شما ممکن است توابع درجه دوم و نمایی را به عنوان بخشی از برنامه درسی خود در کلاس نهم یا یازدهم مطالعه کرده باشید. با این حال، مطالعه این توابع به عنوان بخشی از برنامه درسی شما لزوماً درک روشنی از تفاوت بین این دو به شما نمی دهد.

به عنوان بخشی از برنامه درسی خود، فقط باید معادلات و مسائل مربوط به این دو را بدون حدس و گمان در مورد تفاوت های احتمالی بین این دو و کاربرد آنها حل کنید.

بنابراین در این مقاله قصد دارم با کمک نمودارها، معادلات و مثال ها تفاوت بین این دو را به شما آموزش دهم تا بتوانید به راحتی دانش را درک کنید.

بیایید شروع کنیم.

تابع در ریاضی چیست؟

یک تابع در ریاضی به بهترین وجه به عنوان رابطه ای بین ورودی ها تعریف می شود که در آن هر ورودی نتیجه یکسانی دارد، به این معنی که هر ورودی همان خروجی را برمی گرداند.

یک تابع در ریاضیات اغلب با f(x) نشان داده می شود یا با آن نمایش داده می شود. برای مثال f(x)=x^2. این تابع مربع عدد داخل پرانتز را به ما می دهد، در این مورد، عدد 2 را به ما می دهد. در این حالت، همیشه مجذور عدد داخل پرانتز را به عنوان خروجی برمی گرداند.

توابع متعددی در ریاضیات وجود دارد که برای انجام کارهای مختلف استفاده می شوند و در حوزه های مختلفی به کار می روند. با این حال، کارکردهایی که ما می خواهیم مورد بحث قرار دهیمدر این مقاله توابع درجه دوم و نمایی هستند. ما عمدتاً بر روی برجسته کردن تفاوت بین این دو تابع تمرکز خواهیم کرد.

تابع درجه دوم چیست؟

یک تابع درجه دوم یک تابع چند جمله ای است و هر شکلی از معادله ax^2+bx+c است. به آن چند جمله ای درجه 2 نیز می گویند زیرا حداکثر توان می تواند 2 باشد.

فرمول درجه دوم در زمینه های مختلف علوم مانند مهندسی استفاده می شود. به صورت گرافیکی از طریق یک سهمی نشان داده می شود.

این سهمی برای فعالیت های مختلف در زندگی روزمره ما مانند پرتاب توپ یا ضربه زدن به توپ گلف استفاده می شود. معادلات درجه دوم همچنین برای یافتن متغیرهای گمشده در اندازه‌گیری‌ها و یافتن سرعت هر جسم و محاسبه سود هر کالا یا محصول در زمینه بازرگانی استفاده می‌شود.

در اینجا مثالی از معادله درجه دوم آورده شده است: 3x^ 2+5x+9 a:3 b:5 c:9

این نمونه ای از یک تابع درجه دوم در شکل استاندارد آن است. فرمولی که برای حل چنین معادلاتی استفاده می شود به فرمول درجه دوم معروف است که به صورت زیر است: (-b±√(b²-4ac))/(2a).

تابع نمایی چیست؟

یک تابع نمایی در ریاضی تابعی است که به شکل f(x)=a^x است که a پایه است، ثابت است و همیشه باید بزرگتر از 0 باشد. با f(x)=\exp یا e^{x} نشان داده می شود.

پرکاربردترین پایه نمایی پایه e است که به آن طبیعی می گویند.لگاریتم برای محاسبه نرخ رشد چیزهای مختلف مانند جمعیت و باکتری ها استفاده می شود. یک تابع نمایی مسلماً مهمترین تابع در ریاضیات است.

این بسیار مهم است زیرا در زمینه های مختلفی مانند:

• علوم
• تجارت استفاده می شود.

به عنوان مثال، نرخ سود پولی که در بانک سپرده می‌کنید به صورت تصاعدی افزایش می‌یابد به این معنی که از یک منحنی نمایی پیروی می‌کند، بنابراین، می‌توان آن را با استفاده از توابع نمایی محاسبه کرد.

علاوه بر این، رشد بدهی نیز به صورت تصاعدی افزایش می یابد و از یک منحنی نمایی پیروی می کند، بنابراین، با استفاده از توابع نمایی می توانید از افزایش بدهی خود جلوگیری کنید و کنترل بیشتری بر امور مالی خود داشته باشید.

در زیست شناسی، برای تخمین رشد جمعیت یک منطقه خاص در یک دوره معین استفاده می شود.

رادیواکتیویته مانند فروپاشی اورانیوم نیز به دنبال رشد تصاعدی است. بنابراین، این یکی دیگر از کاربردهای تابع نمایی است.

در فیزیک، همه امواج مانند sin، cos، امواج صوتی و بسیاری از امواج دیگر را می توان بر حسب توابع نمایی نیز نوشت، بنابراین این تابع به فیزیکدانان کمک می کند تا در مورد این امواج تحقیق کنند.

آیا نمودار درجه دوم است؟

این نمایشی از یک نمودار درجه دوم است

گراف یک تابع درجه دوم یک سهمی U شکل است که در تصویر بالا نشان داده شده است. این سهمی می تواند مانند یک لبخند باز شود یا مانند اخم به سمت پایین باز شود. رانحوه باز شدن سهمی به ضریب "a" در معادله ax^2+bx+c بستگی دارد. اگر ضریب a>0 باشد سهمی باز می‌شود و اگر ضریب a<0 باشد، سهمی به پایین باز می‌شود.

• بالاترین یا پایین‌ترین نقطه سهمی را رأس می‌گویند.
• نقطه ای که راس نشان می دهد، حداکثر یا حداقل به نحوه باز شدن سهمی بستگی دارد.

اگر باز شود، راس حداقل نقطه روی نمودار را نشان می دهد و اگر آن را نشان دهد. باز می شود سپس راس نشان دهنده حداکثر نقطه در نمودار درجه دوم است. یکی دیگر از ویژگی های سهمی ها خط تقارن است که یک خط عمودی است که از راس می گذرد و برای تقسیم سهمی به 2 نیمه مساوی و یکسان استفاده می شود.

با استفاده از فرمول زیر می توان آن را به دست آورد: y =a(x−h)2+k. نمودار درجه دوم دارای یک مقطع y است که نقطه ای است که سهمی محور y را قطع می کند. این تقاطع y فقط یک مقدار دارد به این معنی که سهمی فقط یک بار محور y را قطع می کند. نقطه ایکس نقطه ای است که سهمی از محور x قطع یا عبور می کند.

تعداد قطع ها می تواند 0، 1 یا 2 باشد. حداکثر تعداد قطع ها 2 است زیرا یک معادله درجه دوم فقط می تواند تا 2 محلول یا 2 ریشه داشته باشد. نمودار درجه دوم یکی از راه های حل معادلات درجه دوم است. به آن روش گرافیکی حل معادلات درجه دوم می گویند.

گراف درجه دوم دربسیاری از زمینه های زندگی روزمره ما عمدتاً در ورزش است. پرتاب توپ یا پریدن از یک سکوی بلند، نمونه هایی از موقعیت هایی هستند که می توانند با نمودار درجه دوم نشان داده شوند. سپس می توان از نمودار درجه دوم برای یافتن حداکثر یا حداقل نقاطی که توپ یا شخص به آن رسیده است استفاده کرد.

نمودارهای نمایی چیست؟

این نمایشی از یک نمودار نمایی است

هم معادلات جبری و هم معادلات ماورایی را اغلب می توان با دست با کمک ماشین حساب حل کرد، اما وقتی این دو معادله جبری و ماورایی با هم ظاهر می شوند، حل آنها با دست بسیار دشوار یا حتی غیرممکن می شود. بنابراین برای حل این دو معادله با هم، از نمودار نمایی استفاده می کنیم و آن را به صورت گرافیکی حل می کنیم.

ساده ترین تابع نمایی f(x) = ax, a>0, a≠1 است. در این تابع، پایه a همیشه بزرگتر از 0 نگه داشته می شود، زیرا اگر پایه چیزی کمتر از 0 باشد، می تواند یک عدد غیر واقعی به ما بدهد.

اگر پایه 1 باشد، بدون در نظر گرفتن نمایش، همیشه 1 را برمی گرداند و تابعی بسیار خسته کننده خواهد بود. به همین دلایل است که محدودیت‌های خاصی بر روی تابع نمایی اعمال می‌شود.

گراف یک تابع نمایی بسته به اینکه پایه بزرگتر از 1 یا کمتر از 1 اما بزرگتر از 0 باشد، ویژگی‌های متفاوتی را نشان می‌دهد. هنگامی که پایه خواهد شد، ویژگی های زیر را نمایش می دهدبزرگتر از 1 باشد. دامنه فقط از اعداد واقعی تشکیل شده است، محدوده y>0 خواهد بود، نمودار دائما افزایش می یابد، نمودار پیوسته و صاف خواهد بود.

گراف نمایی مشابه را نشان می دهد. خواص زمانی که پایه کمتر از 1 اما بزرگتر از 0 باشد. تنها تغییر در ویژگی های آن این است که نمودار کاهش می یابد. نمودارهای نمایی برای نمایش داده های به دست آمده از طریق توابع نمایی استفاده می شوند. انواع داده ها و کاربرد توابع نمایی قبلاً مورد بحث قرار گرفته است.

تفاوت بین توابع نمایی و درجه دوم (از مطالب اینجا به عنوان جدول استفاده کنید)

اکنون که درک خوبی از درجه دوم و توابع نمایی توسعه داده شده است، ما در مورد تفاوت بین دو مورد از این توابع بسیار مهم بحث خواهیم کرد. 13> متغیر پایه است و بالاترین توان ممکن (ax^2+bx+c) است. پایه یک ثابت و توان آن پایه یک متغیر است. نرخ تغییر ثابت است به این معنی که نمودار با نرخ ثابتی افزایش می‌یابد و بنابراین محاسبه تغییر در نمودار در یک بازه زمانی مشخص آسان است. در یک تابع نمایی، سرعت تغییر متناسب با خودش است و نمودار با سرعت فزاینده ای افزایش می یابد.سهمی زمانی که در جهت بالا یا پایین به راس می رسد. یک نمودار نمایی در یک جهت به بالا یا پایین سقوط می کند. یک نمودار درجه دوم منحنی می شود. هنگامی که به نقطه حداکثر یا حداقل خود می رسد. یک نمودار نمایی از همان ابتدا به منحنی ادامه می دهد.

تابع درجه دوم در مقابل تابع نمایی

نتیجه

توضیح مختصری برای درک کامل تفاوت بین این دو

به طور خلاصه، توابع درجه دوم و توابع نمایی در کاربرد و مفهومشان با یکدیگر متفاوت هستند. یک تابع نمایی نشان دهنده افزایش مداوم است در حالی که یک تابع درجه دوم افزایش و کاهش را نشان می دهد که در آن کمیت به سطح مبدأ یا شروع نمودار ختم می شود.

این مقاله با ویژگی های اصلی پایان می یابد. هم توابع و هم تفاوت آنها. هر دوی این توابع در زمینه ریاضی از اهمیت فوق العاده ای برخوردار هستند و در زمینه های مختلفی مانند علم، تجارت و زندگی روزمره ما نیز کاربرد دارند. بنابراین، من شما را تشویق می‌کنم که درک عمیق و تسلط بر این دو کارکرد داشته باشید.

امیدوارم پس از خواندن این مقاله، درک واضحی از نحوه حل این دو، تفاوت‌ها و نمودارها داشته باشید. ، و خیلی بیشتر. یک مقاله مرتبط با ریاضی ممکن است خسته کننده به نظر برسد، اما پس از خواندن این مقاله، این کار را انجام می دهیدمتوجه شده اند که حتی ریاضیات نیز می توانند جالب باشند اگر به روش صحیح ارائه شوند.

مقالات دیگر