Теорія ймовірностей - це розділ математики, який кількісно оцінює передбачення настання певної події за певним набором даних. Вона дає математичну інтерпретацію ймовірності отримання бажаного результату.

Ймовірність настання будь-якої події знаходиться в діапазоні від нуля до одиниці. Нуль означає, що немає жодних шансів або ймовірності настання цієї події, а одиниця означає, що ймовірність настання певної події дорівнює 100%.

Вивчення ймовірності дозволяє нам передбачити або оцінити шанси на успіх або невдачу будь-якої бажаної події і вжити заходів для її покращення.

Наприклад, при тестуванні нового продукту висока ймовірність невдачі означає низьку якість продукту. Кількісна оцінка шансів на невдачу або успіх може допомогти виробникам покращити якість своєї продукції та вдосконалити свій досвід.

В аналітиці даних граничні та умовні розподіли використовуються для знаходження ймовірності у двовимірних даних. Але перш ніж ми перейдемо до цього, давайте розглянемо деякі основи.

Основи теорії ймовірностей

У теорії ймовірностей часто використовується термін "випадкова величина". Випадкова величина використовується для кількісної оцінки результатів випадкової події, що відбувається.

Наприклад, школа проводить дослідження, щоб спрогнозувати результати своїх учнів з математики на майбутніх іспитах на основі їх попередніх результатів. У дослідженні беруть участь 110 учнів з 6 по 8 клас. Випадковою величиною "X" є отримані оцінки. У наступній таблиці наведено зібрані дані:

Вибірка даних

P(X=A+) = 14/110 = 0.1273

0.1273 *100=12.7%

Це свідчить про те, що близько 12,7% студентів можуть отримати оцінку А+ на майбутніх іспитах.

Що, якщо школи також захочуть проаналізувати оцінки учнів щодо їхніх класів? Скільки з 12,7% учнів, які отримують "А+", належать до 8-го стандарту?

Працювати з однією випадковою величиною досить просто, але коли ваші дані розподілені по відношенню до двох випадкових величин, обчислення можуть бути дещо складнішими.

Два найпростіші способи вилучення релевантної інформації з двовимірних даних - маргінальний та умовний розподіл.

Щоб наочно пояснити основи теорії ймовірностей, ось відео від Math Antics:

Математичні витівки - основи теорії ймовірностей

Що мається на увазі під маржинальним розподілом?

Граничний розподіл або гранична ймовірність - це розподіл змінної, незалежний від іншої змінної. Він залежить лише від однієї з двох подій, що відбуваються, при цьому враховуючи всі можливості іншої події.

Концепцію маргінального розподілу легше зрозуміти, коли дані представлені в табличній формі. Термін "маргінальний" означає, що він включає в себе розподіл по краях.

У наступних таблицях наведено оцінки 110 учнів 6-8 класів. Ми можемо використати цю інформацію, щоб спрогнозувати оцінку за майбутній іспит з математики,

Вибірка даних

Використовуючи цю таблицю або вибіркові дані, ми можемо розрахувати граничний розподіл оцінок щодо загальної кількості учнів або граничний розподіл учнів за певним стандартом.

Ми не враховуємо появу другої події при розрахунку граничного розподілу.

Наприклад, розраховуючи граничний розподіл учнів, які отримали трійки, відносно загальної кількості учнів, ми просто підсумовуємо кількість учнів для кожного класу в рядку і ділимо отримане значення на загальну кількість учнів.

Загальна кількість студентів, які отримали трійки за всіма стандартами разом узятими, становить 19.

Ділимо його на загальну кількість учнів 6-8 класів: 19/110=0,1727

Множення значення на 100 дає 17,27%.

17,27% від загальної кількості студентів отримали трійку.

Ми також можемо використовувати цю таблицю для визначення граничного розподілу учнів за кожним стандартом. Наприклад, граничний розподіл учнів у 6-му стандарті становить 29/110, що дає 0,2636. Помноживши це значення на 100, ми отримаємо 26,36%.

Аналогічно, граничний розподіл учнів у 7-му та 8-му класах становить 40% та 33,6% відповідно.

Що мається на увазі під умовними розподілами?

Умовний розподіл, як випливає з назви, ґрунтується на попередній умові. Це ймовірність однієї змінної, коли інша змінна знаходиться в заданому стані.

Умовні розподіли дають змогу аналізувати вибірку за двома змінними. В аналітиці даних часто на ймовірність настання події впливає інший фактор.

Умовна ймовірність використовує табличне представлення даних. Це покращує візуалізацію та аналіз даних вибірки.

Наприклад, якщо ви досліджуєте середню тривалість життя населення, вам слід взяти до уваги дві змінні: середньодобове споживання калорій і частоту фізичної активності. Умовна ймовірність може допомогти вам з'ясувати вплив фізичної активності на середню тривалість життя населення, якщо їхнє добове споживання калорій перевищує 2500 ккал, або навпаки.

Оскільки ми встановили добову норму споживання калорій 2500 ккал, ми поставили умову. На основі цієї умови можна визначити вплив фізичних навантажень на середню тривалість життя.

Або, спостерігаючи за відхиленням продажів двох домінуючих марок енергетичних напоїв, двома змінними, які впливають на продажі цих напоїв, є їх наявність та ціна. Ми можемо використати умовну ймовірність, щоб визначити вплив ціни та наявності двох енергетичних напоїв на наміри покупців щодо їх купівлі.

Щоб краще зрозуміти, давайте розглянемо той самий приклад, що використовується в маржинальному розподілі:

Вибірка даних

Наприклад, ви хочете знайти розподіл учнів 6-го класу, які отримали трійку, відносно загальної кількості учнів. Для цього просто поділіть кількість учнів 6-го класу, які отримали трійку, на загальну кількість учнів у всіх трьох класах, які отримали трійку.

Отже, відповідь буде b 4/19= 0.21

Помноживши його на сто, ви отримаєте 21%.

Розподіл ймовірності того, що учень 7-го класу отримає трійку, становить 7/19= 0,37

Якщо помножити його на 100, вийде 37%.

А розподіл ймовірності того, що учень 8-го класу отримає трійку, становить 8/19= 0,42

Якщо помножити його на 100, вийде 42,1%.

Різниця між умовним та граничним розподілом

Різниця між умовним та маржинальним розподілом

Граничний розподіл - це розподіл змінної по відношенню до всієї вибірки, тоді як умовний розподіл - це розподіл змінної відносно іншої змінної.

Граничний розподіл не залежить від результатів іншої змінної. Іншими словами, він просто безумовний.

Наприклад, якщо випадковій величині "X" присвоєно стать дітей у літньому таборі, а іншій випадковій величині "Y" присвоєно вік цих дітей,

Граничний розподіл хлопчиків у літньому таборі можна подати як P(X=boys), тоді як частка хлопчиків віком до 8 років подається умовним розподілом як P(X=boys).

Заключні думки

Граничний розподіл показує ймовірності різних значень змінних без вказівки на інші змінні.

Однак, умовний розподіл - це ймовірність змінної, яка обчислюється по відношенню до іншої змінної.

Обидві ці теорії ймовірності є правильними, і їх застосування відрізняється в різних проблемах, випадках і сценаріях.

Схожі статті