ہو سکتا ہے آپ نے 9ویں یا 11ویں جماعت میں اپنے نصاب کے حصے کے طور پر کواڈریٹک اور ایکسپونینشل فنکشنز کا مطالعہ کیا ہو۔ تاہم، آپ کے نصاب کے حصے کے طور پر ان افعال کا مطالعہ ضروری نہیں کہ آپ کو ان دونوں کے درمیان فرق کی واضح سمجھ حاصل ہو۔

آپ کے نصاب کے حصے کے طور پر، آپ کو دونوں اور ان کی ایپلی کیشنز کے درمیان ممکنہ فرق کے بارے میں قیاس کیے بغیر صرف ان دونوں سے متعلق مساوات اور مسائل کو حل کرنے کی ضرورت ہے۔

لہذا اس مضمون میں، میرا مقصد آپ کو گراف، مساوات اور مثالوں کی مدد سے دونوں کے درمیان فرق کے بارے میں آگاہ کرنا ہے تاکہ آپ علم کو آسانی سے سمجھ سکیں۔

آئیے شروع کرتے ہیں۔

ریاضی میں فنکشن کیا ہے؟

ریاضی میں ایک فنکشن کو ان پٹ کے درمیان تعلق کے طور پر بہترین طور پر بیان کیا جاتا ہے جہاں ہر ان پٹ کا نتیجہ ایک ہی ہوتا ہے جس کا مطلب ہے کہ ہر ان پٹ ایک ہی آؤٹ پٹ واپس کرے گا۔

ریاضی میں ایک فنکشن اکثر f(x) کے ذریعہ دکھایا جاتا ہے یا اس کی نمائندگی کرتا ہے۔ مثال کے طور پر f(x)=x^2۔ یہ فنکشن ہمیں بریکٹ میں نمبر کا مربع دے گا، اس معاملے میں، نمبر 2۔

یہ ہمیں وہی آؤٹ پٹ دے گا چاہے فنکشن میں ان پٹ کچھ بھی ہو۔ اس صورت میں، یہ ہمیشہ بریکٹ میں نمبر کے مربع کو آؤٹ پٹ کے طور پر لوٹائے گا۔

ریاضی میں متعدد فنکشنز ہیں جو مختلف کاموں کو پورا کرنے کے لیے استعمال کیے جاتے ہیں اور ان کا اطلاق مختلف شعبوں میں ہوتا ہے۔ تاہم، وہ افعال جن پر ہم بحث کرنے جا رہے ہیں۔اس مضمون میں چوکور اور کفایتی افعال ہیں۔ ہم بنیادی طور پر ان دو فنکشنز کے درمیان فرق کو اجاگر کرنے پر توجہ مرکوز کریں گے۔

کواڈراٹک فنکشن کیا ہے؟

ایک چوکور فنکشن ایک کثیر الثانی فعل ہے اور یہ مساوات ax^2+bx+c کی کوئی بھی شکل ہے۔ اسے ڈگری 2 کا کثیر الجہتی بھی کہا جاتا ہے کیونکہ زیادہ سے زیادہ ایکسپوننٹ 2 ہو سکتا ہے۔

کواڈریٹک فارمولہ سائنس کے مختلف شعبوں جیسے انجینئرنگ میں استعمال ہوتا ہے۔ تصویری طور پر اس کی نمائندگی پیرابولا کے ذریعے کی جاتی ہے۔

یہ پیرابولا ہماری روزمرہ کی زندگیوں میں مختلف سرگرمیوں کے لیے استعمال ہوتا ہے جیسے کہ گیند پھینکنا یا گولف کی گیند کو مارنا۔ چوکور مساوات کا استعمال پیمائش میں گم شدہ متغیرات کو تلاش کرنے اور کسی بھی شے کی رفتار معلوم کرنے اور تجارت کے میدان میں کسی بھی شے یا مصنوعات کے منافع کا حساب لگانے کے لیے بھی کیا جاتا ہے۔

یہاں ایک چوکور مساوات کی ایک مثال ہے: 3x^ 2+5x+9 a:3 b:5 c:9

یہ اس کی معیاری شکل میں چوکور فنکشن کی ایک مثال ہے۔ اس طرح کی مساوات کو حل کرنے کے لیے جو فارمولہ استعمال کیا جاتا ہے اسے چوکور فارمولے کے نام سے جانا جاتا ہے، جو کہ درج ذیل ہے: (-b±√(b²-4ac))/(2a)۔

ایکسپونیشنل فنکشن کیا ہے؟

ریاضی میں ایک کفایتی فنکشن ایک فنکشن ہے جو f(x)=a^x کی شکل میں ہے جہاں a بیس ہے، یہ ایک مستقل ہے اور اسے ہمیشہ 0 سے بڑا ہونا چاہیے۔ یہ ہے f(x)=\exp یا e^{x} سے ظاہر ہوتا ہے۔

سب سے زیادہ استعمال ہونے والا ایکسپونینشل بیس بیس ای ہے جسے قدرتی کہا جاتا ہےلوگارتھم اس کا استعمال مختلف چیزوں جیسے کہ آبادی اور بیکٹیریا کی شرح نمو کا حساب لگانے کے لیے کیا جاتا ہے۔ ایک کفایتی فنکشن ریاضی کا سب سے اہم فعل ہے۔

یہ بہت اہم ہے کیونکہ یہ مختلف شعبوں میں استعمال ہوتا ہے جیسے:

• سائنس
• کامرس۔

مثال کے طور پر، آپ جو رقم بینک میں جمع کرتے ہیں اس پر سود کی شرح تیزی سے بڑھ جاتی ہے جس کا مطلب ہے کہ یہ ایک کفایتی منحنی خطوط کی پیروی کرتا ہے اس طرح، اس کا حساب کفایتی فنکشنز کے ذریعے کیا جا سکتا ہے۔

مزید برآں، قرض کی نمو بھی تیزی سے بڑھتی ہے اور ایک کفایتی منحنی خطوط کی پیروی کرتی ہے، لہذا، ایکسپونینشل فنکشنز کا استعمال کرکے آپ اپنے قرض کو بڑھنے سے روک سکتے ہیں اور اپنے مالیات پر زیادہ کنٹرول حاصل کر سکتے ہیں۔

حیاتیات میں، اس کا استعمال ایک مخصوص مدت کے دوران کسی مخصوص علاقے کی آبادی میں اضافے کا تخمینہ لگانے کے لیے کیا جاتا ہے۔

ریڈیو ایکٹیویٹی جیسے یورینیم کا زوال بھی تیزی سے بڑھتا ہے۔ اس طرح، یہ ایکسپونیشنل فنکشن کا ایک اور اطلاق ہے۔

طبیعیات میں، تمام لہریں جیسے کہ sin، cos، صوتی لہریں، اور بہت سی دوسری لہریں بھی exponential functions کے لحاظ سے لکھی جا سکتی ہیں لہذا یہ فنکشن ماہرین طبیعات کو ان لہروں پر تحقیق کرنے میں مدد کرتا ہے۔

کیا ایک چوکور گراف ہے؟

یہ ایک چوکور گراف کی نمائندگی ہے

کواڈراٹک فنکشن کا گراف ایک U شکل کا پیرابولا ہے جیسا کہ اوپر تصویر میں دکھایا گیا ہے۔ یہ پیرابولا یا تو مسکراہٹ کی طرح کھل سکتا ہے یا نیچے کی طرف بھونچال کی طرح کھل سکتا ہے۔ دیپیرابولا کے کھلنے کا طریقہ گتانک پر منحصر ہے: "a" مساوات ax^2+bx+c میں۔ اگر گتانک a>0 ہے تو پیرابولا کھلتا ہے اور اگر گتانک a<0 ہے تو پیرابولا نیچے کھلتا ہے۔

• ایک پیرابولا کا سب سے اونچا یا سب سے کم نقطہ ایک ورٹیکس کہلاتا ہے۔
• عروق جس نقطہ کی نمائندگی کرتا ہے، چاہے زیادہ سے زیادہ ہو یا کم سے کم اس کا انحصار پیرابولا کے کھلنے کے طریقے پر ہوتا ہے۔

اگر یہ کھلتا ہے تو چوٹی گراف پر کم سے کم پوائنٹ کی نمائندگی کرتی ہے اور اگر یہ نیچے کھلتا ہے تو ورٹیکس چوکور گراف پر زیادہ سے زیادہ نقطہ کی نمائندگی کرتا ہے۔ پیرابولا کی ایک اور خصوصیت ہم آہنگی کی لکیر ہے جو ایک عمودی لکیر ہے جو عمودی خط سے گزرتی ہے اور پیرابولا کو 2 مساوی اور ایک جیسے حصوں میں تقسیم کرنے کے لیے استعمال ہوتی ہے۔

اسے درج ذیل فارمولے کا استعمال کرکے حاصل کیا جاسکتا ہے: y =a(x−h)2+k۔ چوکور گراف میں y-intercept ہے جو وہ نقطہ ہے جہاں پیرابولا y-محور کو کاٹتا ہے۔ اس y-intercept کی صرف ایک قدر ہے جس کا مطلب ہے کہ پیرابولا صرف ایک بار y محور کو کاٹتا ہے۔ ایکس انٹرسیپٹ وہ نقطہ ہے جہاں پیرابولا ایکس محور کو روکتا ہے یا کراس کرتا ہے۔

انٹرسیپٹس کی تعداد 0، 1، یا 2 ہوسکتی ہے۔ انٹرسیپٹس کی زیادہ سے زیادہ تعداد 2 ہے کیونکہ ایک چوکور مساوات صرف کر سکتی ہے۔ 2 تک حل یا 2 جڑیں ہیں۔ چوکور گراف چوکور مساوات کو حل کرنے کا ایک طریقہ ہے۔ اسے چوکور مساوات کو حل کرنے کا گرافیکل طریقہ کہا جاتا ہے۔

کواڈراٹک گراف اس میں استعمال ہوتا ہےہماری روزمرہ کی زندگی کے بہت سے شعبے بنیادی طور پر کھیلوں میں۔ گیند پھینکنا یا اونچے پلیٹ فارم سے چھلانگ لگانا، ایسے حالات کی مثالیں ہیں جن کو چوکور گراف سے ظاہر کیا جا سکتا ہے۔ اس کے بعد چوکور گراف کا استعمال یہ معلوم کرنے کے لیے کیا جا سکتا ہے کہ زیادہ سے زیادہ یا کم سے کم پوائنٹس کہاں تک پہنچ گئے گیند یا شخص پہنچ گیا۔

ایکسپونیشنل گراف کیا ہیں؟

یہ ایک کفایتی گراف کی نمائندگی ہے

الجبری اور ماورائی مساوات دونوں کو اکثر کیلکولیٹر کی مدد سے ہاتھ سے حل کیا جاسکتا ہے، تاہم، جب یہ دونوں مساواتیں، الجبری اور ماورائی ایک ساتھ ظاہر ہوتے ہیں، انہیں ہاتھ سے حل کرنا بہت مشکل یا ناممکن ہو جاتا ہے۔ لہذا ان دونوں مساواتوں کو ایک ساتھ حل کرنے کے لیے، ہم ایکسپونینشل گراف کا استعمال کرتے ہیں اور اسے گرافی طور پر حل کرتے ہیں۔

سب سے آسان ایکسپونینشل فنکشن f(x) = ax, a>0, a≠1 ہے۔ اس فنکشن میں، بیس a کو ہمیشہ 0 سے بڑا رکھا جاتا ہے کیونکہ اگر بیس 0 سے کم ہے تو یہ ہمیں ایک غیر حقیقی نمبر دے سکتا ہے۔

اگر بنیاد 1 ہے تو یہ ہمیشہ 1 واپس کرے گا قطع نظر اس کے کہ اس کے ایکسپوننٹ اور یہ ایک بہت بورنگ فعل ثابت ہوگا۔ ان وجوہات کی وجہ سے ایکسپونینشل فنکشن پر کچھ پابندیاں لگائی جاتی ہیں۔

ایک ایکسپونیشنل فنکشن کا گراف مختلف خصوصیات دکھاتا ہے اس پر منحصر ہے کہ بیس 1 سے زیادہ ہے یا 1 سے کم لیکن 0 سے زیادہ۔ جب بیس کرے گا تو درج ذیل خصوصیات کو ظاہر کریں۔1 سے بڑا ہو۔ ڈومین صرف حقیقی نمبروں پر مشتمل ہو گا، رینج y>0 ہو گی، گراف مسلسل بڑھے گا، گراف مسلسل ہو گا اور ہموار ہو گا۔

تفصیلی گراف اسی طرح دکھاتا ہے۔ خواص جب بنیاد 1 سے کم ہو لیکن 0 سے بڑا ہو۔ اس کی خصوصیات میں صرف تبدیلی یہ ہے کہ گراف کم ہو گا۔ ایکسپونینشل گرافس کو ایکسپونینشل فنکشنز کے ذریعے حاصل کردہ ڈیٹا کی نمائندگی کرنے کے لیے استعمال کیا جاتا ہے۔ اعداد و شمار کی اقسام اور ایکسپونینشل فنکشنز کے اطلاق پر پہلے بات کی جا چکی ہے۔

ایکسپونینشل اور کواڈریٹک فنکشنز کے درمیان فرق (یہاں مواد کو بطور جدول استعمال کریں)

اب جب کہ چوکور اور کواڈریٹک کی اچھی سمجھ ہے۔ ایکسپونینشل فنکشنز تیار کیے گئے ہیں ہم ان دو انتہائی اہم فنکشنز کے درمیان فرق پر بات کریں گے۔