Možná jste se v 9. nebo 11. třídě učili kvadratickou a exponenciální funkci jako součást učiva. Studium těchto funkcí jako součást učiva vám však nemusí nutně dát jasnou představu o rozdílu mezi nimi.

V rámci učebních osnov se po vás požaduje pouze řešení rovnic a úloh, které se týkají těchto dvou oblastí, aniž byste kdy spekulovali o možných rozdílech mezi nimi a jejich aplikacemi.

V tomto článku vás chci seznámit s rozdílem mezi nimi pomocí grafů, rovnic a příkladů tak, abyste tyto znalosti snadno pochopili.

Začněme.

Co je to funkce v matematice?

Funkce je v matematice nejlépe definována jako vztah mezi vstupy, kde každý vstup má stejný výsledek, což znamená, že každý vstup vrátí stejný výstup.

Funkce se v matematice často znázorňuje nebo reprezentuje pomocí f(x). Například f(x)=x^2. Tato funkce nám dá druhou odmocninu čísla v závorce, v tomto případě čísla 2.

Dá nám stejný výstup bez ohledu na to, jaký je vstup ve funkci. V tomto případě vždy vrátí jako výstup druhou hodnotu čísla v závorce.

V matematice existuje řada funkcí, které se používají k řešení různých úloh a uplatňují se v různých oblastech. Funkce, které budeme v tomto článku probírat, jsou však kvadratická a exponenciální funkce. Zaměříme se především na zdůraznění rozdílu mezi těmito dvěma funkcemi.

Co je to kvadratická funkce?

Kvadratická funkce je polynomická funkce a je to libovolný tvar rovnice ax^2+bx+c. Říká se jí také polynom stupně 2, protože maximální exponent může být 2.

Kvadratický vzorec se používá v různých vědních oborech, například v inženýrství. Graficky se znázorňuje pomocí paraboly.

Tato parabola se používá při různých činnostech v našem každodenním životě, například při házení míčkem nebo odpalování golfového míčku. Kvadratické rovnice se také používají k nalezení chybějících veličin při měření a ke zjištění rychlosti jakéhokoli předmětu a k výpočtu zisku jakéhokoli předmětu nebo výrobku v oblasti obchodu.

Zde je příklad kvadratické rovnice: 3x^2+5x+9 a:3 b:5 c:9

Toto je příklad kvadratické funkce ve standardním tvaru. Vzorec, který se používá k řešení takových rovnic, je známý jako kvadratický vzorec, který zní: (-b±√(b²-4ac))/(2a).

Co je to exponenciální funkce?

Exponenciální funkce v matematice je funkce, která má tvar f(x)=a^x, kde a je základ, je to konstanta a musí být vždy větší než 0. Označuje se f(x)=\exp nebo e^{x}.

Nejpoužívanějším exponenciálním základem je základ e, který se nazývá přirozený logaritmus. Používá se k výpočtu rychlosti růstu různých věcí, například populace a bakterií. Exponenciální funkce je pravděpodobně nejdůležitější funkcí v matematice.

Je velmi důležitý, protože se používá v různých oblastech, jako jsou:

• Věda
• Obchod.

Například úroková sazba z peněz uložených v bance roste exponenciálně, což znamená, že se pohybuje po exponenciální křivce, a lze ji tedy vypočítat pomocí exponenciálních funkcí.

Růst dluhu navíc roste exponenciálně a sleduje exponenciální křivku, takže pomocí exponenciálních funkcí můžete zastavit růst dluhu a mít větší kontrolu nad svými financemi.

V biologii se používá k odhadu růstu populace určité oblasti za určité období.

Radioaktivita, například rozpad uranu, se také řídí exponenciálním růstem. Jedná se tedy o další aplikaci exponenciální funkce.

Ve fyzice lze všechny vlny, jako jsou sin, cos, zvukové vlny a mnoho dalších vln, zapsat také v podobě exponenciálních funkcí, takže tato funkce pomáhá fyzikům při výzkumu těchto vln.

Co je to kvadratický graf?

Toto je zobrazení kvadratického grafu

Grafem kvadratické funkce je parabola ve tvaru písmene U, jak je znázorněno na obrázku výše. Tato parabola se může otevřít buď nahoru jako úsměv, nebo dolů jako zamračený úsměv. Způsob otevření paraboly závisí na koeficientu: "a" v rovnici ax^2+bx+c. Pokud je koeficient a>0, pak se parabola otevírá nahoru a pokud je koeficient a<0, pak se parabola otevírá dolů.

• Nejvyšší nebo nejnižší bod paraboly se nazývá vrchol.
• Bod, který vrchol představuje, ať už maximum nebo minimum, závisí na způsobu rozevření paraboly.

Pokud se otevírá nahoru, pak vrchol představuje minimální bod grafu, a pokud se otevírá dolů, pak vrchol představuje maximální bod grafu kvadratické paraboly. Další vlastností paraboly je přímka souměrnosti, což je svislá přímka, která prochází vrcholem a slouží k rozdělení paraboly na 2 stejné a identické poloviny.

Lze ji získat pomocí následujícího vzorce: y=a(x-h)2+k. Kvadratický graf má y-intercept, což je bod, ve kterém parabola protíná osu y. Tento y-intercept má pouze jednu hodnotu, což znamená, že parabola protíná osu y pouze jednou. x-intercept je bod, ve kterém parabola protíná nebo protíná osu x. Kvadratický graf má y-intercept.

Počet průsečíků může být 0, 1 nebo 2. Maximální počet průsečíků je 2, protože kvadratická rovnice může mít pouze 2 řešení neboli 2 kořeny. Kvadratický graf je jedním ze způsobů řešení kvadratických rovnic. Nazývá se grafická metoda řešení kvadratických rovnic.

Kvadratický graf se používá v mnoha oblastech našeho každodenního života, především ve sportu. Házení míčem nebo skok z vysoké plošiny jsou příklady situací, které lze demonstrovat pomocí kvadratického grafu. Kvadratický graf pak lze použít ke zjištění maximálních nebo minimálních bodů, kterých míč nebo člověk dosáhl.

Co jsou to exponenciální grafy?

Toto je zobrazení exponenciálního grafu

Jak algebraické, tak transcendentní rovnice lze často řešit ručně pomocí kalkulačky, když se však tyto dvě rovnice, algebraická a transcendentní, objeví společně, jejich ruční řešení se stává velmi obtížným nebo dokonce nemožným. Proto k řešení těchto dvou rovnic společně použijeme exponenciální graf a vyřešíme je graficky.

Nejjednodušší exponenciální funkce je f(x) = ax, a>0, a≠1. V této funkci je základ a vždy větší než 0, protože pokud by byl základ menší než 0, mohlo by nám to dát nereálné číslo.

Pokud by základem byla 1, pak by vždy vracela 1 bez ohledu na svůj exponent a ukázalo by se, že je to velmi nudná funkce. Právě z těchto důvodů jsou na exponenciální funkci kladena určitá omezení.

Graf exponenciální funkce vykazuje různé vlastnosti v závislosti na tom, zda je základ větší než 1 nebo menší než 1, ale větší než 0. Pokud bude základ větší než 1, bude vykazovat následující vlastnosti: obor bude tvořen pouze reálnými čísly, rozsah bude y>0, graf bude neustále narůstat, graf bude spojitý a bude hladký.

Exponenciální graf vykazuje podobné vlastnosti, pokud je základ menší než 1, ale větší než 0. Jedinou změnou v jeho vlastnostech je, že graf bude klesající. Exponenciální grafy se používají k znázornění dat získaných pomocí exponenciálních funkcí. O typech dat a použití exponenciálních funkcí bylo pojednáno již dříve.

Rozdíl mezi exponenciální a kvadratickou funkcí (obsah zde použijte jako tabulku)

Nyní, když jsme si osvojili dobré znalosti kvadratické a exponenciální funkce, probereme rozdíly mezi těmito dvěma velmi důležitými funkcemi.

Kvadratická funkce vs. exponenciální funkce

Závěr

Krátké vysvětlení, abyste plně pochopili rozdíl mezi těmito dvěma způsoby.

Shrneme-li to, kvadratická a exponenciální funkce se od sebe liší svým použitím a pojetím. Exponenciální funkce udává spojitý růst, zatímco kvadratická funkce udává jak růst, tak pokles, při němž veličina končí na úrovni svého počátku nebo počátku grafu.

V závěru tohoto článku jsou uvedeny hlavní rysy obou funkcí a také jejich rozdíly. Obě tyto funkce mají nesmírný význam v oblasti matematiky a uplatňují se v různých oblastech, jako je věda, obchod a také náš každodenní život. Proto bych vám doporučil, abyste tyto dvě funkce do hloubky pochopili a ovládali.

Doufejme, že po přečtení tohoto článku budete mít jasnou představu o tom, jak se tyto dvě úlohy řeší, o jejich rozdílech, grafech a mnoha dalších věcech. Článek týkající se matematiky by se mohl zdát nudný, ale po jeho přečtení byste si uvědomili, že i matematika může být zajímavá, pokud je podána správným způsobem.

Další články