Možno ste sa v 9. alebo 11. ročníku učili kvadratickú a exponenciálnu funkciu ako súčasť učebných osnov. Štúdium týchto funkcií ako súčasť učebných osnov vám však nemusí dať jasnú predstavu o rozdiele medzi nimi.

V rámci učebných osnov sa od vás vyžaduje len riešenie rovníc a úloh súvisiacich s týmito dvoma úlohami bez toho, aby ste niekedy špekulovali o možných rozdieloch medzi nimi a ich aplikáciami.

V tomto článku vás chcem poučiť o rozdieloch medzi nimi pomocou grafov, rovníc a príkladov, aby ste tieto poznatky ľahko pochopili.

Začnime.

Čo je to funkcia v matematike?

Funkcia v matematike je najlepšie definovaná ako vzťah medzi vstupmi, kde každý vstup má rovnaký výsledok, čo znamená, že každý vstup vráti rovnaký výstup.

Funkcia sa v matematike často znázorňuje alebo reprezentuje symbolom f(x). Napríklad f(x)=x^2. Táto funkcia nám dá štvorec čísla v zátvorke, v tomto prípade čísla 2.

Dá nám rovnaký výstup bez ohľadu na to, aký je vstup vo funkcii. V tomto prípade vždy vráti ako výstup druhú stranu čísla v zátvorke.

V matematike existuje množstvo funkcií, ktoré sa používajú na riešenie rôznych úloh a uplatňujú sa v rôznych oblastiach. Funkcie, ktorým sa však budeme venovať v tomto článku, sú kvadratická a exponenciálna funkcia. Zameriame sa hlavne na zdôraznenie rozdielu medzi týmito dvoma funkciami.

Čo je to kvadratická funkcia?

Kvadratická funkcia je polynomická funkcia a je to ľubovoľný tvar rovnice ax^2+bx+c. Nazýva sa aj polynóm stupňa 2, pretože maximálny exponent môže byť 2.

Kvadratický vzorec sa používa v rôznych oblastiach vedy, napríklad v inžinierstve. Graficky sa znázorňuje prostredníctvom paraboly.

Táto parabola sa používa pri rôznych činnostiach v našom každodennom živote, napríklad pri hádzaní loptičky alebo pri odpale golfovej loptičky. Kvadratické rovnice sa používajú aj na hľadanie chýbajúcich veličín pri meraniach a na zistenie rýchlosti akéhokoľvek objektu a na výpočet zisku akéhokoľvek predmetu alebo výrobku v oblasti obchodu.

Tu je príklad kvadratickej rovnice: 3x^2+5x+9 a:3 b:5 c:9

Toto je príklad kvadratickej funkcie v štandardnom tvare. Vzorec, ktorý sa používa na riešenie takýchto rovníc, je známy ako kvadratický vzorec, ktorý je nasledovný: (-b±√(b²-4ac))/(2a).

Čo je exponenciálna funkcia?

Exponenciálna funkcia v matematike je funkcia, ktorá má tvar f(x)=a^x, kde a je základ, je to konštanta a musí byť vždy väčšia ako 0. Označuje sa f(x)=\exp alebo e^{x}.

Najpoužívanejším exponenciálnym základom je základ e, ktorý sa nazýva prirodzený logaritmus. Používa sa na výpočet miery rastu rôznych vecí, napríklad populácie a baktérií. Exponenciálna funkcia je pravdepodobne najdôležitejšou funkciou v matematike.

Je veľmi dôležitý, pretože sa používa v rôznych oblastiach, ako napr:

• Veda
• Obchod.

Napríklad úroková miera peňazí uložených v banke rastie exponenciálne, čo znamená, že sa pohybuje po exponenciálnej krivke, a preto ju možno vypočítať pomocou exponenciálnych funkcií.

Okrem toho rast dlhu tiež rastie exponenciálne a sleduje exponenciálnu krivku, takže pomocou exponenciálnych funkcií môžete zastaviť rast svojho dlhu a mať väčšiu kontrolu nad svojimi financiami.

V biológii sa používa na odhad rastu populácie v určitej oblasti za určité obdobie.

Rádioaktivita, napríklad rozpad uránu, sa tiež riadi exponenciálnym rastom. Ide teda o ďalšiu aplikáciu exponenciálnej funkcie.

Vo fyzike sa všetky vlny, ako napríklad sin, cos, zvukové vlny a mnohé ďalšie vlny, dajú zapísať pomocou exponenciálnych funkcií, takže táto funkcia pomáha fyzikom pri výskume týchto vĺn.

Čo je to kvadratický graf?

Toto je znázornenie kvadratického grafu

Grafom kvadratickej funkcie je parabola v tvare písmena U, ako je znázornené na obrázku vyššie. Táto parabola sa môže otvárať buď smerom nahor ako úsmev, alebo smerom nadol ako zamračený výraz. Spôsob otvárania paraboly závisí od koeficientu: "a" v rovnici ax^2+bx+c. Ak je koeficient a>0, potom sa parabola otvára smerom nahor a ak je koeficient a<0, potom sa parabola otvára smerom nadol.

• Najvyšší alebo najnižší bod paraboly sa nazýva vrchol.
• Bod, ktorý vrchol predstavuje, či už maximum alebo minimum, závisí od toho, ako sa parabola otvára.

Ak sa otvára smerom nahor, potom vrchol predstavuje minimálny bod grafu a ak sa otvára smerom nadol, potom vrchol predstavuje maximálny bod grafu štvorca. Ďalšou vlastnosťou paraboly je priamka symetrie, čo je zvislá čiara, ktorá prechádza vrcholom a slúži na rozdelenie paraboly na 2 rovnaké a zhodné polovice.

Možno ho získať pomocou nasledujúceho vzorca: y=a(x-h)2+k. Graf štvorca má y-intercept, čo je bod, v ktorom parabola pretína os y. Tento y-intercept má len jednu hodnotu, čo znamená, že parabola pretína os y len raz. x-intercept je bod, v ktorom parabola pretína alebo pretína os x.

Počet priesečníkov môže byť 0, 1 alebo 2. Maximálny počet priesečníkov je 2, pretože kvadratická rovnica môže mať len 2 riešenia alebo 2 korene. Graf kvadratickej rovnice je jedným zo spôsobov riešenia kvadratických rovníc. Nazýva sa grafická metóda riešenia kvadratických rovníc.

Kvadratický graf sa používa v mnohých oblastiach nášho každodenného života, hlavne v športe. Hádzanie lopty alebo skok z vysokej plošiny sú príkladmi situácií, ktoré by sa dali demonštrovať pomocou kvadratického grafu. Kvadratický graf by sa potom mohol použiť na zistenie maximálnych alebo minimálnych bodov, ktoré lopta alebo človek dosiahli.

Čo sú to exponenciálne grafy?

Toto je znázornenie exponenciálneho grafu

Algebraické aj transcendentné rovnice sa často dajú riešiť ručne pomocou kalkulačky, keď sa však tieto dve rovnice, algebraická a transcendentná, objavia spolu, ich ručné riešenie sa stáva veľmi náročným alebo dokonca nemožným. Preto na riešenie týchto dvoch rovníc spolu použijeme exponenciálny graf a vyriešime ho graficky.

Najjednoduchšia exponenciálna funkcia je f(x) = ax, a>0, a≠1. V tejto funkcii je základ a vždy väčší ako 0, pretože ak by bol základ menší ako 0, mohlo by nám to dať nereálne číslo.

Ak by základom bola 1, potom by vždy vracala 1 bez ohľadu na exponent a ukázalo by sa, že je to veľmi nudná funkcia. Práve z týchto dôvodov sú na exponenciálnu funkciu kladené určité obmedzenia.

Graf exponenciálnej funkcie vykazuje rôzne vlastnosti v závislosti od toho, či je základ väčší ako 1 alebo menší ako 1, ale väčší ako 0. Ak bude základ väčší ako 1, bude vykazovať nasledujúce vlastnosti: Oblasť budú tvoriť len reálne čísla, rozsah bude y>0, graf bude neustále rásť, graf bude spojitý a bude hladký.

Exponenciálny graf vykazuje podobné vlastnosti, keď je základ menší ako 1, ale väčší ako 0. Jediná zmena v jeho vlastnostiach je, že graf bude klesajúci. Exponenciálne grafy sa používajú na reprezentáciu údajov získaných pomocou exponenciálnych funkcií. O typoch údajov a použití exponenciálnych funkcií sme už hovorili.

Rozdiel medzi exponenciálnou a kvadratickou funkciou (obsah použite ako tabuľku)

Teraz, keď sme si dobre osvojili kvadratickú a exponenciálnu funkciu, budeme diskutovať o rozdieloch medzi týmito dvoma veľmi dôležitými funkciami.

Kvadratická funkcia vs. exponenciálna funkcia

Záver

Krátke vysvetlenie, aby ste plne pochopili rozdiel medzi týmito dvoma spôsobmi

Ak to zhrnieme, kvadratické funkcie a exponenciálne funkcie sa od seba líšia svojím použitím a svojím poňatím. Exponenciálna funkcia označuje nepretržitý nárast, zatiaľ čo kvadratická funkcia označuje nárast aj pokles, pri ktorom veličina končí na úrovni svojho počiatku alebo začiatku grafu.

V závere tohto článku sú uvedené hlavné znaky oboch funkcií, ako aj ich rozdiely. Obe tieto funkcie majú obrovský význam v oblasti matematiky a uplatňujú sa v rôznych oblastiach, ako je veda, obchod, ale aj náš každodenný život. Preto by som vás chcel povzbudiť, aby ste tieto dve funkcie hlboko pochopili a ovládali.

Dúfajme, že po prečítaní tohto článku budete mať jasnú predstavu o tom, ako sa tieto dve úlohy riešia, o ich rozdieloch, grafoch a o mnohých ďalších veciach. Článok týkajúci sa matematiky by sa vám mohol zdať nudný, ale po jeho prečítaní by ste si uvedomili, že aj matematika môže byť zaujímavá, ak je podaná správnym spôsobom.

Ďalšie články