Sa võisid 9. või 11. klassis õppida kvadratiivseid ja eksponentsiaalseid funktsioone osana oma ainekavast. Nende funktsioonide õppimine osana oma ainekavast ei pruugi siiski anda sulle selget arusaama nende kahe funktsiooni erinevusest.

Õppekava raames tuleb teil ainult lahendada nende kahega seotud võrrandeid ja ülesandeid, ilma et te kunagi spekuleeriksite nende kahe võimalike erinevuste ja nende rakenduste üle.

Nii et selles artiklis on minu eesmärk õpetada teile nende kahe erinevust graafikute, võrrandite ja näidete abil, et saaksite neid teadmisi hõlpsasti mõista.

Alustame.

Mis on funktsioon matemaatikas?

Matemaatikas defineeritakse funktsiooni kõige paremini kui sisendite vahelist seost, kus igal sisendil on sama tulemus, mis tähendab, et iga sisend tagastab sama väljundi.

Matemaatikas näidatakse või esitatakse funktsiooni sageli kujul f(x). Näiteks f(x)=x^2. See funktsioon annab meile sulgudes oleva arvu ruutu, antud juhul arvu 2.

See annab meile sama väljundi, olenemata sellest, milline on funktsiooni sisend. Sel juhul tagastab see väljundina alati sulgudes oleva arvu ruutu.

Matemaatikas on arvukalt funktsioone, mida kasutatakse erinevate ülesannete täitmiseks ja mida rakendatakse erinevates valdkondades. Kuid funktsioonid, mida me käesolevas artiklis käsitleme, on kvadraat- ja eksponentsiaalfunktsioonid. Me keskendume peamiselt nende kahe funktsiooni erinevuse väljatoomisele.

Mis on kvadratiivne funktsioon?

Kvadraatiline funktsioon on polünoomfunktsioon ja see on mis tahes kujul võrrand ax^2+bx+c. Seda nimetatakse ka 2. astme polünoomiks, sest maksimaalne eksponent võib olla 2.

Kvadraatilist valemit kasutatakse erinevates teadusvaldkondades, näiteks inseneriteaduses. See on graafiliselt kujutatud parabooliga.

Seda parabooli kasutatakse meie igapäevaelus erinevate tegevuste puhul, näiteks palli viskamisel või golfipalli löömisel. Kvadraatilisi võrrandeid kasutatakse ka puuduvate muutujate leidmiseks mõõtmistes ja mis tahes objekti kiiruse väljaselgitamiseks ning mis tahes eseme või toote kasumi arvutamiseks kaubanduse valdkonnas.

Siin on näide kvadraatilise võrrandi kohta: 3x^2+5x+9 a:3 b:5 c:9

See on näide kvadraatilise funktsiooni standardvormi kohta. Valem, mida kasutatakse selliste võrrandite lahendamiseks, on tuntud kui kvadraatiline valem, mis on järgmine: (-b±√(b²-4ac))/(2a).

Mis on eksponentsiaalne funktsioon?

Matemaatikas on eksponentsiaalfunktsioon funktsioon, mis on kujul f(x)=a^x, kus a on alus, see on konstant ja see peab alati olema suurem kui 0. Seda tähistatakse kujul f(x)=\exp või e^{x}.

Kõige laialdasemalt kasutatav eksponentsiaalbaas on baas e, mida nimetatakse loomulikuks logaritmiks. Seda kasutatakse erinevate asjade, näiteks populatsiooni ja bakterite kasvukiiruse arvutamiseks. Eksponentsiaalfunktsioon on vaieldamatult kõige olulisem funktsioon matemaatikas.

See on väga oluline, sest seda kasutatakse erinevates valdkondades, näiteks:

• Teadus
• Kaubandus.

Näiteks pangas hoiustatud raha intressimäär kasvab eksponentsiaalselt, mis tähendab, et see järgib eksponentsiaalset kõverat, seega saab seda arvutada eksponentsiaalfunktsioonide abil.

Lisaks sellele suureneb ka võla kasv eksponentsiaalselt ja järgib eksponentsiaalset kõverat, nii et kasutades eksponentsiaalseid funktsioone saate peatada oma võla suurenemise ja omada suuremat kontrolli oma rahaasjade üle.

Bioloogias kasutatakse seda selleks, et hinnata teatud piirkonna rahvastiku kasvu teatud ajavahemiku jooksul.

Radioaktiivsus, nagu näiteks uraani lagunemine, järgib samuti eksponentsiaalset kasvu. Seega on see veel üks eksponentsiaalfunktsiooni rakendus.

Füüsikas saab kõik lained, nagu sin, cos, helilained ja paljud teised lained, kirjutada ka eksponentsiaalfunktsioonidena, nii et see funktsioon aitab füüsikutel neid laineid uurida.

Mis on kvadraat?

See on kvadraatilise graafiku kujutis.

Kvadraatilise funktsiooni graafik on U-kujuline parabool, nagu on näidatud ülaltoodud pildil. See parabool võib avaneda kas ülespoole nagu naeratus või avaneda allapoole nagu kortsus. Kuidas parabool avaneb, sõltub koefitsiendist: "a" võrrandis ax^2+bx+c. Kui koefitsient on a>0, siis avaneb parabool ülespoole ja kui koefitsient on a<0, siis avaneb parabool allapoole.

• Parabooli kõrgeimat või madalaimat punkti nimetatakse tipuks.
• Punkt, mida tipp tähistab, kas maksimum või miinimum, sõltub sellest, kuidas parabool avaneb.

Kui see avaneb ülespoole, siis esindab tippu minimaalne punkt graafikul ja kui see avaneb alla, siis esindab tippu maksimaalne punkt kvadraatgraafikul. Teine paraboolide omadus on sümmeetriajoon, mis on vertikaalne joon, mis läbib tippu ja mida kasutatakse parabooli jagamiseks kaheks võrdseks ja identseks pooleks.

Selle saab järgmise valemi abil: y=a(x-h)2+k. Kvadraatilisel graafikul on y-lõikepunkt, mis on punkt, kus parabool lõikab y-telge. Sellel y-lõikepunktil on ainult üks väärtus, mis tähendab, et parabool lõikab y-telge ainult üks kord. x-lõikepunkt on punkt, kus parabool lõikab või ristub x-teljega.

Lõikepunktide arv võib olla 0, 1 või 2. Maksimaalne lõikepunktide arv on 2, sest kvadraatilisel võrrandil võib olla ainult kuni 2 lahendust ehk 2 juurt. Kvadraatiline graafik on üks viis kvadraatiliste võrrandite lahendamiseks. Seda nimetatakse kvadraatiliste võrrandite lahendamise graafiliseks meetodiks.

Kvadraatgraafikut kasutatakse paljudes meie igapäevaelu valdkondades, peamiselt spordis. Palli viskamine või kõrgelt platvormilt hüppamine on näited olukordadest, mida võiks näidata kvadraatgraafiku abil. Kvadraatgraafikut võiks seejärel kasutada selleks, et leida maksimaalsed või minimaalsed punktid, milleni pall või inimene jõudis.

Mis on eksponentsiaalgraafikud?

See on eksponentsiaalgraafiku kujutis.

Nii algebralisi kui ka transtsendentaalseid võrrandeid saab sageli lahendada käsitsi, kasutades selleks kalkulaatorit, kuid kui need kaks võrrandit, algebraline ja transtsendentaalne, esinevad koos, muutub nende käsitsi lahendamine väga keeruliseks või isegi võimatuks. Seetõttu kasutame nende kahe võrrandi koos lahendamiseks eksponentsiaalgraafikut ja lahendame selle graafiliselt.

Kõige lihtsam eksponentsiaalfunktsioon on f(x) = ax, a>0, a≠1. Selles funktsioonis hoitakse baas a alati suurem kui 0, sest kui baas oleks midagi väiksemat kui 0, siis võiks see anda meile ebareaalse arvu.

Kui baas oleks 1, siis tagastaks see alati 1, sõltumata eksponendist, ja see osutuks väga igavaks funktsiooniks. Just nendel põhjustel on eksponentsiaalfunktsioonile seatud teatud piirangud.

Eksponentsiaalfunktsiooni graafik näitab erinevaid omadusi sõltuvalt sellest, kas alus on suurem kui 1 või väiksem kui 1, kuid suurem kui 0. See näitab järgmisi omadusi, kui alus on suurem kui 1. Valdkond koosneb ainult reaalarvudest, vahemik on y>0, graafik kasvab pidevalt, graafik on pidev ja see on sujuv.

Eksponentsiaalgraafik näitab sarnaseid omadusi, kui alus on väiksem kui 1, kuid suurem kui 0. Ainus muutus selle omadustes on see, et graafik on kahanev. Eksponentsiaalgraafikuid kasutatakse eksponentsiaalfunktsioonide abil saadud andmete esitamiseks. Andmetüüpe ja eksponentsiaalfunktsioonide rakendamist on eelnevalt käsitletud.

Erinevus eksponentsiaalsete ja ruutfunktsioonide vahel (Kasutage siinset sisu tabelina)

Nüüd, kui kvadraat- ja eksponentsiaalfunktsioonidest on saadud hea arusaam, arutame nende kahe väga olulise funktsiooni erinevusi.

Kvadratiivne funktsioon vs. eksponentsiaalne funktsioon

Kokkuvõte

Lühike selgitus, et täielikult mõista erinevust nende kahe vahel.

Kokkuvõtteks võib öelda, et kvadratiivsed funktsioonid ja eksponentsiaalsed funktsioonid erinevad üksteisest nende rakendamise ja kontseptsiooni poolest. Eksponentsiaalne funktsioon näitab pidevat suurenemist, samas kui kvadratiivne funktsioon näitab nii suurenemist kui ka vähenemist, mille puhul kogus jõuab oma alguspunkti või graafiku alguse tasemele.

Selles artiklis lõpetatakse mõlema funktsiooni põhijooned ja nende erinevused. Mõlemad funktsioonid on matemaatikas tohutult olulised ja neid rakendatakse erinevates valdkondades, näiteks teaduses, kaubanduses ja ka meie igapäevaelus. Seetõttu julgustan teid arendama nende kahe funktsiooni sügavat mõistmist ja valdamist.

Loodetavasti on teil pärast selle artikli lugemist selge arusaam sellest, kuidas need kaks lahendatakse, nende erinevused, graafikud ja palju muud. Matemaatikaga seotud artikkel võib tunduda igav, kuid pärast selle lugemist olete aru saanud, et isegi matemaatika võib olla huvitav, kui seda õigesti esitada.

Muud artiklid