forma tabellare. Il termine marginale indica che include la distribuzione lungo i margini.

Le seguenti tabelle mostrano i voti di 110 studenti di 6-8° livello. Possiamo usare queste informazioni per prevedere il voto del loro prossimo esame di matematica,

Campione di dati

Utilizzando questa tabella o i dati del campione, possiamo calcolare la distribuzione marginale dei voti rispetto al numero totale di studenti o la distribuzione marginale degli studenti in uno standard specifico.

Nel calcolo della distribuzione marginale non teniamo conto del verificarsi di un secondo evento.

Ad esempio, per calcolare la distribuzione marginale degli studenti che hanno ottenuto una C rispetto al numero totale di studenti, è sufficiente sommare il numero di studenti per ogni classe su tutta la riga e dividere il valore con il numero totale di studenti.

Il numero totale di studenti che hanno ottenuto una C in tutti gli standard combinati è 19.

Dividendolo per il numero totale di studenti del 6-8° livello: 19/110=0,1727

Moltiplicando il valore per 100 si ottiene il 17,27%.

Il 17,27% del totale degli studenti ha ottenuto una C.

Possiamo anche usare questa tabella per determinare la distribuzione marginale degli studenti in ogni standard. Per esempio, la distribuzione marginale degli studenti nel 6° standard è 29/110, che dà 0,2636. Moltiplicando questo valore per 100 si ottiene il 26,36%.

Allo stesso modo, la distribuzione marginale degli studenti del 7° e 8° livello è rispettivamente del 40% e del 33,6%.

Cosa si intende per distribuzioni condizionate?

La distribuzione condizionale, così come interpretata dal nome, si basa su una condizione preesistente. È la probabilità di una variabile mentre l'altra variabile è impostata a una determinata condizione.

Le distribuzioni condizionali consentono di analizzare il campione in relazione a due variabili. Nell'analisi dei dati, spesso la probabilità che un evento si verifichi è influenzata da un altro fattore.

La probabilità condizionata utilizza la rappresentazione tabellare dei dati, migliorando la visualizzazione e l'analisi dei dati del campione.

Ad esempio, se si sta effettuando un'indagine sulla durata media della vita della popolazione, due variabili da prendere in considerazione possono essere l'apporto calorico medio giornaliero e la frequenza dell'attività fisica. La probabilità condizionata può aiutare a capire l'impatto dell'attività fisica sulla durata media della vita della popolazione se l'apporto calorico giornaliero è superiore a 2500kcal o viceversa.

Impostando l'apporto calorico giornaliero <2500kcal, abbiamo posto una condizione. In base a questa condizione, è possibile determinare l'impatto delle attività fisiche sulla durata media della vita.

Oppure, osservando lo scostamento delle vendite di due marche prevalenti di bevande energetiche, due variabili che influenzano le vendite di queste bevande energetiche sono la loro presenza e il prezzo. Possiamo usare la probabilità condizionata per determinare l'influenza del prezzo e della presenza di due bevande energetiche sull'intenzione di acquisto dei clienti.

Per capire meglio, analizziamo lo stesso esempio utilizzato nella distribuzione marginale:

Campione di dati

Per esempio, se si vuole trovare la distribuzione degli studenti del 6° standard che hanno ottenuto una C, rispetto al numero totale di studenti, è sufficiente dividere il numero di studenti del 6° standard che hanno ottenuto una C per il numero totale di studenti di tutti e tre gli standard che hanno ottenuto una C.

Quindi la risposta sarà b 4/19= 0,21

Moltiplicando per cento si ottiene il 21%.

La distribuzione di uno studente di 7° livello che ottiene una C è 7/19= 0,37

Moltiplicando per 100 si ottiene il 37%.

E la distribuzione di uno studente dell'8° livello che ottiene una C è 8/19= 0,42

Moltiplicando per 100 si ottiene il 42,1%.

Differenza tra distribuzione condizionata e distribuzione marginale

Differenza tra distribuzione condizionale e marginale

La distribuzione marginale è la distribuzione di una variabile rispetto al campione totale, mentre la distribuzione condizionale è la distribuzione di una variabile rispetto a un'altra variabile.

La distribuzione marginale è indipendente dai risultati dell'altra variabile. In altre parole, è semplicemente incondizionata.

Ad esempio, se una variabile casuale "X" è assegnata al sesso dei bambini in un campo estivo e un'altra variabile casuale "Y" è assegnata all'età di questi bambini, allora,

La distribuzione marginale dei ragazzi in un campo estivo può essere data da P(X=ragazzi), mentre la proporzione di ragazzi sotto gli 8 anni è data dalla distribuzione condizionale P(X=ragazzi).

Riflessioni finali

La distribuzione marginale mostra le probabilità di diversi valori delle variabili senza indicare le altre variabili.

Tuttavia, la distribuzione condizionale è la probabilità di una variabile calcolata in riferimento a un'altra variabile.

Entrambe le teorie della probabilità sono corrette e la loro applicazione varia a seconda dei problemi, dei casi e degli scenari.

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