Η πιθανότητα είναι ένας κλάδος των μαθηματικών που ποσοτικοποιεί την πρόβλεψη της πραγματοποίησης ενός συγκεκριμένου γεγονότος για ένα δεδομένο σύνολο δεδομένων. Δίνει μαθηματική ερμηνεία στην πιθανότητα να επιτευχθεί το επιθυμητό αποτέλεσμα.

Η πιθανότητα εμφάνισης οποιουδήποτε γεγονότος κυμαίνεται μεταξύ μηδέν και ένα. Το μηδέν δηλώνει ότι δεν υπάρχει καμία πιθανότητα ή πιθανότητα να συμβεί αυτό το γεγονός, ενώ το ένα δηλώνει ότι η πιθανότητα εμφάνισης ενός συγκεκριμένου γεγονότος είναι 100%.

Η μελέτη των πιθανοτήτων μας επιτρέπει να προβλέψουμε ή να κρίνουμε τις πιθανότητες επιτυχίας ή αποτυχίας οποιουδήποτε επιθυμητού γεγονότος και να λάβουμε μέτρα για τη βελτίωσή του.

Για παράδειγμα, κατά τη δοκιμή ενός νέου προϊόντος, μια υψηλή πιθανότητα αποτυχίας σημαίνει προϊόν χαμηλής ποιότητας. Η ποσοτικοποίηση των πιθανοτήτων αποτυχίας ή επιτυχίας μπορεί να βοηθήσει τους κατασκευαστές να βελτιώσουν την ποιότητα και την εμπειρία των προϊόντων τους.

Στην ανάλυση δεδομένων, οι οριακές και οι υπό συνθήκη κατανομές χρησιμοποιούνται για την εύρεση της πιθανότητας σε διμεταβλητά δεδομένα. Αλλά πριν περάσουμε σε αυτό, ας δούμε μερικά βασικά στοιχεία.

Βασικά στοιχεία των πιθανοτήτων

Ένας όρος που χρησιμοποιείται συχνά στις πιθανότητες είναι η "τυχαία μεταβλητή". Μια τυχαία μεταβλητή χρησιμοποιείται για να ποσοτικοποιήσει τα αποτελέσματα ενός τυχαίου γεγονότος που λαμβάνει χώρα.

Για παράδειγμα, ένα σχολείο διεξάγει έρευνα για να προβλέψει τις επιδόσεις των μαθητών του στα Μαθηματικά στις επερχόμενες εξετάσεις, με βάση τις προηγούμενες επιδόσεις τους. Η έρευνα περιορίζεται σε έναν συνολικό αριθμό 110 μαθητών από το 6ο έως το 8ο επίπεδο. Αν ως τυχαία μεταβλητή "Χ" ορίζονται οι βαθμοί που έχουν λάβει. Ο παρακάτω πίνακας δείχνει τα δεδομένα που συλλέχθηκαν:

Δείγμα δεδομένων

P(X=A+) = 14/110 = 0,1273

0.1273 *100=12.7%

Αυτό δείχνει ότι περίπου το 12,7% των μαθητών μπορεί να πετύχει μέχρι και Α+ στις επερχόμενες εξετάσεις τους.

Τι γίνεται αν τα σχολεία θέλουν επίσης να αναλύσουν τους βαθμούς των μαθητών σε σχέση με τις τάξεις τους. Πόσοι λοιπόν από το 12,7% των μαθητών που σημειώνουν Α+ ανήκουν στην 8η τάξη;

Η αντιμετώπιση μιας μεμονωμένης τυχαίας μεταβλητής είναι αρκετά απλή, αλλά όταν τα δεδομένα σας κατανέμονται σε σχέση με δύο τυχαίες μεταβλητές, οι υπολογισμοί μπορεί να είναι λίγο περίπλοκοι.

Οι δύο πιο απλοποιημένοι τρόποι εξαγωγής σχετικών πληροφοριών από διμεταβλητά δεδομένα είναι η οριακή και η υπό συνθήκη κατανομή.

Για να εξηγήσετε οπτικά τα βασικά στοιχεία των πιθανοτήτων, δείτε ένα βίντεο από το Math Antics:

Μαθηματικά Antics - Βασικές πιθανότητες

Τι σημαίνει οριακή κατανομή;

Η οριακή κατανομή ή οριακή πιθανότητα είναι η κατανομή μιας μεταβλητής ανεξάρτητη από την άλλη μεταβλητή. Εξαρτάται μόνο από την πραγματοποίηση ενός από τα δύο γεγονότα, ενώ συνυπολογίζει όλες τις πιθανότητες του άλλου γεγονότος.

Είναι ευκολότερο να κατανοήσουμε την έννοια της οριακής κατανομής όταν τα δεδομένα παρουσιάζονται σε μορφή πίνακα. Ο όρος οριακή δηλώνει ότι περιλαμβάνει την κατανομή κατά μήκος των περιθωρίων.

Οι παρακάτω πίνακες δείχνουν τους βαθμούς 110 μαθητών από το 6-8ο επίπεδο. Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αυτές τις πληροφορίες για να προβλέψουμε έναν βαθμό για τις επερχόμενες εξετάσεις τους στα μαθηματικά,

Δείγμα δεδομένων

Χρησιμοποιώντας αυτόν τον πίνακα ή τα δεδομένα του δείγματος, μπορούμε να υπολογίσουμε την οριακή κατανομή των βαθμών σε σχέση με τον συνολικό αριθμό των μαθητών ή την οριακή κατανομή των μαθητών σε ένα συγκεκριμένο πρότυπο.

Δεν λαμβάνουμε υπόψη την εμφάνιση ενός δεύτερου γεγονότος κατά τον υπολογισμό της οριακής κατανομής.

Για παράδειγμα, κατά τον υπολογισμό της οριακής κατανομής των μαθητών που έλαβαν Γ σε σχέση με τον συνολικό αριθμό των μαθητών, απλά αθροίζουμε τον αριθμό των μαθητών για κάθε τάξη σε όλη τη σειρά και ζυγίζουμε την τιμή με τον συνολικό αριθμό των μαθητών.

Ο συνολικός αριθμός των μαθητών που έλαβαν Γ σε όλα τα πρότυπα μαζί είναι 19.

Διαιρώντας το με το συνολικό αριθμό των μαθητών της 6-8ης τάξης: 19/110=0,1727

Πολλαπλασιάζοντας την τιμή με το 100 προκύπτει 17,27%.

Το 17,27% του συνόλου των μαθητών πέτυχε Γ.

Μπορούμε επίσης να χρησιμοποιήσουμε αυτόν τον πίνακα για να προσδιορίσουμε την οριακή κατανομή των μαθητών σε κάθε πρότυπο. Για παράδειγμα, η οριακή κατανομή των μαθητών στο 6ο πρότυπο είναι 29/110, που δίνει 0,2636. Πολλαπλασιάζοντας αυτή την τιμή επί 100 προκύπτει 26,36%.

Ομοίως, η οριακή κατανομή των μαθητών στο 7ο και 8ο επίπεδο είναι 40% και 33,6%, αντίστοιχα.

Τι εννοείται με τις υπό όρους κατανομές;

Η υπό συνθήκη κατανομή, όπως ερμηνεύεται από το όνομά της, βασίζεται σε μια προϋπάρχουσα κατάσταση. Είναι η πιθανότητα μιας μεταβλητής ενώ η άλλη μεταβλητή έχει οριστεί σε μια δεδομένη κατάσταση.

Οι κατανομές υπό όρους σας επιτρέπουν να αναλύσετε το δείγμα σας σχετικά με δύο μεταβλητές. Στην ανάλυση δεδομένων, συχνά η πιθανότητα εμφάνισης ενός γεγονότος επηρεάζεται από έναν άλλο παράγοντα.

Η υπό συνθήκη πιθανότητα χρησιμοποιεί την αναπαράσταση των δεδομένων σε πίνακα. Αυτό βελτιώνει την οπτικοποίηση και την ανάλυση των δειγματικών δεδομένων.

Για παράδειγμα, αν ερευνάτε τη μέση διάρκεια ζωής του πληθυσμού, δύο μεταβλητές που μπορείτε να λάβετε υπόψη σας μπορεί να είναι, η μέση ημερήσια πρόσληψη θερμίδων και η συχνότητα σωματικής δραστηριότητας. Η υπό συνθήκη πιθανότητα μπορεί να σας βοηθήσει να υπολογίσετε την επίδραση της σωματικής δραστηριότητας στη μέση διάρκεια ζωής του πληθυσμού αν η ημερήσια πρόσληψη θερμίδων είναι πάνω από 2500kcal ή το αντίστροφο.

Καθώς ορίζουμε την ημερήσια πρόσληψη θερμίδων <2500kcal, θέτουμε μια συνθήκη. Με βάση αυτή τη συνθήκη, μπορεί να προσδιοριστεί η επίδραση των σωματικών δραστηριοτήτων στη μέση διάρκεια ζωής.

Ή, παρατηρώντας την απόκλιση των πωλήσεων δύο επικρατέστερων εμπορικών σημάτων ενεργειακών ποτών, δύο μεταβλητές που επηρεάζουν τις πωλήσεις αυτών των ενεργειακών ποτών είναι η παρουσία και η τιμή τους. Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την υπό συνθήκη πιθανότητα για να προσδιορίσουμε την επίδραση της τιμής και της παρουσίας δύο ενεργειακών ποτών στην πρόθεση αγοράς των πελατών.

Για να το καταλάβετε καλύτερα, ας δούμε το ίδιο παράδειγμα που χρησιμοποιείται στην οριακή κατανομή:

Δείγμα δεδομένων

Για παράδειγμα, θέλετε να βρείτε την κατανομή των μαθητών του 6ου προτύπου που σημείωσαν Γ, όσον αφορά το συνολικό αριθμό των μαθητών. Απλώς διαιρείτε τον αριθμό των μαθητών του 6ου προτύπου που σημείωσαν Γ με το συνολικό αριθμό των μαθητών και των τριών προτύπων που σημείωσαν Γ.

Άρα η απάντηση θα είναι 4/19= 0,21

Ο πολλαπλασιασμός του με το εκατό δίνει 21%.

Η κατανομή της βαθμολογίας ενός μαθητή της 7ης τάξης που βαθμολογείται με Γ είναι 7/19= 0,37

Ο πολλαπλασιασμός του με το 100 δίνει 37%

Και η κατανομή της βαθμολογίας ενός μαθητή της 8ης τάξης που παίρνει Γ είναι 8/19= 0,42

Ο πολλαπλασιασμός με 100 δίνει 42,1%.

Διαφορά μεταξύ της υπό όρους και της οριακής κατανομής

Διαφορά μεταξύ υπό όρους και οριακής κατανομής

Η οριακή κατανομή είναι η κατανομή μιας μεταβλητής σε σχέση με το συνολικό δείγμα, ενώ η κατανομή υπό συνθήκη είναι η κατανομή μιας μεταβλητής σε σχέση με μια άλλη μεταβλητή.

Η οριακή κατανομή είναι ανεξάρτητη από τα αποτελέσματα της άλλης μεταβλητής. Με άλλα λόγια, είναι απλώς άνευ όρων.

Για παράδειγμα, εάν μια τυχαία μεταβλητή "Χ" αντιστοιχίζεται στο φύλο των παιδιών σε μια θερινή κατασκήνωση και μια άλλη τυχαία μεταβλητή "Υ" αντιστοιχίζεται στην ηλικία αυτών των παιδιών, τότε,

Η οριακή κατανομή των αγοριών σε μια θερινή κατασκήνωση μπορεί να δοθεί από την P(X=αγόρια), ενώ το ποσοστό των αγοριών κάτω των 8 ετών δίνεται από την υπό συνθήκη κατανομή ως P(X=αγόρια

Τελικές σκέψεις

Η οριακή κατανομή δείχνει τις πιθανότητες διαφορετικών τιμών των μεταβλητών χωρίς να υποδεικνύει τις άλλες μεταβλητές.

Ωστόσο, η υπό συνθήκη κατανομή είναι η πιθανότητα μιας μεταβλητής η οποία υπολογίζεται σε σχέση με μια άλλη μεταβλητή.

Και οι δύο αυτές θεωρίες πιθανοτήτων είναι σωστές και η εφαρμογή τους διαφέρει σε διαφορετικά προβλήματα, περιπτώσεις και σενάρια.

Σχετικά άρθρα