तपाईंले 9 वा 11 कक्षामा आफ्नो पाठ्यक्रमको भागको रूपमा द्विघात र घातीय प्रकार्यहरू अध्ययन गर्नुभएको हुन सक्छ। यद्यपि, तपाइँको पाठ्यक्रमको भागको रूपमा यी प्रकार्यहरू अध्ययन गर्नाले तपाइँलाई दुई बीचको भिन्नताको स्पष्ट बुझाइ दिनु आवश्यक छैन।

तपाईँको पाठ्यक्रमको भागको रूपमा, तपाइँले दुई र तिनीहरूका अनुप्रयोगहरू बीचको सम्भावित भिन्नताहरूको बारेमा कहिल्यै अनुमान नगरीकन दुईसँग सम्बन्धित समीकरण र समस्याहरू समाधान गर्न आवश्यक छ।

यसैले यस लेखमा, म तपाईंलाई ग्राफ, समीकरण र उदाहरणहरूको मद्दतले यी दुई बीचको भिन्नतामा शिक्षित गराउने लक्ष्य राखेको छु ताकि तपाईंले ज्ञानलाई सजिलैसँग बुझ्न सक्नुहुन्छ।

सुरु गरौं।

गणितमा कार्य के हो?

गणितमा एउटा प्रकार्यलाई इनपुटहरू बीचको सम्बन्धको रूपमा परिभाषित गरिन्छ जहाँ प्रत्येक इनपुटले समान परिणाम दिन्छ जसको मतलब प्रत्येक इनपुटले उही आउटपुट फर्काउँछ।

गणित मा एक प्रकार्य अक्सर f(x) द्वारा देखाइन्छ वा प्रतिनिधित्व गर्दछ। उदाहरणका लागि f(x)=x^2। यो प्रकार्यले हामीलाई कोष्ठकमा रहेको संख्याको वर्ग दिनेछ, यस अवस्थामा, संख्या 2।

यसले हामीलाई फंक्शनमा इनपुट जस्तोसुकै भए पनि समान आउटपुट दिनेछ। यस अवस्थामा, यसले सँधै कोष्ठकमा रहेको संख्याको वर्गलाई आउटपुटको रूपमा फर्काउँछ।

गणितमा धेरै प्रकार्यहरू छन् जुन विभिन्न कार्यहरू पूरा गर्न प्रयोग गरिन्छ र तिनीहरूलाई विभिन्न क्षेत्रमा लागू गरिन्छ। यद्यपि, कार्यहरू जुन हामी छलफल गर्न जाँदैछौंयस लेखमा द्विघात र घातीय प्रकार्यहरू छन्। हामी मुख्यतया यी दुई प्रकार्यहरू बीचको भिन्नतालाई हाइलाइट गर्नमा ध्यान केन्द्रित गर्नेछौं।

द्विघात प्रकार्य के हो?

एक द्विघात प्रकार्य एक बहुपद प्रकार्य हो र यो समीकरण ax^2+bx+c को कुनै पनि रूप हो। यसलाई डिग्री 2 को बहुपद पनि भनिन्छ किनभने अधिकतम घातांक 2 हुन सक्छ।

क्वाड्राटिक सूत्र विज्ञानका विभिन्न क्षेत्रहरू जस्तै इन्जिनियरिङमा प्रयोग गरिन्छ। यो ग्राफिक रूपमा एक प्याराबोला मार्फत प्रतिनिधित्व गरिन्छ।

यो प्याराबोला हाम्रो दैनिक जीवनमा विभिन्न गतिविधिहरू जस्तै बल फ्याँक्ने वा गल्फ बलमा हिर्काउन प्रयोग गरिन्छ। मापनमा छुटेका चरहरू फेला पार्न र कुनै वस्तुको वेग पत्ता लगाउन र वाणिज्यको क्षेत्रमा कुनै पनि वस्तु वा उत्पादनको नाफा गणना गर्न पनि द्विघात समीकरणहरू प्रयोग गरिन्छ।

यहाँ द्विघात समीकरणको उदाहरण छ: 3x^ 2+5x+9 a:3 b:5 c:9

यो यसको मानक फारममा quadratic function को उदाहरण हो। त्यस्ता समीकरणहरू समाधान गर्न प्रयोग गरिने सूत्रलाई द्विघात सूत्र भनिन्छ, जुन निम्न हो: (-b±√(b²-4ac))/(2a)।

घातीय प्रकार्य भनेको के हो?

गणितमा एक घातीय प्रकार्य एउटा प्रकार्य हो जुन f(x)=a^x को रूप मा हुन्छ जहाँ a आधार हो, यो एक स्थिर हो र यो सधैं 0 भन्दा ठूलो हुनुपर्छ। यो हो। f(x)=\exp वा e^{x} द्वारा जनाइएको।

सबैभन्दा व्यापक रूपमा प्रयोग हुने घातांक आधार आधार e हो जसलाई प्राकृतिक भनिन्छ।लोगारिदम। यो जनसंख्या र ब्याक्टेरिया जस्ता विभिन्न चीजहरूको वृद्धि दर गणना गर्न प्रयोग गरिन्छ। घातांकीय प्रकार्य गणितको सबैभन्दा महत्त्वपूर्ण कार्य हो।

यो धेरै महत्त्वपूर्ण छ किनभने यो विभिन्न क्षेत्रहरूमा प्रयोग गरिन्छ जस्तै:

• विज्ञान
• वाणिज्य।

उदाहरणका लागि, तपाईंले बैंकमा जम्मा गरेको पैसाको ब्याज दर घातीय रूपमा बढ्छ जसको मतलब यसले घातीय कर्भलाई पछ्याउँछ, त्यसैले यसलाई घातीय प्रकार्यहरू प्रयोग गरेर गणना गर्न सकिन्छ।

यसबाहेक, ऋणको बृद्धि पनि घातीय रूपमा बढ्छ र घातीय वक्रलाई पछ्याउँछ, त्यसैले, घातीय प्रकार्यहरू प्रयोग गरेर तपाईंले आफ्नो ऋणलाई बढ्नबाट रोक्न सक्नुहुन्छ र आफ्नो वित्तमा बढी नियन्त्रण गर्न सक्नुहुन्छ।

जीवविज्ञानमा, यो निश्चित अवधिमा एक निश्चित क्षेत्रको जनसंख्या वृद्धि अनुमान गर्न प्रयोग गरिन्छ।

युरेनियमको क्षय जस्ता रेडियोक्रियात्मकताले पनि घातीय वृद्धिलाई पछ्याउँछ। यसरी, यो घातीय प्रकार्यको अर्को अनुप्रयोग हो।

भौतिकशास्त्रमा, सबै तरंगहरू जस्तै सिन, कोस, ध्वनि तरंगहरू, र अन्य धेरै तरंगहरू पनि घातीय प्रकार्यहरूको सन्दर्भमा लेख्न सकिन्छ त्यसैले यो प्रकार्यले भौतिकशास्त्रीहरूलाई यी तरंगहरूको अनुसन्धान गर्न मद्दत गर्दछ।

के एक द्विघात ग्राफ हो?

यो चतुर्भुज ग्राफको प्रतिनिधित्व हो

माथिको चित्रमा देखाइए अनुसार क्वाड्राटिक प्रकार्यको ग्राफ U आकारको प्याराबोला हो। यो प्याराबोला या त मुस्कान जस्तै खोल्न सक्छ वा भ्रूण जस्तै तल खोल्न सक्छ। दपाराबोला खुल्ने तरिका गुणांकमा निर्भर गर्दछ: "a" समीकरण ax^2+bx+c मा। यदि गुणांक a>0 हो भने parabola खुल्छ र यदि गुणांक a<0 हो भने parabola तल खुल्छ।

• प्याराबोलाको उच्चतम वा तल्लो बिन्दुलाई भर्टेक्स भनिन्छ।
• भेर्टेक्सले प्रतिनिधित्व गर्ने बिन्दु, अधिकतम वा न्यूनतम पाराबोला खोल्ने तरिकामा निर्भर गर्दछ।

यदि यो खुल्छ भने, भेर्टेक्सले ग्राफमा न्यूनतम बिन्दु प्रतिनिधित्व गर्दछ र यदि यो तल खुल्छ त्यसपछि vertex ले quadratic ग्राफ मा अधिकतम बिन्दु प्रतिनिधित्व गर्दछ। प्याराबोलाको अर्को विशेषता भनेको सममितिको रेखा हो जुन एक ठाडो रेखा हो जुन भेर्टेक्सबाट गुज्रन्छ र पाराबोलालाई २ बराबर र समान भागहरूमा विभाजन गर्न प्रयोग गरिन्छ।

यो निम्न सूत्र प्रयोग गरेर प्राप्त गर्न सकिन्छ: y =a(x−h)2+k। चतुर्भुज ग्राफमा y-अवरोध हुन्छ जुन बिन्दु हो जहाँ प्याराबोलाले y-अक्षलाई काट्छ। यो y-अवरोधमा एउटा मात्र मान छ जसको अर्थ parabola ले y अक्षलाई एक पटक मात्र काट्छ। x-intercept भनेको त्यो बिन्दु हो जहाँ parabola ले x-axis लाई रोक्छ वा पार गर्दछ।

इंटरसेप्टहरूको संख्या 0, 1, वा 2 हुन सक्छ। अवरोधहरूको अधिकतम संख्या 2 हो किनभने एक द्विघात समीकरण मात्र हुन सक्छ। 2 समाधान वा 2 जरा सम्म छ। द्विघातीय समीकरणहरू समाधान गर्ने एउटा तरिका द्विघात ग्राफ हो। यसलाई द्विघात समीकरणहरू समाधान गर्ने ग्राफिकल विधि भनिन्छ।

क्वाड्राटिक ग्राफमा प्रयोग गरिन्छहाम्रो दैनिक जीवनका धेरै क्षेत्रहरू मुख्यतया खेलकुदमा। बल फ्याँक्नु वा उच्च प्लेटफर्मबाट हाम फाल्ने अवस्थाहरूका उदाहरणहरू हुन् जुन क्वाड्राटिक ग्राफद्वारा देखाउन सकिन्छ। चतुर्भुज ग्राफ त्यसपछि बल वा व्यक्ति पुगेका अधिकतम वा न्यूनतम बिन्दुहरू पत्ता लगाउन प्रयोग गर्न सकिन्छ।

एक्सपोनेन्शियल ग्राफहरू के हुन्?

यो एक घातांक ग्राफको प्रतिनिधित्व हो

दुबै बीजगणितीय र ट्रान्सेन्डेन्टल समीकरणहरू प्रायः क्याल्कुलेटरको मद्दतले हातले हल गर्न सकिन्छ, तर, जब यी दुई समीकरणहरू, बीजगणितीय र ट्रान्सेन्डेन्टलहरू सँगै देखा पर्छन्, तिनीहरूलाई हातले समाधान गर्न धेरै गाह्रो वा असम्भव पनि हुन्छ। त्यसैले यी दुई समीकरणहरू सँगै समाधान गर्नको लागि, हामी घातांक ग्राफ प्रयोग गर्छौं र ग्राफिक रूपमा समाधान गर्छौं।

सरल घातीय प्रकार्य f(x) = ax, a>0, a≠1 हो। यस प्रकार्यमा, आधार a लाई सधैं ० भन्दा ठुलो राखिन्छ किनभने यदि आधार ० भन्दा कम छ भने यसले हामीलाई अवास्तविक संख्या दिन सक्छ।

यदि आधार 1 हो भने यसले सधैं 1 फर्काउनेछ यसको घातांकको ख्याल नगरी यो धेरै बोरिंग प्रकार्य हुन जान्छ। यी कारणहरूले गर्दा घातीय प्रकार्यमा निश्चित प्रतिबन्धहरू राखिएको छ।

एक घातीय प्रकार्यको ग्राफले आधार १ भन्दा ठूलो वा १ भन्दा कम तर ० भन्दा ठूलो छ भन्ने आधारमा विभिन्न गुणहरू देखाउँछ। आधार हुनेछ जब निम्न गुणहरू प्रदर्शन गर्नुहोस्1 भन्दा ठुलो हुनुहोस्। डोमेनमा वास्तविक संख्या मात्र हुनेछ, दायरा y>0 हुनेछ, ग्राफ लगातार बढ्नेछ, ग्राफ निरन्तर हुनेछ र यो सहज हुनेछ।

एक्सपोनेन्सियल ग्राफले समान देखाउँछ। गुणहरू जब आधार 1 भन्दा कम छ तर 0 भन्दा ठूलो छ। यसको गुणहरूमा मात्र परिवर्तन ग्राफ घट्दैछ। एक्सपोनेन्शियल ग्राफहरू घातीय प्रकार्यहरू मार्फत प्राप्त डाटा प्रतिनिधित्व गर्न प्रयोग गरिन्छ। डेटाका प्रकारहरू र घातीय प्रकार्यहरूको प्रयोगको बारेमा पहिले नै छलफल गरिएको छ।

घातीय र द्विघात प्रकार्यहरू बीचको भिन्नता (यहाँ सामग्रीलाई तालिकाको रूपमा प्रयोग गर्नुहोस्)

अब चतुर्घात र घातीय प्रकार्यहरू विकास गरिएको छ हामी यी दुई धेरै महत्त्वपूर्ण प्रकार्यहरू बीचको भिन्नताहरू छलफल गर्नेछौं।

क्वाड्रेटिक फंक्शन बनाम एक्सपोनेन्शियल फंक्शन

निष्कर्ष

दुई बीचको भिन्नतालाई पूर्ण रूपमा बुझ्नको लागि संक्षिप्त व्याख्या

संक्षेपमा भन्नुपर्दा, क्वाड्राटिक प्रकार्यहरू र घातीय प्रकार्यहरू तिनीहरूको प्रयोग र अवधारणामा एकअर्काबाट भिन्न हुन्छन्। एक घातीय प्रकार्यले निरन्तर वृद्धिलाई संकेत गर्दछ जबकि चतुर्भुज प्रकार्यले वृद्धि र कमी दुवैलाई संकेत गर्दछ जसमा मात्रा यसको उत्पत्तिको स्तर वा ग्राफको सुरुमा समाप्त हुन्छ।

यो लेख मुख्य विशेषताहरूसँग समाप्त हुन्छ। दुवै प्रकार्यहरू साथै तिनीहरूको भिन्नताहरू। यी दुबै कार्यहरू गणितको क्षेत्रमा धेरै महत्त्वपूर्ण छन् र विज्ञान, वाणिज्य, र हाम्रो दैनिक जीवन जस्ता विभिन्न क्षेत्रहरूमा लागू हुन्छन्। त्यसकारण, म तपाईंलाई यी दुई कार्यहरूको गहिरो समझ र निपुणता विकास गर्न प्रोत्साहित गर्दछु।

आशा छ, यो लेख पढेपछि, तपाईंले यी दुई कसरी समाधान गरिन्छ, तिनीहरूको भिन्नता, ग्राफहरू बारे स्पष्ट बुझ्नुभएको हुन सक्छ। , र धेरै धेरै। गणितसँग सम्बन्धित लेख बोरिंग लाग्न सक्छ तर यो पढेपछि तपाईलाई हुनेछसही तरिकाले डेलिभर गरिएमा गणित पनि रोचक हुन सक्छ भन्ने महसुस गरेको छ।

अन्य लेखहरू