நீங்கள் 9 அல்லது 11 ஆம் வகுப்பில் உங்கள் பாடத்திட்டத்தின் ஒரு பகுதியாக இருபடி மற்றும் அதிவேக செயல்பாடுகளை படித்திருக்கலாம். இருப்பினும், உங்கள் பாடத்திட்டத்தின் ஒரு பகுதியாக இந்த செயல்பாடுகளைப் படிப்பது, இரண்டிற்கும் இடையே உள்ள வித்தியாசத்தைப் பற்றிய தெளிவான புரிதலை உங்களுக்குத் தராது.

உங்கள் பாடத்திட்டத்தின் ஒரு பகுதியாக, இரண்டிற்கும் அவற்றின் பயன்பாடுகளுக்கும் இடையே உள்ள சாத்தியமான வேறுபாடுகள் குறித்து ஊகிக்காமல், சமன்பாடுகள் மற்றும் இரண்டும் தொடர்பான சிக்கல்களை மட்டுமே நீங்கள் தீர்க்க வேண்டும்.

எனவே, இந்த கட்டுரையில், வரைபடங்கள், சமன்பாடுகள் மற்றும் எடுத்துக்காட்டுகளின் உதவியுடன் இரண்டிற்கும் இடையிலான வேறுபாட்டை உங்களுக்குக் கற்பிப்பதை நோக்கமாகக் கொண்டுள்ளேன், இதன் மூலம் நீங்கள் அறிவை எளிதாகப் புரிந்துகொள்ள முடியும்.

தொடங்குவோம்.

கணிதத்தில் செயல்பாடு என்றால் என்ன?

ஒவ்வொரு உள்ளீடும் ஒரே முடிவைக் கொண்டிருக்கும் உள்ளீடுகளுக்கு இடையேயான தொடர்பு என கணிதத்தில் ஒரு செயல்பாடு சிறப்பாக வரையறுக்கப்படுகிறது, அதாவது ஒவ்வொரு உள்ளீடும் ஒரே வெளியீட்டை வழங்கும்.

கணிதத்தில் ஒரு செயல்பாடு பெரும்பாலும் f(x) ஆல் காட்டப்படுகிறது அல்லது குறிப்பிடப்படுகிறது. உதாரணமாக f(x)=x^2. இந்தச் சார்பு அடைப்புக்குறியில் உள்ள எண்ணின் வர்க்கத்தை நமக்குத் தரும், இந்த நிலையில், எண் 2.

செயல்பாட்டின் உள்ளீடு எதுவாக இருந்தாலும், அது நமக்கு அதே வெளியீட்டைத் தரும். இந்த வழக்கில், அது எப்போதும் அடைப்புக்குறியில் உள்ள எண்ணின் வர்க்கத்தை வெளியீடாக வழங்கும்.

கணிதத்தில் பல்வேறு பணிகளைச் செய்யப் பயன்படுத்தப்படும் பல செயல்பாடுகள் உள்ளன, அவை பல்வேறு பகுதிகளில் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. இருப்பினும், நாங்கள் விவாதிக்கப் போகும் செயல்பாடுகள்இந்த கட்டுரையில் இருபடி மற்றும் அதிவேக செயல்பாடுகள் உள்ளன. இந்த இரண்டு செயல்பாடுகளுக்கும் இடையே உள்ள வேறுபாட்டை முன்னிலைப்படுத்துவதில் நாம் முக்கியமாக கவனம் செலுத்துவோம்.

இருபடிச் செயல்பாடு என்றால் என்ன?

ஒரு இருபடிச் சார்பு என்பது ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவைச் சார்பு மற்றும் இது ax^2+bx+c சமன்பாட்டின் எந்த வடிவமும் ஆகும். இது பட்டம் 2 இன் பல்லுறுப்புக்கோவை என்றும் அழைக்கப்படுகிறது, ஏனெனில் அதிகபட்ச அடுக்கு 2 ஆக இருக்கலாம்.

இன்ஜினியரிங் போன்ற பல்வேறு அறிவியல் துறைகளில் இருபடி சூத்திரம் பயன்படுத்தப்படுகிறது. இது ஒரு பரவளையத்தின் மூலம் வரைகலையாகக் குறிப்பிடப்படுகிறது.

இந்த பரவளையானது நமது அன்றாட வாழ்வில் பந்தை எறிவது அல்லது கோல்ஃப் பந்தை அடிப்பது போன்ற பல்வேறு செயல்களுக்குப் பயன்படுத்தப்படுகிறது. இருபடிச் சமன்பாடுகள் அளவீடுகளில் விடுபட்ட மாறிகளைக் கண்டறியவும், எந்தவொரு பொருளின் வேகத்தைக் கண்டறியவும் மற்றும் வணிகத் துறையில் எந்தவொரு பொருளின் அல்லது பொருளின் லாபத்தைக் கணக்கிடவும் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.

ஒரு இருபடிச் சமன்பாட்டின் உதாரணம்: 3x^ 2+5x+9 a:3 b:5 c:9

இது ஒரு இருபடிச் செயல்பாட்டின் நிலையான வடிவத்தில் ஒரு எடுத்துக்காட்டு. அத்தகைய சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கப் பயன்படுத்தப்படும் சூத்திரம் இருபடி சூத்திரம் என அழைக்கப்படுகிறது, இது பின்வருவன: (-b±√(b²-4ac))/(2a).

அதிவேக செயல்பாடு என்றால் என்ன?

கணிதத்தில் ஒரு அதிவேகச் சார்பு என்பது f(x)=a^x வடிவத்தில் இருக்கும் ஒரு சார்பு, இதில் a அடிப்பாகம், அது ஒரு மாறிலி மற்றும் அது எப்போதும் 0ஐ விட அதிகமாக இருக்க வேண்டும். f(x)=\exp அல்லது e^{x} ஆல் குறிக்கப்படுகிறது.

மிகப் பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படும் அதிவேக அடிப்படையானது அடிப்படை e ஆகும், இது இயற்கையானது என்று அழைக்கப்படுகிறது.மடக்கை. மக்கள் தொகை மற்றும் பாக்டீரியா போன்ற பல்வேறு பொருட்களின் வளர்ச்சி விகிதத்தை கணக்கிட இது பயன்படுகிறது. ஒரு அதிவேக சார்பு என்பது கணிதத்தில் மிக முக்கியமான செயல்பாடாகும்.

இது மிகவும் முக்கியமானது:

• அறிவியல்
• வணிகம் போன்ற பல்வேறு பகுதிகளில் இது பயன்படுத்தப்படுகிறது.

உதாரணமாக, ஒரு வங்கியில் நீங்கள் டெபாசிட் செய்யும் பணத்தின் வட்டி விகிதம் அதிவேகமாக அதிகரிக்கிறது, அதாவது அது ஒரு அதிவேக வளைவைப் பின்பற்றுகிறது, எனவே அதை அதிவேக செயல்பாடுகளைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடலாம்.

மேலும், கடனின் வளர்ச்சியும் அதிவேகமாக அதிகரிக்கிறது மற்றும் அதிவேக வளைவைப் பின்பற்றுகிறது, எனவே, அதிவேக செயல்பாடுகளைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் உங்கள் கடனை உயர்வதைத் தடுக்கலாம் மற்றும் உங்கள் நிதிகளின் மீது அதிக கட்டுப்பாட்டைப் பெறலாம்.

உயிரியலில், ஒரு குறிப்பிட்ட பகுதியில் ஒரு குறிப்பிட்ட பகுதியில் மக்கள்தொகை வளர்ச்சியைக் கணக்கிடப் பயன்படுகிறது.

யுரேனியத்தின் சிதைவு போன்ற கதிரியக்கமும் அதிவேக வளர்ச்சியைப் பின்பற்றுகிறது. எனவே, இது அதிவேக செயல்பாட்டின் மற்றொரு பயன்பாடாகும்.

இயற்பியலில், சின், காஸ், ஒலி அலைகள் மற்றும் பல அலைகள் போன்ற அனைத்து அலைகளும் அதிவேக செயல்பாடுகளின் அடிப்படையில் எழுதப்படலாம், எனவே இந்த செயல்பாடு இயற்பியலாளர்கள் இந்த அலைகளை ஆய்வு செய்ய உதவுகிறது.

என்ன இருபடி வரைபடமா?

இது ஒரு இருபடி வரைபடத்தின் பிரதிநிதித்துவம் ஆகும்

மேலே உள்ள படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளபடி இருபடிச் செயல்பாட்டின் வரைபடம் U-வடிவ பரவளையமாகும். இந்த பரவளையமானது ஒரு புன்னகை போல திறக்கலாம் அல்லது முகத்தை சுருக்குவது போல் கீழ்நோக்கி திறக்கலாம். திபரவளைய திறக்கும் விதம் குணகம் சார்ந்தது: ”a” சமன்பாட்டிலுள்ள ax^2+bx+c. குணகம் a>0 எனில், பரவளையம் திறக்கும் மற்றும் குணகம் a<0 எனில், பரவளையம் கீழே திறக்கும்.

• பரபோலாவின் மிக உயர்ந்த அல்லது மிகக் குறைந்த புள்ளியானது வெர்டெக்ஸ் எனப்படும்.
• வெர்டெக்ஸ் குறிக்கும் புள்ளி, அதிகபட்சம் அல்லது குறைந்தபட்சம் என்பது பரவளையத் திறக்கும் விதத்தைப் பொறுத்தது.

அது திறந்தால், உச்சியானது வரைபடத்தின் குறைந்தபட்சப் புள்ளியைக் குறிக்கிறது. கீழே திறக்கும் பின்னர் உச்சியானது இருபடி வரைபடத்தில் அதிகபட்ச புள்ளியை குறிக்கிறது. பரவளையத்தின் மற்றொரு அம்சம் சமச்சீர் கோடு, இது உச்சியின் வழியாக செல்லும் செங்குத்து கோடு மற்றும் பரவளையத்தை 2 சம மற்றும் ஒரே மாதிரியான பகுதிகளாகப் பிரிக்கப் பயன்படுகிறது.

பின்வரும் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி இதைப் பெறலாம்: y =a(x−h)2+k. இருபடி வரைபடத்தில் ஒரு y-இடைமறுப்பு உள்ளது, இது பரவளையம் y-அச்சு வெட்டும் புள்ளியாகும். இந்த y-குறுக்கீடு ஒரே ஒரு மதிப்பைக் கொண்டுள்ளது, அதாவது பரவளையம் y அச்சை ஒருமுறை மட்டுமே வெட்டுகிறது. x-இடைமறுப்பு என்பது பரவளையமானது x-அச்சு குறுக்கிடும் அல்லது கடக்கும் புள்ளியாகும்.

இடையிடல்களின் எண்ணிக்கை 0, 1 அல்லது 2 ஆக இருக்கலாம். ஒரு இருபடிச் சமன்பாடு மட்டுமே செய்யக்கூடிய அதிகபட்ச இடைமறிப்புகளின் எண்ணிக்கை 2 ஆகும். 2 தீர்வுகள் அல்லது 2 வேர்கள் வரை இருக்கும். இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான ஒரு வழி இருபடி வரைபடம். இருபடிச் சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கும் வரைகலை முறை என இது அழைக்கப்படுகிறது.

குவாட்ராடிக் வரைபடம் பயன்படுத்தப்படுகிறதுநமது அன்றாட வாழ்க்கையின் பல பகுதிகள் முக்கியமாக விளையாட்டுகளில். ஒரு பந்தை எறிவது அல்லது உயரமான மேடையில் இருந்து குதிப்பது, ஒரு இருபடி வரைபடத்தால் நிரூபிக்கக்கூடிய சூழ்நிலைகளின் எடுத்துக்காட்டுகள். பந்து அல்லது நபர் அடைந்த அதிகபட்ச அல்லது குறைந்தபட்ச புள்ளிகளைக் கண்டறிய இருபடி வரைபடத்தைப் பயன்படுத்தலாம்.

அதிவேக வரைபடங்கள் என்றால் என்ன?

இது ஒரு அதிவேக வரைபடத்தின் பிரதிநிதித்துவம்

இயற்கணிதம் மற்றும் ஆழ்நிலை சமன்பாடுகள் இரண்டும் பெரும்பாலும் கால்குலேட்டரின் உதவியுடன் கையால் தீர்க்கப்படும், இருப்பினும், இந்த இரண்டு சமன்பாடுகள், இயற்கணிதம் மற்றும் ஆழ்நிலை ஒன்றாக தோன்றும், அவற்றை கையால் தீர்ப்பது மிகவும் கடினம் அல்லது சாத்தியமற்றது. எனவே இந்த இரண்டு சமன்பாடுகளையும் ஒன்றாகத் தீர்க்க, நாம் அதிவேக வரைபடத்தைப் பயன்படுத்தி அதை வரைபடமாகத் தீர்க்கிறோம்.

எளிமையான அதிவேக செயல்பாடு f(x) = ax, a>0, a≠1 ஆகும். இந்தச் செயல்பாட்டில், அடிப்படை a எப்போதும் 0 ஐ விட அதிகமாக வைக்கப்படுகிறது, ஏனெனில் அடிப்படை 0 ஐ விட குறைவாக இருந்தால், அது நமக்கு உண்மையற்ற எண்ணைக் கொடுக்கும்.

அடிப்படையானது 1 ஆக இருந்தால், அதன் அதிவேகத்தைப் பொருட்படுத்தாமல் அது எப்போதும் 1ஐத் தரும், மேலும் அது மிகவும் சலிப்பான செயல்பாடாக மாறும். இந்தக் காரணங்களால்தான் அதிவேகச் செயல்பாட்டின் மீது சில கட்டுப்பாடுகள் விதிக்கப்பட்டுள்ளன.

அடிவாங்கச் செயல்பாட்டின் வரைபடம், அடிப்படை 1க்கு அதிகமாகவோ அல்லது 1க்குக் குறைவாகவோ ஆனால் 0க்கு அதிகமாகவோ உள்ளதா என்பதைப் பொறுத்து வெவ்வேறு பண்புகளைக் காட்டுகிறது. அடிப்படை இருக்கும் போது பின்வரும் பண்புகளை காண்பிக்கும்1 ஐ விட பெரியதாக இருக்கும். டொமைன் உண்மையான எண்களை மட்டுமே கொண்டிருக்கும், வரம்பு y>0 ஆக இருக்கும், வரைபடம் தொடர்ந்து அதிகரிக்கும், வரைபடம் தொடர்ச்சியாக இருக்கும் மற்றும் அது சீராக இருக்கும்.

அதிவேக வரைபடம் இதைப் போலவே காட்டுகிறது அடிப்படை 1 க்கும் குறைவாக ஆனால் 0 ஐ விட பெரியதாக இருக்கும் போது பண்புகள். அதன் பண்புகளில் உள்ள ஒரே மாற்றம் வரைபடம் குறையும். அதிவேகச் செயல்பாடுகள் மூலம் பெறப்பட்ட தரவைக் குறிக்க அதிவேக வரைபடங்கள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. தரவுகளின் வகைகள் மற்றும் அதிவேக செயல்பாடுகளின் பயன்பாடு ஆகியவை முன்னர் விவாதிக்கப்பட்டுள்ளன.

அதிவேக மற்றும் இருபடிச் செயல்பாடுகளுக்கு இடையே உள்ள வேறுபாடு (இங்கே உள்ள உள்ளடக்கத்தை அட்டவணையாகப் பயன்படுத்தவும்)

இப்போது இருபடி மற்றும் அதிவேகச் செயல்பாடுகள் உருவாக்கப்பட்டுள்ளன. இந்த இரண்டு மிக முக்கியமான செயல்பாடுகளுக்கு இடையே உள்ள வேறுபாடுகளைப் பற்றி விவாதிப்போம்.

Quadratic Function vs. Exponential Function

முடிவு

இரண்டிற்கும் இடையே உள்ள வேறுபாட்டை முழுமையாகப் புரிந்துகொள்வதற்கான ஒரு சுருக்கமான விளக்கம்

தொகுக்க, இருபடிச் செயல்பாடுகள் மற்றும் அதிவேகச் செயல்பாடுகள் அவற்றின் பயன்பாடு மற்றும் அவற்றின் கருத்துக்களில் ஒன்றுக்கொன்று வேறுபடுகின்றன. ஒரு அதிவேகச் சார்பு தொடர்ச்சியான அதிகரிப்பைக் குறிக்கிறது, அதேசமயம் இருபடிச் சார்பு அதிகரிப்பு மற்றும் குறைவு ஆகிய இரண்டையும் குறிக்கிறது, இதில் அளவு அதன் தோற்றத்தின் மட்டத்தில் அல்லது வரைபடத்தின் தொடக்கத்தில் முடிவடைகிறது.

இந்தக் கட்டுரையின் முக்கிய அம்சங்களுடன் முடிவடைகிறது. இரண்டு செயல்பாடுகள் மற்றும் அவற்றின் வேறுபாடுகள். இந்த இரண்டு செயல்பாடுகளும் கணிதத் துறையில் மிகவும் முக்கியத்துவம் வாய்ந்தவை மற்றும் அறிவியல், வணிகம் மற்றும் நமது அன்றாட வாழ்க்கை போன்ற பல்வேறு துறைகளிலும் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. எனவே, இந்த இரண்டு செயல்பாடுகளின் ஆழமான புரிதலையும் தேர்ச்சியையும் வளர்த்துக் கொள்ள நான் உங்களை ஊக்குவிக்கிறேன்.

இந்தக் கட்டுரையைப் படித்த பிறகு, இவை இரண்டும் எவ்வாறு தீர்க்கப்படுகின்றன, அவற்றின் வேறுபாடுகள், வரைபடங்கள் பற்றிய தெளிவான புரிதல் உங்களுக்கு இருக்கும் என்று நம்புகிறேன். , மற்றும் இன்னும் நிறைய. கணிதம் தொடர்பான கட்டுரை சலிப்பாகத் தோன்றலாம், ஆனால் இதைப் படித்த பிறகு நீங்கள் விரும்புவீர்கள்சரியான முறையில் வழங்கினால் கணிதம் கூட சுவாரஸ்யமாக இருக்கும் என்பதை உணர்ந்துள்ளோம்.

மற்ற கட்டுரைகள்