Μπορεί να έχετε μελετήσει τις τετραγωνικές και τις εκθετικές συναρτήσεις ως μέρος της διδακτέας ύλης στην 9η ή 11η τάξη. Ωστόσο, η μελέτη αυτών των συναρτήσεων ως μέρος της διδακτέας ύλης δεν σας δίνει απαραίτητα σαφή κατανόηση της διαφοράς μεταξύ των δύο.

Στο πλαίσιο της διδακτέας ύλης, σας ζητείται μόνο να λύνετε εξισώσεις και προβλήματα που σχετίζονται με τα δύο, χωρίς ποτέ να υποθέτετε τις πιθανές διαφορές μεταξύ των δύο και τις εφαρμογές τους.

Έτσι, σε αυτό το άρθρο, σκοπεύω να σας εκπαιδεύσω σχετικά με τη διαφορά μεταξύ των δύο με τη βοήθεια γραφημάτων, εξισώσεων και παραδειγμάτων, έτσι ώστε να μπορείτε να κατανοήσετε τη γνώση εύκολα.

Ας ξεκινήσουμε.

Τι είναι η συνάρτηση στα μαθηματικά;

Μια συνάρτηση στα μαθηματικά ορίζεται καλύτερα ως μια σχέση μεταξύ εισόδων όπου κάθε είσοδος έχει το ίδιο αποτέλεσμα, πράγμα που σημαίνει ότι κάθε είσοδος θα επιστρέφει την ίδια έξοδο.

Μια συνάρτηση στα μαθηματικά συχνά παρουσιάζεται ή παριστάνεται με το f(x). Για παράδειγμα f(x)=x^2. Αυτή η συνάρτηση θα μας δώσει το τετράγωνο του αριθμού στην παρένθεση, σε αυτή την περίπτωση, τον αριθμό 2.

Θα μας δώσει την ίδια έξοδο ανεξάρτητα από το ποια είναι η είσοδος στη συνάρτηση. Σε αυτή την περίπτωση, θα επιστρέφει πάντα το τετράγωνο του αριθμού στην παρένθεση ως έξοδο.

Υπάρχουν πολυάριθμες συναρτήσεις στα μαθηματικά που χρησιμοποιούνται για την επίτευξη διαφορετικών εργασιών και εφαρμόζονται σε διάφορους τομείς. Ωστόσο, οι συναρτήσεις που θα συζητήσουμε σε αυτό το άρθρο είναι οι τετραγωνικές και οι εκθετικές συναρτήσεις. Θα επικεντρωθούμε κυρίως στην ανάδειξη της διαφοράς μεταξύ αυτών των δύο συναρτήσεων.

Τι είναι η τετραγωνική συνάρτηση;

Η τετραγωνική συνάρτηση είναι μια πολυωνυμική συνάρτηση και είναι οποιαδήποτε μορφή της εξίσωσης ax^2+bx+c. Ονομάζεται επίσης πολυώνυμο 2ου βαθμού επειδή ο μέγιστος εκθέτης μπορεί να είναι 2.

Ο τετραγωνικός τύπος χρησιμοποιείται σε διάφορους τομείς της επιστήμης, όπως η μηχανική. Αναπαρίσταται γραφικά μέσω μιας παραβολής.

Αυτή η παραβολή χρησιμοποιείται για διάφορες δραστηριότητες στην καθημερινή μας ζωή, όπως η ρίψη μιας μπάλας ή το χτύπημα μιας μπάλας του γκολφ. Οι τετραγωνικές εξισώσεις χρησιμοποιούνται επίσης για την εύρεση των μεταβλητών που λείπουν σε μετρήσεις και για την εύρεση της ταχύτητας οποιουδήποτε αντικειμένου και τον υπολογισμό του κέρδους οποιουδήποτε αντικειμένου ή προϊόντος στον τομέα του εμπορίου.

Να ένα παράδειγμα τετραγωνικής εξίσωσης: 3x^2+5x+9 α:3 β:5 γ:9

Αυτό είναι ένα παράδειγμα τετραγωνικής συνάρτησης στην τυπική της μορφή. Ο τύπος που χρησιμοποιείται για την επίλυση τέτοιων εξισώσεων είναι γνωστός ως τετραγωνικός τύπος, ο οποίος είναι ο εξής: (-b±√(b²-4ac))/(2a).

Τι είναι μια εκθετική συνάρτηση;

Μια εκθετική συνάρτηση στα μαθηματικά είναι μια συνάρτηση που έχει τη μορφή f(x)=a^x όπου a είναι η βάση, είναι μια σταθερά και πρέπει να είναι πάντα μεγαλύτερη από 0. Συμβολίζεται με f(x)=\exp ή e^{x}.

Η πιο ευρέως χρησιμοποιούμενη εκθετική βάση είναι η βάση e η οποία ονομάζεται φυσικός λογάριθμος. Χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό του ρυθμού ανάπτυξης διαφόρων πραγμάτων, όπως ο πληθυσμός και τα βακτήρια. Η εκθετική συνάρτηση είναι αναμφισβήτητα η πιο σημαντική συνάρτηση στα μαθηματικά.

Είναι πολύ σημαντικό επειδή χρησιμοποιείται σε διάφορους τομείς όπως:

• Επιστήμη
• Εμπόριο.

Για παράδειγμα, το επιτόκιο των χρημάτων που καταθέτετε σε μια τράπεζα αυξάνεται εκθετικά, πράγμα που σημαίνει ότι ακολουθεί μια εκθετική καμπύλη και, συνεπώς, μπορεί να υπολογιστεί με τη χρήση εκθετικών συναρτήσεων.

Επιπλέον, η αύξηση του χρέους αυξάνεται επίσης εκθετικά και ακολουθεί μια εκθετική καμπύλη, οπότε, χρησιμοποιώντας εκθετικές συναρτήσεις, μπορείτε να σταματήσετε την αύξηση του χρέους σας και να έχετε μεγαλύτερο έλεγχο των οικονομικών σας.

Στη βιολογία, χρησιμοποιείται για την εκτίμηση της αύξησης του πληθυσμού μιας συγκεκριμένης περιοχής για μια συγκεκριμένη περίοδο.

Η ραδιενέργεια, όπως η διάσπαση του ουρανίου, ακολουθεί επίσης εκθετική αύξηση. Συνεπώς, πρόκειται για μια άλλη εφαρμογή της εκθετικής συνάρτησης.

Στη φυσική, όλα τα κύματα, όπως τα sin, cos, τα ηχητικά κύματα και πολλά άλλα κύματα μπορούν επίσης να γραφούν σε όρους εκθετικών συναρτήσεων, οπότε αυτή η συνάρτηση βοηθά τους φυσικούς να ερευνήσουν αυτά τα κύματα.

Τι είναι ένα τετραγωνικό γράφημα;

Αυτή είναι η αναπαράσταση μιας τετραγωνικής γραφικής παράστασης

Η γραφική παράσταση μιας τετραγωνικής συνάρτησης είναι μια παραβολή σε σχήμα U, όπως φαίνεται στην παραπάνω εικόνα. Αυτή η παραβολή μπορεί είτε να ανοίξει προς τα πάνω όπως ένα χαμόγελο είτε να ανοίξει προς τα κάτω όπως ένα συνοφρύωμα. Ο τρόπος με τον οποίο ανοίγει η παραβολή εξαρτάται από τον συντελεστή: "α" στην εξίσωση ax^2+bx+c. Αν ο συντελεστής είναι α>0 τότε η παραβολή ανοίγει προς τα πάνω και αν ο συντελεστής είναι α<0 τότε η παραβολή ανοίγει προς τα κάτω.

• Το υψηλότερο ή χαμηλότερο σημείο μιας παραβολής ονομάζεται κορυφή.
• Το σημείο που αντιπροσωπεύει η κορυφή, αν είναι μέγιστο ή ελάχιστο, εξαρτάται από τον τρόπο με τον οποίο ανοίγει η παραβολή.

Αν ανοίγει προς τα πάνω τότε η κορυφή αντιπροσωπεύει το ελάχιστο σημείο της γραφικής παράστασης και αν ανοίγει προς τα κάτω τότε η κορυφή αντιπροσωπεύει το μέγιστο σημείο της τετραγωνικής γραφικής παράστασης. Ένα άλλο χαρακτηριστικό των παραβολών είναι η γραμμή συμμετρίας, η οποία είναι μια κάθετη γραμμή που διέρχεται από την κορυφή και χρησιμοποιείται για να χωρίσει την παραβολή σε 2 ίσα και πανομοιότυπα μισά.

Μπορεί να προκύψει χρησιμοποιώντας τον ακόλουθο τύπο: y=a(x-h)2+k. Η τετραγωνική γραφική παράσταση έχει μια y-κορυφή που είναι το σημείο όπου η παραβολή τέμνει τον άξονα y. Αυτή η y-κορυφή έχει μόνο μία τιμή που σημαίνει ότι η παραβολή τέμνει τον άξονα y μόνο μία φορά. Η x-κορυφή είναι το σημείο όπου η παραβολή τέμνει ή διασταυρώνεται με τον άξονα x.

Ο αριθμός των τομών μπορεί να είναι 0, 1 ή 2. Ο μέγιστος αριθμός τομών είναι 2, επειδή μια τετραγωνική εξίσωση μπορεί να έχει μόνο μέχρι 2 λύσεις ή 2 ρίζες. Το τετραγωνικό γράφημα είναι ένας τρόπος επίλυσης τετραγωνικών εξισώσεων. Ονομάζεται γραφική μέθοδος επίλυσης τετραγωνικών εξισώσεων.

Η τετραγωνική γραφική παράσταση χρησιμοποιείται σε πολλούς τομείς της καθημερινής μας ζωής κυρίως στον αθλητισμό. Η ρίψη μιας μπάλας ή το άλμα από μια ψηλή πλατφόρμα, είναι παραδείγματα καταστάσεων που θα μπορούσαν να καταδειχθούν με μια τετραγωνική γραφική παράσταση. Η τετραγωνική γραφική παράσταση θα μπορούσε στη συνέχεια να χρησιμοποιηθεί για να βρεθούν τα μέγιστα ή ελάχιστα σημεία στα οποία έφτασε η μπάλα ή το άτομο.

Τι είναι τα εκθετικά γραφήματα;

Αυτή είναι η αναπαράσταση ενός εκθετικού γραφήματος

Τόσο οι αλγεβρικές όσο και οι υπερβατικές εξισώσεις μπορούν συχνά να λυθούν με το χέρι με τη βοήθεια αριθμομηχανής, Ωστόσο, όταν αυτές οι δύο εξισώσεις, αλγεβρική και υπερβατική, εμφανίζονται μαζί, η επίλυσή τους με το χέρι γίνεται πολύ δύσκολη ή και αδύνατη. Επομένως, για να λύσουμε αυτές τις δύο εξισώσεις μαζί, χρησιμοποιούμε την εκθετική γραφική παράσταση και την επιλύουμε γραφικά.

Η απλούστερη εκθετική συνάρτηση είναι η f(x) = ax, a>0, a≠1. Σε αυτή τη συνάρτηση, η βάση a διατηρείται πάντα μεγαλύτερη από το 0, διότι αν η βάση είναι οτιδήποτε μικρότερο από το 0, τότε θα μπορούσε να μας δώσει έναν εξωπραγματικό αριθμό.

Αν η βάση είναι 1, τότε θα επιστρέφει πάντα 1 ανεξάρτητα από τον εκθέτη της και θα αποδειχθεί μια πολύ βαρετή συνάρτηση. Για τους λόγους αυτούς τίθενται ορισμένοι περιορισμοί στην εκθετική συνάρτηση.

Η γραφική παράσταση μιας εκθετικής συνάρτησης εμφανίζει διαφορετικές ιδιότητες ανάλογα με το αν η βάση είναι μεγαλύτερη από 1 ή μικρότερη από 1 αλλά μεγαλύτερη από 0. Θα εμφανίζει τις ακόλουθες ιδιότητες όταν η βάση θα είναι μεγαλύτερη από 1. Το πεδίο θα αποτελείται μόνο από πραγματικούς αριθμούς, το εύρος θα είναι y>0, η γραφική παράσταση θα αυξάνεται συνεχώς, η γραφική παράσταση θα είναι συνεχής και θα είναι ομαλή.

Η εκθετική γραφική παράσταση παρουσιάζει παρόμοιες ιδιότητες όταν η βάση είναι μικρότερη από 1 αλλά μεγαλύτερη από 0. Η μόνη αλλαγή στις ιδιότητές της είναι ότι η γραφική παράσταση θα είναι φθίνουσα. Οι εκθετικές γραφικές παραστάσεις χρησιμοποιούνται για την αναπαράσταση των δεδομένων που λαμβάνονται μέσω των εκθετικών συναρτήσεων. Οι τύποι δεδομένων και η εφαρμογή των εκθετικών συναρτήσεων έχουν συζητηθεί προηγουμένως.

Διαφορά μεταξύ εκθετικών και τετραγωνικών συναρτήσεων (Χρησιμοποιήστε το περιεχόμενο εδώ ως πίνακα)

Τώρα που έχει αναπτυχθεί μια καλή κατανόηση των τετραγωνικών και εκθετικών συναρτήσεων, θα συζητήσουμε τις διαφορές μεταξύ των δύο αυτών πολύ σημαντικών συναρτήσεων.

Τετραγωνική συνάρτηση vs. Εκθετική συνάρτηση

Συμπέρασμα

Μια σύντομη εξήγηση για να κατανοήσετε πλήρως τη διαφορά μεταξύ των δύο

Συνοψίζοντας, οι τετραγωνικές συναρτήσεις και οι εκθετικές συναρτήσεις διαφέρουν μεταξύ τους ως προς την εφαρμογή και την έννοιά τους. Μια εκθετική συνάρτηση υποδηλώνει συνεχή αύξηση, ενώ μια τετραγωνική συνάρτηση υποδηλώνει τόσο αύξηση όσο και μείωση, κατά την οποία η ποσότητα καταλήγει στο επίπεδο της αρχής της ή στην αρχή της γραφικής παράστασης.

Αυτό το άρθρο ολοκληρώνεται με τα κύρια χαρακτηριστικά και των δύο συναρτήσεων καθώς και τις διαφορές τους. Και οι δύο αυτές συναρτήσεις έχουν τεράστια σημασία στον τομέα των μαθηματικών και εφαρμόζονται σε διάφορους τομείς, όπως η επιστήμη, το εμπόριο και η καθημερινή μας ζωή. Ως εκ τούτου, θα σας ενθάρρυνα να αναπτύξετε μια βαθιά κατανόηση και γνώση αυτών των δύο συναρτήσεων.

Ελπίζουμε ότι, μετά την ανάγνωση αυτού του άρθρου, θα έχετε μια σαφή κατανόηση του τρόπου επίλυσης αυτών των δύο, των διαφορών τους, των γραφικών παραστάσεων και πολλών άλλων. Ένα άρθρο που σχετίζεται με τα μαθηματικά μπορεί να φαίνεται βαρετό, αλλά μετά την ανάγνωση αυτού του άρθρου θα έχετε συνειδητοποιήσει ότι ακόμη και τα μαθηματικά μπορούν να είναι ενδιαφέροντα αν παραδίδονται με τον σωστό τρόπο.

Άλλα άρθρα