మీరు 9వ లేదా 11వ తరగతిలో మీ సిలబస్‌లో భాగంగా క్వాడ్రాటిక్ మరియు ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్‌లను అధ్యయనం చేసి ఉండవచ్చు. అయితే, మీ సిలబస్‌లో భాగంగా ఈ ఫంక్షన్‌లను అధ్యయనం చేయడం వల్ల రెండింటి మధ్య వ్యత్యాసం గురించి మీకు స్పష్టమైన అవగాహన అవసరం లేదు.

మీ సిలబస్‌లో భాగంగా, మీరు రెండింటికి మరియు వాటి అప్లికేషన్‌ల మధ్య సాధ్యమయ్యే వ్యత్యాసాల గురించి ఊహాగానాలు చేయకుండా రెండింటికి సంబంధించిన సమీకరణాలు మరియు సమస్యలను మాత్రమే పరిష్కరించాలి.

కాబట్టి ఈ ఆర్టికల్‌లో, గ్రాఫ్‌లు, సమీకరణాలు మరియు ఉదాహరణల సహాయంతో రెండింటి మధ్య వ్యత్యాసాన్ని మీకు తెలియజేయాలని నేను లక్ష్యంగా పెట్టుకున్నాను, తద్వారా మీరు జ్ఞానాన్ని సులభంగా గ్రహించగలరు.

ప్రారంభిద్దాం.

గణితంలో ఫంక్షన్ అంటే ఏమిటి?

గణితంలో ఒక ఫంక్షన్ ఇన్‌పుట్‌ల మధ్య సంబంధంగా ఉత్తమంగా నిర్వచించబడుతుంది, ఇక్కడ ప్రతి ఇన్‌పుట్ ఒకే ఫలితాన్ని కలిగి ఉంటుంది అంటే ప్రతి ఇన్‌పుట్ అదే అవుట్‌పుట్‌ను అందిస్తుంది.

గణితంలో ఒక ఫంక్షన్ తరచుగా f(x) ద్వారా చూపబడుతుంది లేదా సూచించబడుతుంది. ఉదాహరణకు f(x)=x^2. ఈ ఫంక్షన్ బ్రాకెట్‌లోని సంఖ్య యొక్క వర్గాన్ని ఇస్తుంది, ఈ సందర్భంలో, సంఖ్య 2.

ఇది ఫంక్షన్‌లోని ఇన్‌పుట్ ఏమైనప్పటికీ అదే అవుట్‌పుట్‌ను ఇస్తుంది. ఈ సందర్భంలో, ఇది ఎల్లప్పుడూ బ్రాకెట్‌లోని సంఖ్య యొక్క వర్గాన్ని అవుట్‌పుట్‌గా చూపుతుంది.

గణితంలో అనేక విధులు ఉన్నాయి, ఇవి విభిన్న పనులను పూర్తి చేయడానికి ఉపయోగించబడతాయి మరియు అవి వివిధ ప్రాంతాలలో వర్తించబడతాయి. అయితే, మేము చర్చించబోయే విధులుఈ వ్యాసంలో క్వాడ్రాటిక్ మరియు ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్‌లు ఉన్నాయి. మేము ప్రధానంగా ఈ రెండు ఫంక్షన్ల మధ్య వ్యత్యాసాన్ని హైలైట్ చేయడంపై దృష్టి పెడతాము.

క్వాడ్రాటిక్ ఫంక్షన్ అంటే ఏమిటి?

ఒక క్వాడ్రాటిక్ ఫంక్షన్ అనేది బహుపది ఫంక్షన్ మరియు ఇది ax^2+bx+c సమీకరణం యొక్క ఏదైనా రూపం. దీనిని డిగ్రీ 2 యొక్క బహుపది అని కూడా పిలుస్తారు, ఎందుకంటే గరిష్ట ఘాతాంకం 2 కావచ్చు.

చతురస్రాకార సూత్రం ఇంజనీరింగ్ వంటి సైన్స్‌లోని వివిధ రంగాలలో ఉపయోగించబడుతుంది. ఇది గ్రాఫికల్‌గా పారాబొలా ద్వారా సూచించబడుతుంది.

ఈ పారాబొలా మన రోజువారీ జీవితంలో బంతిని విసరడం లేదా గోల్ఫ్ బంతిని కొట్టడం వంటి విభిన్న కార్యకలాపాలకు ఉపయోగించబడుతుంది. కొలతలలో తప్పిపోయిన వేరియబుల్‌లను కనుగొనడానికి మరియు ఏదైనా వస్తువు యొక్క వేగాన్ని కనుగొనడానికి మరియు వాణిజ్య రంగంలో ఏదైనా వస్తువు లేదా ఉత్పత్తి యొక్క లాభాన్ని గణించడానికి కూడా చతుర్భుజ సమీకరణాలు ఉపయోగించబడతాయి.

చతురస్రాకార సమీకరణానికి ఇక్కడ ఒక ఉదాహరణ ఉంది: 3x^ 2+5x+9 a:3 b:5 c:9

ఇది క్వాడ్రాటిక్ ఫంక్షన్‌కి దాని ప్రామాణిక రూపంలో ఉదాహరణ. అటువంటి సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి ఉపయోగించే సూత్రాన్ని క్వాడ్రాటిక్ ఫార్ములా అంటారు, ఇది క్రింది విధంగా ఉంటుంది: (-b±√(b²-4ac))/(2a).

ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్ అంటే ఏమిటి?

గణితంలో ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్ అనేది f(x)=a^x రూపంలో ఉండే ఫంక్షన్, ఇక్కడ a ఆధారం, ఇది స్థిరం మరియు ఇది ఎల్లప్పుడూ 0 కంటే ఎక్కువగా ఉండాలి. ఇది f(x)=\exp లేదా e^{x} ద్వారా సూచించబడుతుంది.

అత్యంత విస్తృతంగా ఉపయోగించే ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ బేస్ బేస్ ఇ, దీనిని సహజంగా పిలుస్తారుసంవర్గమానం. జనాభా మరియు బ్యాక్టీరియా వంటి వివిధ విషయాల వృద్ధి రేటును లెక్కించడానికి ఇది ఉపయోగించబడుతుంది. గణితంలో ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్ నిస్సందేహంగా అత్యంత ముఖ్యమైన ఫంక్షన్.

ఇది చాలా ముఖ్యమైనది ఎందుకంటే ఇది చాలా ముఖ్యమైనది:

• సైన్స్
• కామర్స్.

ఉదాహరణకు, మీరు బ్యాంక్‌లో డిపాజిట్ చేసే డబ్బుపై వడ్డీ రేటు విపరీతంగా పెరుగుతుంది అంటే అది ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ కర్వ్‌ను అనుసరిస్తుంది కాబట్టి, దాన్ని ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్‌లను ఉపయోగించి లెక్కించవచ్చు.

అంతేకాకుండా, రుణ వృద్ధి కూడా విపరీతంగా పెరుగుతుంది మరియు ఘాతాంక వక్రరేఖను అనుసరిస్తుంది, కాబట్టి, ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్‌లను ఉపయోగించడం ద్వారా మీరు మీ రుణాన్ని పెరగకుండా ఆపవచ్చు మరియు మీ ఫైనాన్స్‌పై ఎక్కువ నియంత్రణను కలిగి ఉంటారు.

జీవశాస్త్రంలో, ఇది నిర్దిష్ట వ్యవధిలో నిర్దిష్ట ప్రాంతంలో జనాభా పెరుగుదలను అంచనా వేయడానికి ఉపయోగించబడుతుంది.

యురేనియం క్షయం వంటి రేడియోధార్మికత కూడా ఘాతాంక పెరుగుదలను అనుసరిస్తుంది. అందువలన, ఇది ఘాతాంక ఫంక్షన్ యొక్క మరొక అప్లికేషన్.

భౌతిక శాస్త్రంలో, సిన్, కాస్, సౌండ్ వేవ్‌లు మరియు అనేక ఇతర తరంగాలు వంటి అన్ని తరంగాలను ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్‌ల పరంగా కూడా వ్రాయవచ్చు కాబట్టి ఈ ఫంక్షన్ భౌతిక శాస్త్రవేత్తలకు ఈ తరంగాలను పరిశోధించడానికి సహాయపడుతుంది.

ఏమిటి ఒక క్వాడ్రాటిక్ గ్రాఫ్?

ఇది క్వాడ్రాటిక్ గ్రాఫ్ యొక్క ప్రాతినిధ్యం

క్వాడ్రాటిక్ ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ అనేది పై చిత్రంలో చూపిన విధంగా U-ఆకారపు పారాబొలా. ఈ పారాబొలా చిరునవ్వులా తెరుచుకోవచ్చు లేదా కనుబొమ్మలాగా క్రిందికి తెరవవచ్చు. దిపారాబొలా తెరుచుకునే విధానం గుణకంపై ఆధారపడి ఉంటుంది: "a" సమీకరణం ax^2+bx+c. గుణకం a>0 అయితే పారాబొలా తెరుచుకుంటుంది మరియు గుణకం a<0 అయితే పారాబొలా క్రిందికి తెరుచుకుంటుంది.

• పరావలయంలోని అత్యధిక లేదా అత్యల్ప బిందువును శీర్షం అంటారు.
• శీర్షం సూచించే బిందువు, గరిష్టంగా లేదా కనిష్టంగా పారాబొలా తెరుచుకునే విధానంపై ఆధారపడి ఉంటుంది.

అది తెరిస్తే, శీర్షం గ్రాఫ్‌లోని కనిష్ట బిందువును సూచిస్తుంది మరియు అది అయితే క్రిందికి తెరుచుకుంటుంది, ఆపై శీర్షం క్వాడ్రాటిక్ గ్రాఫ్‌లోని గరిష్ట బిందువును సూచిస్తుంది. పారాబొలాస్ యొక్క మరొక లక్షణం సమరూప రేఖ, ఇది శీర్షం గుండా వెళుతుంది మరియు పారాబొలాను 2 సమాన మరియు ఒకేలా భాగాలుగా విభజించడానికి ఉపయోగించబడుతుంది.

దీనిని క్రింది సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం ద్వారా పొందవచ్చు: y =a(x−h)2+k. క్వాడ్రాటిక్ గ్రాఫ్‌లో y-ఇంటర్‌సెప్ట్ ఉంది, ఇది పారాబొలా y-యాక్సిస్‌ను కలుస్తుంది. ఈ y-ఇంటర్‌సెప్ట్‌కి ఒక విలువ మాత్రమే ఉంది అంటే పారాబొలా y అక్షాన్ని ఒకసారి మాత్రమే కలుస్తుంది. x-ఇంటర్‌సెప్ట్ అనేది పారాబొలా x-యాక్సిస్‌ను అడ్డగించే లేదా దాటే బిందువు.

అవాంతరాల సంఖ్య 0, 1 లేదా 2 కావచ్చు. అంతరాయాల గరిష్ట సంఖ్య 2 ఎందుకంటే ఒక చతుర్భుజ సమీకరణం మాత్రమే చేయగలదు. 2 పరిష్కారాలు లేదా 2 మూలాలను కలిగి ఉంటాయి. క్వాడ్రాటిక్ గ్రాఫ్ అనేది వర్గ సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి ఒక మార్గం. దీనిని వర్గ సమీకరణాలను పరిష్కరించే గ్రాఫికల్ పద్ధతి అంటారు.

క్వాడ్రాటిక్ గ్రాఫ్ ఇందులో ఉపయోగించబడుతుందిమన దైనందిన జీవితంలోని అనేక రంగాలు ప్రధానంగా క్రీడలలో ఉన్నాయి. బంతిని విసరడం లేదా ఎత్తైన ప్లాట్‌ఫారమ్ నుండి దూకడం, చతుర్భుజ గ్రాఫ్ ద్వారా ప్రదర్శించబడే పరిస్థితుల ఉదాహరణలు. బాల్ లేదా వ్యక్తి చేరుకున్న గరిష్ట లేదా కనిష్ట పాయింట్లను కనుగొనడానికి క్వాడ్రాటిక్ గ్రాఫ్ ఉపయోగించబడుతుంది.

ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ గ్రాఫ్‌లు అంటే ఏమిటి?

ఇది ఘాతాంక గ్రాఫ్ యొక్క ప్రాతినిధ్యం

బీజగణితం మరియు అతీంద్రియ సమీకరణాలు రెండూ తరచుగా కాలిక్యులేటర్ సహాయంతో చేతితో పరిష్కరించబడతాయి, అయితే, ఈ రెండు సమీకరణాలు బీజగణితం మరియు అతీంద్రియమైనవి కలిసి కనిపిస్తాయి, వాటిని చేతితో పరిష్కరించడం చాలా కష్టం లేదా అసాధ్యం కూడా అవుతుంది. అందువల్ల ఈ రెండు సమీకరణాలను కలిపి పరిష్కరించేందుకు, మేము ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ గ్రాఫ్‌ని ఉపయోగిస్తాము మరియు దానిని గ్రాఫికల్‌గా పరిష్కరిస్తాము.

సరళమైన ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్ f(x) = ax, a>0, a≠1. ఈ ఫంక్షన్‌లో, బేస్ a ఎల్లప్పుడూ 0 కంటే ఎక్కువగా ఉంచబడుతుంది ఎందుకంటే ఆధారం 0 కంటే తక్కువగా ఉంటే అది మనకు అవాస్తవ సంఖ్యను ఇస్తుంది.

ఆధారం 1 అయితే, అది ఘాతాంకంతో సంబంధం లేకుండా ఎల్లప్పుడూ 1ని అందిస్తుంది మరియు ఇది చాలా బోరింగ్ ఫంక్షన్‌గా మారుతుంది. ఈ కారణాల వల్ల ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్‌పై కొన్ని పరిమితులు విధించబడ్డాయి.

ఘాతాంక ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ బేస్ 1 కంటే ఎక్కువ లేదా 1 కంటే తక్కువ అయితే 0 కంటే ఎక్కువ అనే దానిపై ఆధారపడి విభిన్న లక్షణాలను ప్రదర్శిస్తుంది. ఆధారం అయినప్పుడు కింది లక్షణాలను ప్రదర్శిస్తుంది1 కంటే పెద్దదిగా ఉంటుంది. డొమైన్ వాస్తవ సంఖ్యలను మాత్రమే కలిగి ఉంటుంది, పరిధి y>0 అవుతుంది, గ్రాఫ్ నిరంతరం పెరుగుతుంది, గ్రాఫ్ నిరంతరంగా ఉంటుంది మరియు ఇది సున్నితంగా ఉంటుంది.

ఘాతాంక గ్రాఫ్ ఇలాంటిదే చూపుతుంది ఆధారం 1 కంటే తక్కువ అయితే 0 కంటే పెద్దది అయినప్పుడు లక్షణాలు. దాని లక్షణాలలో మార్పు ఏమిటంటే గ్రాఫ్ తగ్గుతుంది. ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్‌ల ద్వారా పొందిన డేటాను సూచించడానికి ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ గ్రాఫ్‌లు ఉపయోగించబడతాయి. డేటా రకాలు మరియు ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్‌ల అప్లికేషన్ గతంలో చర్చించబడ్డాయి.

ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ మరియు క్వాడ్రాటిక్ ఫంక్షన్‌ల మధ్య వ్యత్యాసం (ఇక్కడ కంటెంట్‌ను టేబుల్‌గా ఉపయోగించండి)

ఇప్పుడు క్వాడ్రాటిక్ మరియు ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్‌లు అభివృద్ధి చేయబడ్డాయి, వీటిలో రెండు చాలా ముఖ్యమైన ఫంక్షన్‌ల మధ్య తేడాలను మేము చర్చిస్తాము.

క్వాడ్రాటిక్ ఫంక్షన్ vs. ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్

ముగింపు

రెండింటి మధ్య వ్యత్యాసాన్ని పూర్తిగా అర్థం చేసుకోవడానికి సంక్షిప్త వివరణ

మొత్తానికి, క్వాడ్రాటిక్ ఫంక్షన్‌లు మరియు ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్‌లు వాటి అప్లికేషన్ మరియు వాటి భావనలో ఒకదానికొకటి భిన్నంగా ఉంటాయి. ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్ నిరంతర పెరుగుదలను సూచిస్తుంది, అయితే క్వాడ్రాటిక్ ఫంక్షన్ పెరుగుదల మరియు తగ్గుదల రెండింటినీ సూచిస్తుంది, దీనిలో పరిమాణం దాని మూలం స్థాయి లేదా గ్రాఫ్ ప్రారంభంలో ముగుస్తుంది.

ఈ కథనం యొక్క ప్రధాన లక్షణాలతో ముగుస్తుంది. రెండు విధులు అలాగే వాటి తేడాలు. ఈ రెండు విధులు గణిత రంగంలో అపారమైన ప్రాముఖ్యతను కలిగి ఉన్నాయి మరియు సైన్స్, వాణిజ్యం మరియు మన దైనందిన జీవితాలు వంటి వివిధ రంగాలలో కూడా వర్తించబడతాయి. అందువల్ల, ఈ రెండు విధులపై లోతైన అవగాహన మరియు నైపుణ్యాన్ని పెంపొందించుకోవాలని నేను మిమ్మల్ని ప్రోత్సహిస్తాను.

ఈ కథనాన్ని చదివిన తర్వాత, ఈ రెండూ ఎలా పరిష్కరించబడ్డాయి, వాటి తేడాలు, గ్రాఫ్‌ల గురించి మీకు స్పష్టమైన అవగాహన ఉండవచ్చు. , ఇంకా చాలా ఎక్కువ. గణితానికి సంబంధించిన కథనం బోరింగ్‌గా అనిపించవచ్చు, కానీ ఇది చదివిన తర్వాత మీకు అనిపిస్తుందిసరైన మార్గంలో బట్వాడా చేస్తే గణితం కూడా ఆసక్తికరంగా ఉంటుందని గ్రహించారు.

ఇతర కథనాలు