Можливо, ви вивчали квадратичну та експоненціальну функції в рамках шкільної програми у 9 або 11 класі. Однак, вивчення цих функцій не обов'язково дає вам чітке розуміння різниці між ними.

У рамках програми від вас вимагається лише розв'язувати рівняння та задачі, пов'язані з цими двома методами, не замислюючись над можливими відмінностями між ними та їхнім застосуванням.

Тож у цій статті я прагну пояснити вам різницю між ними за допомогою графіків, рівнянь і прикладів, щоб ви могли легко засвоїти знання.

Почнемо.

Що таке функція в математиці?

Функція в математиці найкраще визначається як відношення між входами, де кожен вхід має однаковий результат, що означає, що кожен вхід поверне той самий вихід.

Функція в математиці часто позначається або представляється через f(x). Наприклад, f(x)=x^2. Ця функція дасть нам квадрат числа в дужках, в даному випадку числа 2.

Вона дасть нам той самий результат, незалежно від того, якими є вхідні дані у функції. У цьому випадку вона завжди повертатиме квадрат числа у дужках як вихідний результат.

У математиці існує безліч функцій, які використовуються для виконання різних завдань і застосовуються в різних сферах. Однак функції, про які ми поговоримо в цій статті, - це квадратична та експоненціальна функції. Ми зосередимося на тому, щоб показати різницю між цими двома функціями.

Що таке квадратична функція?

Квадратична функція - це поліноміальна функція, тобто будь-яка форма рівняння ax^2+bx+c. Її також називають поліномом 2-го степеня, оскільки максимальний показник може дорівнювати 2.

Квадратична формула використовується в різних галузях науки, наприклад, в інженерії. Графічно вона представлена параболою.

Ця парабола використовується для різних дій у нашому повсякденному житті, таких як кидання м'яча або удар по м'ячу для гольфу. Квадратичні рівняння також використовуються для знаходження відсутніх змінних у вимірах і визначення швидкості будь-якого об'єкта, а також для обчислення прибутку будь-якого предмета або продукту в сфері комерції.

Ось приклад квадратного рівняння: 3x^2+5x+9 a:3 b:5 c:9

Це приклад квадратичної функції в її стандартному вигляді. Формула, яка використовується для розв'язування таких рівнянь, відома як квадратична формула, яка має такий вигляд: (-b±√(b²-4ac))/(2a).

Що таке експоненціальна функція?

Експоненціальна функція в математиці - це функція, яка має вигляд f(x)=a^x, де a - основа, це константа і вона завжди повинна бути більшою за 0. Вона позначається f(x)=\exp або e^{x}.

Найпоширенішою основою експоненти є основа e, яка називається натуральним логарифмом. Її використовують для обчислення темпів зростання різних величин, таких як чисельність населення і бактерій. Експоненціальна функція - це, мабуть, найважливіша функція в математиці.

Це дуже важливо, тому що він використовується в різних сферах, таких як:

• Наука
• Комерція.

Наприклад, відсоткова ставка на гроші, які ви кладете в банк, зростає в геометричній прогресії, а це означає, що вона слідує за експоненціальною кривою, отже, її можна обчислити за допомогою експоненціальних функцій.

Більше того, зростання боргу також зростає в геометричній прогресії і слідує за експоненціальною кривою, тому, використовуючи експоненціальні функції, ви можете зупинити зростання вашого боргу і мати більший контроль над своїми фінансами.

У біології він використовується для оцінки приросту населення певної території за певний період.

Радіоактивність, наприклад, розпад урану, також має експоненціальний характер. Таким чином, це ще одне застосування експоненціальної функції.

У фізиці всі хвилі, такі як sin, cos, звукові хвилі та багато інших хвиль також можна записати у вигляді експоненціальних функцій, тому ця функція допомагає фізикам досліджувати ці хвилі.

Що таке квадратичний графік?

Це представлення квадратичного графа

Графік квадратичної функції - це U-подібна парабола, як показано на малюнку вище. Ця парабола може розкриватися вгору, як посмішка, або вниз, як хмурий погляд. Те, як розкривається парабола, залежить від коефіцієнта "a" в рівнянні ax^2+bx+c. Якщо коефіцієнт дорівнює a, то парабола розкривається вгору, а якщо коефіцієнт дорівнює a, то парабола закривається вниз.

• Найвища або найнижча точка параболи називається вершиною.
• Точка, яку представляє вершина, максимальна чи мінімальна, залежить від способу розкриття параболи.

Якщо вона відкривається вгору, то вершина представляє мінімальну точку на графіку, а якщо вона відкривається вниз, то вершина представляє максимальну точку на квадратичному графіку. Ще однією особливістю парабол є лінія симетрії, яка є вертикальною лінією, що проходить через вершину і використовується для поділу параболи на 2 рівні та однакові половини.

Його можна отримати за формулою: y=a(x-h)2+k. Квадратичний графік має точку перетину у, яка є точкою, де парабола перетинає вісь у. Ця точка має лише одне значення, тобто парабола перетинає вісь у лише один раз. Точка перетину х - це точка, де парабола перетинає вісь х або перетинає вісь у.

Кількість перехоплень може бути 0, 1 або 2. Максимальна кількість перехоплень дорівнює 2, оскільки квадратне рівняння може мати лише 2 розв'язки або 2 корені. Квадратний графік - це один із способів розв'язування квадратних рівнянь. Він називається графічним методом розв'язування квадратних рівнянь.

Квадратичний графік використовується в багатьох сферах нашого повсякденного життя, головним чином у спорті. Кидання м'яча або стрибки з високої платформи - це приклади ситуацій, які можна продемонструвати за допомогою квадратичного графіка. Квадратичний графік можна використовувати, щоб знайти максимальну або мінімальну точку, якої досягнув м'яч або людина.

Що таке експоненціальні графіки?

Це представлення експоненціального графіка

Як алгебраїчні, так і трансцендентні рівняння часто можна розв'язати вручну за допомогою калькулятора, однак, коли ці два рівняння, алгебраїчне і трансцендентне, з'являються разом, розв'язати їх вручну стає дуже складно або навіть неможливо. Тому для того, щоб розв'язати ці два рівняння разом, ми використовуємо графік експоненти і розв'язуємо його графічно.

Найпростіша експоненціальна функція має вигляд f(x) = ax, a>0, a≠1. У цій функції основа a завжди тримається більшою за 0, оскільки якщо основа буде меншою за 0, то вона може дати нам нереальне число.

Якщо основа дорівнює 1, то вона завжди повертала б 1 незалежно від експоненти, і це була б дуже нудна функція. Саме з цих причин на експоненціальну функцію накладаються певні обмеження.

Графік експоненціальної функції має різні властивості залежно від того, чи основа більша за 1, чи менша за 1, але більша за 0. Якщо основа більша за 1, він матиме такі властивості: область визначення буде складатися лише з дійсних чисел, діапазон буде y>0, графік буде постійно зростати, графік буде неперервним і гладким.

Експоненціальний графік демонструє подібні властивості, коли основа менша за 1, але більша за 0. Єдина зміна у його властивостях полягає в тому, що графік буде спадаючим. Експоненціальні графіки використовуються для представлення даних, отриманих за допомогою експоненціальних функцій. Типи даних і застосування експоненціальних функцій були розглянуті раніше.

Різниця між експоненціальною та квадратичною функціями (Використовуйте зміст у вигляді таблиці)

Тепер, коли ми добре розуміємо квадратичну та експоненціальну функції, ми обговоримо відмінності між цими двома дуже важливими функціями.

Квадратична функція проти експоненціальної

Висновок

Коротке пояснення, щоб повністю зрозуміти різницю між ними

Підводячи підсумок, квадратична та експоненціальна функції відрізняються одна від одної за своїм застосуванням та концепцією. Експоненціальна функція вказує на безперервне зростання, тоді як квадратична функція вказує як на збільшення, так і на зменшення, при якому величина закінчується на рівні свого початку або початку графіка.

У цій статті ми розглянемо основні особливості обох функцій, а також їх відмінності. Обидві ці функції мають величезне значення в галузі математики і застосовуються в різних сферах, таких як наука, комерція, а також у нашому повсякденному житті. Тому я закликаю вас розвивати глибоке розуміння і опанування цих двох функцій.

Сподіваємося, що після прочитання цієї статті ви матимете чітке уявлення про те, як розв'язуються ці дві задачі, їхні відмінності, графіки та багато іншого. Стаття, пов'язана з математикою, може здатися нудною, але після її прочитання ви зрозумієте, що навіть математика може бути цікавою, якщо її правильно викладати.

Інші статті