თქვენ შესაძლოა შეისწავლეთ კვადრატული და ექსპონენციალური ფუნქციები, როგორც თქვენი სილაბუსის ნაწილი მე-9 ან მე-11 კლასში. ამასთან, ამ ფუნქციების შესწავლა, როგორც თქვენი სილაბუსის ნაწილი, სულაც არ მოგცემთ ნათლად გაგებას ამ ორს შორის განსხვავების შესახებ.

როგორც თქვენი სილაბუსის ნაწილი, თქვენ მხოლოდ მოგეთხოვებათ ამოხსნათ განტოლებები და ამოცანები, რომლებიც დაკავშირებულია ორივესთან, ყოველგვარი სპეკულაციის გარეშე ამ ორსა და მათ აპლიკაციებს შორის შესაძლო განსხვავებების შესახებ.

ასე რომ, ამ სტატიაში მე მიზნად ისახავს გასწავლოთ ამ ორს შორის განსხვავება გრაფიკების, განტოლებებისა და მაგალითების დახმარებით, რათა ადვილად გაიაზროთ ცოდნა.

დავიწყოთ.

რა არის ფუნქცია მათემატიკაში?

ფუნქცია მათემატიკაში საუკეთესოდ არის განსაზღვრული, როგორც კავშირი შეყვანებს შორის, სადაც თითოეულ შეყვანას აქვს იგივე შედეგი, რაც ნიშნავს, რომ თითოეული შეყვანა დააბრუნებს იგივე გამომავალს.

მათემატიკაში ფუნქცია ხშირად ნაჩვენებია ან წარმოდგენილია f(x-ით). მაგალითად f(x)=x^2. ეს ფუნქცია მოგვცემს ფრჩხილში მოცემული რიცხვის კვადრატს, ამ შემთხვევაში, რიცხვს 2.

ის მოგვცემს იგივე გამომავალს, რაც არ უნდა იყოს შეყვანილი ფუნქციაში. ამ შემთხვევაში, ის ყოველთვის დააბრუნებს ფრჩხილში მოცემული რიცხვის კვადრატს, როგორც გამოსავალს.

მათემატიკაში უამრავი ფუნქციაა, რომლებიც გამოიყენება სხვადასხვა ამოცანების შესასრულებლად და ისინი გამოიყენება სხვადასხვა სფეროში. თუმცა, ის ფუნქციები, რომლებზეც ჩვენ განვიხილავთამ სტატიაში მოცემულია კვადრატული და ექსპონენციალური ფუნქციები. ჩვენ ძირითადად ყურადღებას გავამახვილებთ ამ ორ ფუნქციას შორის განსხვავების ხაზგასმაზე.

რა არის კვადრატული ფუნქცია?

კვადრატული ფუნქცია არის მრავალწევრი ფუნქცია და ის არის ax^2+bx+c განტოლების ნებისმიერი ფორმა. მას ასევე უწოდებენ მე-2 ხარისხის პოლინომილს, რადგან მაქსიმალური მაჩვენებელი შეიძლება იყოს 2.

კვადრატული ფორმულა გამოიყენება მეცნიერების სხვადასხვა დარგში, როგორიცაა ინჟინერია. ის გრაფიკულად წარმოდგენილია პარაბოლის საშუალებით.

ეს პარაბოლა გამოიყენება ჩვენს ყოველდღიურ ცხოვრებაში სხვადასხვა აქტივობებისთვის, როგორიცაა ბურთის სროლა ან გოლფის ბურთის დარტყმა. კვადრატული განტოლებები ასევე გამოიყენება გაზომვებში გამოტოვებული ცვლადების საპოვნელად და ნებისმიერი ობიექტის სიჩქარის გასარკვევად და ნებისმიერი ნივთის ან პროდუქტის მოგების გამოსათვლელად კომერციის სფეროში.

აქ არის კვადრატული განტოლების მაგალითი: 3x^ 2+5x+9 a:3 b:5 c:9

ეს არის კვადრატული ფუნქციის მაგალითი მისი სტანდარტული ფორმით. ფორმულა, რომელიც გამოიყენება ასეთი განტოლებების ამოსახსნელად, ცნობილია როგორც კვადრატული ფორმულა, რომელიც არის შემდეგი: (-b±√(b²-4ac))/(2a).

რა არის ექსპონენციალური ფუნქცია?

ექსპონენციალური ფუნქცია მათემატიკაში არის ფუნქცია, რომელიც არის f(x)=a^x სახით, სადაც a არის ფუძე, ის არის მუდმივი და ყოველთვის უნდა იყოს 0-ზე მეტი. აღინიშნება f(x)=\exp ან e^{x}-ით.

ყველაზე ფართოდ გამოყენებული ექსპონენციალური ფუძე არის ფუძე e, რომელსაც ეწოდება ბუნებრივილოგარითმი. იგი გამოიყენება სხვადასხვა ნივთების ზრდის ტემპის გამოსათვლელად, როგორიცაა მოსახლეობა და ბაქტერიები. ექსპონენციალური ფუნქცია, სავარაუდოდ, ყველაზე მნიშვნელოვანი ფუნქციაა მათემატიკაში.

ეს ძალიან მნიშვნელოვანია, რადგან ის გამოიყენება სხვადასხვა სფეროში, როგორიცაა:

• მეცნიერება
• კომერცია.

მაგალითად, საპროცენტო განაკვეთი თქვენს მიერ ბანკში დეპოზიტზე იზრდება ექსპონენციალურად, რაც ნიშნავს, რომ ის მიჰყვება ექსპონენციალურ მრუდს, შესაბამისად, მისი გამოთვლა შესაძლებელია ექსპონენციალური ფუნქციების გამოყენებით.

უფრო მეტიც, ვალის ზრდა ასევე ექსპონენციალურად იზრდება და მიჰყვება ექსპონენციალურ მრუდს, ასე რომ, ექსპონენციალური ფუნქციების გამოყენებით შეგიძლიათ შეაჩეროთ თქვენი ვალის ზრდა და გქონდეთ მეტი კონტროლი თქვენს ფინანსებზე.

ბიოლოგიაში ის გამოიყენება კონკრეტული ტერიტორიის მოსახლეობის ზრდის შესაფასებლად გარკვეული პერიოდის განმავლობაში.

რადიოაქტიურობა, როგორიცაა ურანის დაშლა, ასევე მოჰყვება ექსპონენციალურ ზრდას. ამრიგად, ეს არის ექსპონენციალური ფუნქციის კიდევ ერთი გამოყენება.

ფიზიკაში, ყველა ტალღა, როგორიცაა sin, cos, ხმის ტალღები და მრავალი სხვა ტალღა ასევე შეიძლება დაიწეროს ექსპონენციალური ფუნქციების მიხედვით, ასე რომ ეს ფუნქცია ეხმარება ფიზიკოსებს ამ ტალღების კვლევაში.

რა არის კვადრატული გრაფიკი?

ეს არის კვადრატული გრაფიკის გამოსახულება

კვადრატული ფუნქციის გრაფიკი არის U-ის ფორმის პარაბოლა, როგორც ეს ნაჩვენებია ზემოთ სურათზე. ეს პარაბოლა შეიძლება გაიხსნას როგორც ღიმილი, ან გაიხსნას ქვემოთ, როგორც შუბლი. Theპარაბოლის გახსნის გზა დამოკიდებულია კოეფიციენტზე: ”a” განტოლებაში ax^2+bx+c. თუ კოეფიციენტი არის a>0, მაშინ პარაბოლა იხსნება და თუ კოეფიციენტი არის a<0, პარაბოლა იხსნება ქვემოთ.

• პარაბოლის უმაღლეს ან ყველაზე დაბალ წერტილს წვერო ეწოდება.
• წერტილი, რომელსაც წვერო წარმოადგენს, მაქსიმუმი თუ მინიმალური, დამოკიდებულია პარაბოლის გახსნის გზაზე.

თუ ის იხსნება, მაშინ წვერო წარმოადგენს მინიმალურ წერტილს გრაფიკზე და თუ ის იხსნება და წვერო წარმოადგენს მაქსიმალურ წერტილს კვადრატულ გრაფიკზე. პარაბოლების კიდევ ერთი თვისებაა სიმეტრიის ხაზი, რომელიც არის ვერტიკალური ხაზი, რომელიც გადის წვეროზე და გამოიყენება პარაბოლის 2 ტოლ და იდენტურ ნაწილად გასაყოფად.

მისი მიღება შესაძლებელია შემდეგი ფორმულის გამოყენებით: y =a(x−h)2+k. კვადრატულ გრაფიკს აქვს y-კვეთა, რომელიც არის წერტილი, სადაც პარაბოლა კვეთს y-ღერძს. ამ y-კვეთას აქვს მხოლოდ ერთი მნიშვნელობა, რაც ნიშნავს, რომ პარაბოლა მხოლოდ ერთხელ კვეთს y ღერძს. x-კვეთა არის წერტილი, სადაც პარაბოლა კვეთს ან კვეთს x-ღერძს.

გადაკვეთების რაოდენობა შეიძლება იყოს 0, 1 ან 2. კვეთების მაქსიმალური რაოდენობა არის 2, რადგან კვადრატულ განტოლებას შეუძლია მხოლოდ აქვს 2-მდე ხსნარი ან 2 ფესვი. კვადრატული გრაფიკი არის კვადრატული განტოლებების ამოხსნის ერთ-ერთი გზა. მას უწოდებენ კვადრატული განტოლებების ამოხსნის გრაფიკულ მეთოდს.

კვადრატული გრაფიკი გამოიყენებაჩვენი ყოველდღიური ცხოვრების მრავალი სფერო, ძირითადად სპორტში. ბურთის სროლა ან მაღალი პლატფორმიდან გადახტომა არის სიტუაციების მაგალითები, რომლებიც შეიძლება აჩვენოთ კვადრატული გრაფიკით. შემდეგ კვადრატული გრაფიკი შეიძლება გამოყენებულ იქნას იმისთვის, რომ გავიგოთ ბურთის ან ადამიანის მიღწეული მაქსიმალური ან მინიმალური ქულები.

რა არის ექსპონენციალური გრაფიკები?

ეს არის ექსპონენციალური გრაფიკის გამოსახულება

როგორც ალგებრული, ასევე ტრანსცენდენტული განტოლებები ხშირად შეიძლება ამოიხსნას ხელით კალკულატორის დახმარებით, თუმცა, როდესაც ეს ორი განტოლება, ალგებრული და ტრანსცენდენტული ჩნდება ერთად, მათი ხელით გადაჭრა ძალიან რთული ან თუნდაც შეუძლებელი ხდება. ამიტომ ამ ორი განტოლების ერთად ამოსახსნელად ვიყენებთ ექსპონენციალურ გრაფიკს და ვხსნით მას გრაფიკულად.

უმარტივესი ექსპონენციალური ფუნქციაა f(x) = ax, a>0, a≠1. ამ ფუნქციაში a ფუძე ყოველთვის 0-ზე მეტია, რადგან თუ ფუძე 0-ზე ნაკლებია, მაშინ მას შეუძლია მოგვცეს არარეალური რიცხვი.

თუ ფუძე არის 1, მაშინ ის ყოველთვის დააბრუნებს 1-ს მისი მაჩვენებლის მიუხედავად და აღმოჩნდება ძალიან მოსაწყენი ფუნქცია. სწორედ ამ მიზეზების გამოა დაწესებული გარკვეული შეზღუდვები ექსპონენციალურ ფუნქციაზე.

ექსპონენციალური ფუნქციის გრაფიკი აჩვენებს განსხვავებულ თვისებებს იმისდა მიხედვით, ბაზა 1-ზე მეტია თუ 1-ზე ნაკლები, მაგრამ 0-ზე მეტი. აჩვენეთ შემდეგი თვისებები, როდესაც ბაზა იქნებაიყოს 1-ზე დიდი. დომენი შედგება მხოლოდ რეალური რიცხვებისგან, დიაპაზონი იქნება y>0, გრაფიკი მუდმივად გაიზრდება, გრაფიკი იქნება უწყვეტი და გლუვი.

ექსპონენციალური გრაფიკი გვიჩვენებს მსგავსს. თვისებები, როდესაც ფუძე 1-ზე ნაკლებია, მაგრამ 0-ზე დიდია. მის თვისებებში ერთადერთი ცვლილება არის ის, რომ გრაფიკი მცირდება. ექსპონენციალური გრაფიკები გამოიყენება ექსპონენციალური ფუნქციების მეშვეობით მიღებული მონაცემების წარმოსაჩენად. მონაცემების ტიპები და ექსპონენციალური ფუნქციების გამოყენება უკვე განხილული იყო.

განსხვავება ექსპონენციალურ და კვადრატულ ფუნქციებს შორის (გამოიყენეთ აქ შინაარსი ცხრილად)

ახლა, როცა კარგად გვესმის კვადრატული და შემუშავებულია ექსპონენციალური ფუნქცია, ჩვენ განვიხილავთ განსხვავებას ორ ამ ძალიან მნიშვნელოვან ფუნქციას შორის.

კვადრატული ფუნქცია ექსპონენციალური ფუნქციის წინააღმდეგ

დასკვნა

მოკლე ახსნა ამ ორს შორის განსხვავების სრულად გასაგებად

როგორ შევაჯამოთ, კვადრატული ფუნქციები და ექსპონენციალური ფუნქციები განსხვავდებიან ერთმანეთისგან მათი გამოყენებისა და კონცეფციით. ექსპონენციალური ფუნქცია მიუთითებს უწყვეტ ზრდაზე, ხოლო კვადრატული ფუნქცია მიუთითებს როგორც ზრდაზე, ასევე შემცირებაზე, რომელშიც რაოდენობა მთავრდება მისი წარმოშობის დონეზე ან გრაფიკის დასაწყისში.

ეს სტატია მთავრდება ძირითადი მახასიათებლებით. როგორც ფუნქციები, ასევე მათი განსხვავებები. ორივე ამ ფუნქციას უდიდესი მნიშვნელობა აქვს მათემატიკის სფეროში და გამოიყენება სხვადასხვა სფეროში, როგორიცაა მეცნიერება, კომერცია და ასევე ჩვენი ყოველდღიური ცხოვრება. ამიტომ, მე მოგიწოდებთ, განავითაროთ ამ ორი ფუნქციის ღრმა გაგება და ოსტატობა.

იმედია, ამ სტატიის წაკითხვის შემდეგ, თქვენ გექნებათ ნათლად გესმით, როგორ წყდება ეს ორი, მათი განსხვავებები, გრაფიკები. , და ბევრი სხვა. მათემატიკასთან დაკავშირებული სტატია შეიძლება მოგეჩვენოთ მოსაწყენი, მაგრამ ამ სტატიის წაკითხვის შემდეგ მოგეჩვენებათმიხვდნენ, რომ მათემატიკაც კი შეიძლება იყოს საინტერესო, თუ სწორად არის გადმოცემული.

სხვა სტატიები