Вероятността е дял от математиката, който определя количествено прогнозата за настъпване на определено събитие за даден набор от данни. Тя дава математическа интерпретация на вероятността за получаване на желания резултат.

Вероятността за настъпване на дадено събитие е между нула и единица. Нула означава, че няма никаква вероятност или вероятност за настъпване на това събитие, а единица означава, че вероятността за настъпване на определено събитие е 100%.

Изучаването на вероятностите ни позволява да предвидим или преценим шансовете за успех или неуспех на всяко желано събитие и да вземем мерки за подобряването му.

Например при тестване на нов продукт високата вероятност за неуспех означава нискокачествен продукт. Количественото определяне на шансовете за неуспех или успех може да помогне на производителите да подобрят качеството и опита на своите продукти.

В анализа на данни за намиране на вероятността при двумерни данни се използват пределните и условните разпределения. Но преди да преминем към това, нека разгледаме някои основни положения.

Основи на вероятностите

Често използван термин в областта на вероятностите е "случайна величина". Случайната величина се използва за количествено определяне на резултатите от настъпването на случайно събитие.

Например едно училище провежда изследване, за да предвиди представянето на своите ученици по математика на предстоящите изпити въз основа на предишните им постижения. Изследването е ограничено до общо 110 ученици от 6 до 8 стандарт. Ако случайната променлива "X" е дефинирана като получените оценки. В следващата таблица са показани събраните данни:

Проба от данни

P(X=A+) = 14/110 = 0,1273

0.1273 *100=12.7%

Това показва, че около 12,7 % от учениците могат да получат оценка до А+ на предстоящите изпити.

Ами ако училищата искат да анализират и оценките на учениците по отношение на техните класове. И така, колко от 12,7 % от учениците, получили оценка А+, принадлежат към 8. клас?

Работата с една случайна променлива е доста проста, но когато данните са разпределени по отношение на две случайни променливи, изчисленията могат да бъдат малко по-сложни.

Двата най-опростени начина за извличане на релевантна информация от двумерни данни са пределно и условно разпределение.

За да обясните нагледно основите на вероятността, ето едно видео от Math Antics:

Математически лудории - Основи на вероятността

Какво се разбира под пределно разпределение?

Пределното разпределение или пределната вероятност е разпределението на една променлива, независимо от другата променлива. То зависи само от настъпването на едно от двете събития, като включва всички възможности за настъпване на другото събитие.

По-лесно е да се разбере концепцията за пределно разпределение, когато данните са представени в табличен вид. Терминът пределно означава, че то включва разпределението по границите.

В следващите таблици са показани оценките на 110 ученици от 6-8 клас. Можем да използваме тази информация, за да предвидим оценката им за предстоящия изпит по математика,

Проба от данни

Като използваме тази таблица или примерни данни, можем да изчислим пределното разпределение на оценките по отношение на общия брой ученици или пределното разпределение на учениците по определен стандарт.

При изчисляването на пределното разпределение не вземаме предвид появата на второ събитие.

Например при изчисляване на пределното разпределение на учениците, получили шестица, по отношение на общия брой ученици, просто се сумира броят на учениците за всеки клас в реда и стойността се разделя с общия брой ученици.

Общият брой на учениците, които са получили тройка по всички стандарти, е 19.

Като го разделите на общия брой ученици в 6-8 клас: 19/110=0,1727

Ако умножите стойността по 100, ще получите 17,27%.

17,27% от всички ученици са получили оценка C.

Можем също така да използваме тази таблица, за да определим пределното разпределение на учениците във всеки стандарт. Например, пределното разпределение на учениците в 6-ти стандарт е 29/110, което дава 0,2636. Умножавайки тази стойност по 100, получаваме 26,36%.

По същия начин маргиналното разпределение на учениците в 7-ми и 8-ми клас е съответно 40% и 33,6%.

Какво се разбира под условни разпределения?

Условното разпределение, както се тълкува от името, се основава на предварително съществуващо условие. То е вероятността на една променлива, докато другата променлива е зададена при дадено условие.

Условните разпределения ви дават възможност да анализирате извадката си по отношение на две променливи. При анализа на данни често вероятността за настъпване на дадено събитие се влияе от друг фактор.

Условната вероятност използва таблично представяне на данните. Това подобрява визуализацията и анализа на данните от извадката.

Например, ако проучвате средната продължителност на живота на населението, две променливи, които трябва да вземете предвид, могат да бъдат средният дневен прием на калории и честотата на физическата активност. Условната вероятност може да ви помогне да разберете въздействието на физическата активност върху средната продължителност на живота на населението, ако дневният прием на калории е над 2500 kcal или обратното.

Като задаваме дневния прием на калории <2500kcal, поставяме условие. Въз основа на това условие може да се определи въздействието на физическите дейности върху средната продължителност на живота.

Или, докато наблюдаваме отклонението на продажбите на две преобладаващи марки енергийни напитки, двете променливи, които влияят върху продажбите на тези енергийни напитки, са тяхното присъствие и цена. Можем да използваме условна вероятност, за да определим влиянието на цената и присъствието на две енергийни напитки върху намерението на клиентите да ги купят.

За да разберем по-добре, нека разгледаме същия пример, използван в маргиналното разпределение:

Проба от данни

Например, искате да намерите разпределението на учениците от 6. клас, които са получили оценка C, по отношение на общия брой ученици. Просто разделяте броя на учениците от 6. клас, които са получили оценка C, на общия брой ученици от трите стандарта, които са получили оценка C.

Така че отговорът ще бъде b 4/19= 0.21

Ако го умножите по сто, ще получите 21%.

Разпределението на резултатите на ученик от седми клас е 7/19= 0,37

Умножавайки го със 100, получавате 37%.

А разпределението на резултатите на ученик от 8-и клас е 8/19 = 0,42

Умножавайки го по 100, получаваме 42,1%

Разлика между условно и пределно разпределение

Разлика между условно и пределно разпределение

Пределното разпределение е разпределението на дадена променлива по отношение на цялата извадка, докато условното разпределение е разпределението на дадена променлива по отношение на друга променлива.

Пределното разпределение е независимо от резултатите на другата променлива. С други думи, то е просто безусловно.

Например, ако една случайна променлива "X" е определена за пола на децата в летен лагер, а друга случайна променлива "Y" е определена за възрастта на тези деца, тогава,

Пределното разпределение на момчетата в летния лагер може да се даде чрез P(X=момчета), докато делът на момчетата под 8 години се дава чрез условно разпределение като P(X=момчета

Заключителни мисли

Пределното разпределение показва вероятностите за различни стойности на променливите, без да посочва другите променливи.

Условното разпределение обаче е вероятността на дадена променлива, която се изчислява спрямо друга променлива.

И двете теории за вероятността са правилни и тяхното приложение е различно при различните проблеми, случаи и сценарии.

Свързани статии