Olet ehkä opiskellut kvadraattisia ja eksponentiaalisia funktioita osana oppimäärääsi 9. tai 11. luokalla. Näiden funktioiden opiskelu osana oppimäärääsi ei kuitenkaan välttämättä anna sinulle selkeää käsitystä näiden kahden funktion välisestä erosta.

Osana opetussuunnitelmaa sinua vaaditaan vain ratkaisemaan näihin kahteen liittyviä yhtälöitä ja ongelmia ilman, että spekuloit näiden kahden välillä mahdollisesti olevia eroja ja niiden sovelluksia.

Niinpä tässä artikkelissa pyrin valistamaan sinua näiden kahden välisestä erosta kaavioiden, yhtälöiden ja esimerkkien avulla, jotta voit ymmärtää tiedon helposti.

Aloitetaan.

Mikä on funktio matematiikassa?

Matematiikassa funktio määritellään parhaiten syötteiden väliseksi suhteeksi, jossa kullakin syötteellä on sama tulos, mikä tarkoittaa, että kullakin syötteellä on sama tulos.

Matematiikassa funktio esitetään usein muodossa f(x). Esimerkiksi f(x)=x^2. Tämä funktio antaa meille suluissa olevan luvun neliön, tässä tapauksessa luvun 2.

Se antaa meille saman tuloksen riippumatta siitä, mikä on funktion syöttötieto. Tässä tapauksessa se palauttaa aina suluissa olevan luvun neliön tulosteena.

Matematiikassa on lukuisia funktioita, joita käytetään eri tehtävien suorittamiseen ja joita sovelletaan eri aloilla. Tässä artikkelissa käsittelemme kuitenkin kvadraattisia ja eksponentiaalisia funktioita. Keskitymme pääasiassa korostamaan näiden kahden funktion välistä eroa.

Mikä on kvadraattinen funktio?

Kvadraattinen funktio on polynomifunktio, ja se on mikä tahansa yhtälön muoto ax^2+bx+c. Sitä kutsutaan myös asteen 2 polynomiksi, koska suurin eksponentti voi olla 2.

Kvadraattikaavaa käytetään eri tieteenaloilla, kuten tekniikassa. Se esitetään graafisesti paraabelin avulla.

Tätä paraabelia käytetään erilaisissa jokapäiväisissä toiminnoissa, kuten pallon heittämisessä tai golfpallon lyömisessä. Kvadraattisia yhtälöitä käytetään myös puuttuvien muuttujien löytämiseen mittauksissa ja minkä tahansa esineen nopeuden selvittämiseen sekä minkä tahansa esineen tai tuotteen voiton laskemiseen kaupan alalla.

Tässä on esimerkki kvadraattisesta yhtälöstä: 3x^2+5x+9 a:3 b:5 c:9

Tämä on esimerkki kvadraattisesta funktiosta vakiomuodossaan. Kaava, jota käytetään tällaisten yhtälöiden ratkaisemiseen, tunnetaan kvadraattisena kaavana, joka on seuraava: (-b±√(b²-4ac))/(2a).

Mikä on eksponenttifunktio?

Matematiikassa eksponenttifunktio on funktio, joka on muotoa f(x)=a^x, jossa a on perusta, se on vakio ja sen on aina oltava suurempi kuin 0. Sitä merkitään f(x)=\exp tai e^{x}.

Yleisimmin käytetty eksponenttifunktioiden perusta on e, jota kutsutaan luonnolliseksi logaritmiksi. Sitä käytetään erilaisten asioiden, kuten väestön ja bakteerien, kasvunopeuden laskemiseen. Eksponenttifunktio on kiistatta matematiikan tärkein funktio.

Se on erittäin tärkeää, koska sitä käytetään eri aloilla, kuten:

• Tiede
• Kauppa.

Esimerkiksi pankkiin tallettamasi rahan korko kasvaa eksponentiaalisesti, mikä tarkoittaa, että se noudattaa eksponentiaalikäyrää, joten se voidaan laskea eksponenttifunktioiden avulla.

Lisäksi velan kasvu kasvaa eksponentiaalisesti ja noudattaa eksponentiaalikäyrää, joten käyttämällä eksponenttifunktioita voit pysäyttää velkasi kasvun ja hallita talouttasi paremmin.

Biologiassa sitä käytetään arvioitaessa tietyn alueen väestönkasvua tietyn ajanjakson aikana.

Radioaktiivisuus, kuten uraanin hajoaminen, noudattaa myös eksponentiaalista kasvua, joten tämä on toinen eksponenttifunktion sovellus.

Fysiikassa kaikki aallot, kuten sin, cos, ääniaallot ja monet muut aallot, voidaan myös kirjoittaa eksponenttifunktioina, joten tämä funktio auttaa fyysikkoja tutkimaan näitä aaltoja.

Mikä on kvadraattinen kuvaaja?

Tämä on kvadraattisen kuvaajan esitys.

Kvadraatisen funktion kuvaaja on U:n muotoinen paraabeli, kuten yllä olevassa kuvassa näkyy. Tämä paraabeli voi avautua joko ylöspäin kuin hymy tai alaspäin kuin otsa kurtussa. Se, miten paraabeli avautuu, riippuu kertoimesta: "a" yhtälössä ax^2+bx+c. Jos kerroin on a>0, paraabeli avautuu ylöspäin, ja jos kerroin on a<0, paraabeli avautuu alaspäin.

• Parabelin korkeinta tai matalinta pistettä kutsutaan kärkipisteeksi.
• Se, mitä pistettä huippu edustaa, onko se maksimi vai minimi, riippuu siitä, miten paraabeli aukeaa.

Jos se aukeaa ylöspäin, huippu edustaa kuvaajan minimipistettä, ja jos se aukeaa alaspäin, huippu edustaa kvadraattisen kuvaajan maksimipistettä. Toinen paraabelin ominaisuus on symmetriaviiva, joka on pystysuora viiva, joka kulkee huippupisteen kautta ja jota käytetään jakamaan paraabeli kahteen yhtä suureen ja identtiseen puolikkaaseen.

Se saadaan seuraavalla kaavalla: y=a(x-h)2+k. Neliön kuvaajalla on y-piste, joka on piste, jossa paraabelin leikkauspiste on y-akselilla. Tällä y-pisteellä on vain yksi arvo, mikä tarkoittaa, että paraabelin leikkauspiste on y-akselilla vain kerran. x-piste on piste, jossa paraabelin leikkauspiste on x-akselilla.

Leikkauspisteiden määrä voi olla 0, 1 tai 2. Leikkauspisteiden maksimimäärä on 2, koska kvadraattisella yhtälöllä voi olla enintään 2 ratkaisua tai 2 juurta. Kvadraattisen yhtälön kuvaaja on yksi tapa ratkaista kvadraattisia yhtälöitä. Sitä kutsutaan kvadraattisten yhtälöiden graafiseksi ratkaisumenetelmäksi.

Kvadraattista kuvaajaa käytetään monilla jokapäiväisen elämämme alueilla, pääasiassa urheilussa. Pallon heittäminen tai hyppääminen korkealta tasanteelta ovat esimerkkejä tilanteista, joita voitaisiin havainnollistaa kvadraattisella kuvaajalla. Kvadraattisen kuvaajan avulla voitaisiin sitten selvittää, mihin pisteeseen pallo tai henkilö on yltänyt suurimmillaan tai pienimmillään.

Mitä ovat eksponentiaaliset kuvaajat?

Tämä on eksponentiaalisen kuvaajan esitys.

Sekä algebralliset että transsendentaaliset yhtälöt voidaan usein ratkaista käsin laskimen avulla, mutta kun nämä kaksi yhtälöä, algebrallinen ja transsendentaalinen, esiintyvät yhdessä, niiden ratkaiseminen käsin on hyvin vaikeaa tai jopa mahdotonta. Siksi näiden kahden yhtälön ratkaisemiseksi yhdessä käytämme eksponentiaalista kuvaajaa ja ratkaisemme sen graafisesti.

Yksinkertaisin eksponenttifunktio on f(x) = ax, a>0, a≠1. Tässä funktiossa perusta a pidetään aina suurempana kuin 0, koska jos perusta on pienempi kuin 0, se voi antaa epätodellisen luvun.

Jos perusta olisi 1, se palauttaisi aina 1 riippumatta sen eksponentista, ja siitä tulisi hyvin tylsä funktio. Näistä syistä eksponenttifunktiolle on asetettu tiettyjä rajoituksia.

Eksponenttifunktion kuvaajalla on erilaisia ominaisuuksia riippuen siitä, onko perusta suurempi kuin 1 vai pienempi kuin 1 mutta suurempi kuin 0. Kun perusta on suurempi kuin 1, sillä on seuraavat ominaisuudet: alue koostuu vain reaaliluvuista, alue on y>0, kuvaaja kasvaa jatkuvasti, kuvaaja on jatkuva ja se on tasainen.

Eksponentiaalikuvaajalla on samanlaisia ominaisuuksia, kun perusta on pienempi kuin 1 mutta suurempi kuin 0. Ainoa muutos sen ominaisuuksissa on, että kuvaaja on laskeva. Eksponentiaalikuvaajia käytetään eksponenttifunktioiden avulla saatujen tietojen esittämiseen. Tietotyyppejä ja eksponenttifunktioiden soveltamista on käsitelty aiemmin.

Eksponentiaalisten ja kvadraattisten funktioiden välinen ero (Käytä tämän sisältöä taulukkona)

Nyt kun kvadraatti- ja eksponenttifunktiot on ymmärretty hyvin, keskustelemme näiden kahden erittäin tärkeän funktion välisistä eroista.

Kvadraattinen funktio vs. Eksponentiaalinen funktio

Päätelmä

Lyhyt selitys, jotta ymmärrät täysin näiden kahden eron.

Yhteenvetona voidaan todeta, että kvadraattiset funktiot ja eksponenttifunktiot eroavat toisistaan sekä sovelluksiltaan että käsitteeltään. Eksponenttifunktio ilmaisee jatkuvaa kasvua, kun taas kvadraattinen funktio ilmaisee sekä kasvua että laskua, jossa määrä päätyy alkupisteensä tasolle tai kuvaajan alkupisteeseen.

Tässä artikkelissa käsitellään lopuksi molempien funktioiden pääpiirteitä ja niiden eroja. Molemmat funktiot ovat erittäin tärkeitä matematiikan alalla, ja niitä sovelletaan eri aloilla, kuten tieteessä, kaupassa ja jokapäiväisessä elämässämme. Siksi kannustan sinua kehittämään syvällistä ymmärrystä ja hallintaa näistä kahdesta funktiosta.

Toivottavasti tämän artikkelin lukemisen jälkeen sinulla on selkeä käsitys siitä, miten nämä kaksi ratkaistaan, niiden eroista, kuvaajista ja paljon muusta. Matematiikkaan liittyvä artikkeli saattaa tuntua tylsältä, mutta tämän luettuasi olet ymmärtänyt, että matematiikka voi olla mielenkiintoista, jos se esitetään oikealla tavalla.

Muut artikkelit