আপনি হয়ত 9ম বা 11ম শ্রেণীতে আপনার সিলেবাসের অংশ হিসাবে দ্বিঘাত এবং সূচকীয় ফাংশনগুলি অধ্যয়ন করেছেন। যাইহোক, আপনার সিলেবাসের অংশ হিসাবে এই ফাংশনগুলি অধ্যয়ন করা অগত্যা আপনাকে দুটির মধ্যে পার্থক্য সম্পর্কে একটি পরিষ্কার বোঝা দেয় না।

আপনার পাঠ্যক্রমের অংশ হিসাবে, আপনাকে দুটি এবং তাদের অ্যাপ্লিকেশনগুলির মধ্যে সম্ভাব্য পার্থক্য সম্পর্কে কখনও অনুমান না করেই দুটির সাথে সম্পর্কিত সমীকরণ এবং সমস্যাগুলি সমাধান করতে হবে৷

সুতরাং এই নিবন্ধে, আমি আপনাকে গ্রাফ, সমীকরণ এবং উদাহরণের সাহায্যে দুটির মধ্যে পার্থক্য সম্পর্কে শিক্ষিত করার লক্ষ্য রাখি যাতে আপনি সহজেই জ্ঞানটি বুঝতে পারেন।

আসুন শুরু করা যাক।

গণিতে ফাংশন কি?

গণিতের একটি ফাংশনকে ইনপুটগুলির মধ্যে একটি সম্পর্ক হিসাবে সর্বোত্তমভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় যেখানে প্রতিটি ইনপুট একই ফলাফল দেয় যার অর্থ প্রতিটি ইনপুট একই আউটপুট প্রদান করবে।

গণিতের একটি ফাংশন প্রায়শই f(x) দ্বারা দেখানো বা উপস্থাপন করা হয়। যেমন f(x)=x^2। এই ফাংশনটি আমাদের ব্র্যাকেটে থাকা সংখ্যার বর্গ দেবে, এই ক্ষেত্রে, সংখ্যা 2।

ফাংশনের ইনপুট যাই হোক না কেন এটি আমাদের একই আউটপুট দেবে। এই ক্ষেত্রে, এটি সর্বদা আউটপুট হিসাবে বন্ধনীতে সংখ্যার বর্গকে ফেরত দেবে।

গণিতের অনেকগুলি ফাংশন রয়েছে যা বিভিন্ন কাজ সম্পাদন করতে ব্যবহৃত হয় এবং সেগুলি বিভিন্ন ক্ষেত্রে প্রয়োগ করা হয়। যাইহোক, আমরা আলোচনা করতে যাচ্ছি যে ফাংশনএই নিবন্ধে দ্বিঘাত এবং সূচকীয় ফাংশন আছে। আমরা প্রধানত এই দুটি ফাংশনের মধ্যে পার্থক্য হাইলাইট করার উপর ফোকাস করব।

একটি দ্বিঘাত ফাংশন কি?

একটি দ্বিঘাত ফাংশন একটি বহুপদী ফাংশন এবং এটি ax^2+bx+c সমীকরণের যেকোনো রূপ। এটিকে ডিগ্রি 2 এর বহুপদীও বলা হয় কারণ সর্বাধিক সূচকটি 2 হতে পারে।

চতুর্ঘাত সূত্রটি বিজ্ঞানের বিভিন্ন ক্ষেত্রে যেমন ইঞ্জিনিয়ারিংয়ে ব্যবহৃত হয়। এটি একটি প্যারাবোলার মাধ্যমে গ্রাফিকভাবে উপস্থাপন করা হয়।

এই প্যারাবোলাটি আমাদের দৈনন্দিন জীবনে বিভিন্ন ক্রিয়াকলাপের জন্য ব্যবহার করা হয় যেমন একটি বল নিক্ষেপ করা বা একটি গল্ফ বল আঘাত করা। পরিমাপের অনুপস্থিত চলকগুলি খুঁজে বের করতে এবং যে কোনও বস্তুর বেগ খুঁজে বের করতে এবং বাণিজ্যের ক্ষেত্রে যে কোনও আইটেম বা পণ্যের লাভ গণনা করতেও দ্বিঘাত সমীকরণ ব্যবহার করা হয়৷

এখানে একটি দ্বিঘাত সমীকরণের উদাহরণ: 3x^ 2+5x+9 a:3 b:5 c:9

এটি তার আদর্শ আকারে একটি দ্বিঘাত ফাংশনের উদাহরণ। এই ধরনের সমীকরণগুলি সমাধান করার জন্য যে সূত্রটি ব্যবহার করা হয় তাকে দ্বিঘাত সূত্র বলা হয়, যা নিম্নরূপ: (-b±√(b²-4ac))/(2a)।

সূচকীয় ফাংশন কী?

গণিতের একটি সূচকীয় ফাংশন হল একটি ফাংশন যা f(x)=a^x আকারে যেখানে a হল বেস, এটি একটি ধ্রুবক এবং এটি সর্বদা 0-এর থেকে বেশি হতে হবে। f(x)=\exp বা e^{x} দ্বারা চিহ্নিত।

সবচেয়ে বহুল ব্যবহৃত সূচকীয় বেস হল বেস e যাকে প্রাকৃতিক বলা হয়লগারিদম এটি জনসংখ্যা এবং ব্যাকটেরিয়ার মতো বিভিন্ন জিনিসের বৃদ্ধির হার গণনা করতে ব্যবহৃত হয়। একটি সূচকীয় ফাংশন যুক্তিযুক্তভাবে গণিতের সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ ফাংশন৷

এটি অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ কারণ এটি বিভিন্ন ক্ষেত্রে ব্যবহৃত হয় যেমন:

• বিজ্ঞান
• বাণিজ্য৷

উদাহরণস্বরূপ, আপনি একটি ব্যাঙ্কে যে অর্থ জমা করেন তার সুদের হার তাত্পর্যপূর্ণভাবে বৃদ্ধি পায় যার অর্থ হল এটি একটি সূচকীয় বক্ররেখা অনুসরণ করে, এটি সূচকীয় ফাংশন ব্যবহার করে গণনা করা যেতে পারে।

এছাড়াও, ঋণের বৃদ্ধিও সূচকীয়ভাবে বৃদ্ধি পায় এবং একটি সূচকীয় বক্ররেখা অনুসরণ করে, তাই, সূচকীয় ফাংশন ব্যবহার করে আপনি আপনার ঋণ বৃদ্ধি হওয়া বন্ধ করতে পারেন এবং আপনার অর্থের উপর আরও বেশি নিয়ন্ত্রণ রাখতে পারেন।

জীববিজ্ঞানে, এটি একটি নির্দিষ্ট সময়ের মধ্যে একটি নির্দিষ্ট এলাকার জনসংখ্যা বৃদ্ধির অনুমান করতে ব্যবহৃত হয়।

তেজস্ক্রিয়তা যেমন ইউরেনিয়ামের ক্ষয়ও সূচকীয় বৃদ্ধি অনুসরণ করে। সুতরাং, এটি সূচকীয় ফাংশনের আরেকটি প্রয়োগ।

পদার্থবিজ্ঞানে, সমস্ত তরঙ্গ যেমন সিন, কস, শব্দ তরঙ্গ এবং অন্যান্য অনেক তরঙ্গকেও সূচকীয় ফাংশনের পরিপ্রেক্ষিতে লেখা যেতে পারে তাই এই ফাংশনটি পদার্থবিদদের এই তরঙ্গগুলি নিয়ে গবেষণা করতে সাহায্য করে৷

কি একটি দ্বিঘাত গ্রাফ?

এটি একটি দ্বিঘাত গ্রাফের একটি উপস্থাপনা

একটি দ্বিঘাত ফাংশনের গ্রাফটি উপরের ছবিতে দেখানো একটি U-আকৃতির প্যারাবোলা। এই প্যারাবোলা হয় হাসির মতো খুলতে পারে বা ভ্রুকুটির মতো নীচের দিকে খুলতে পারে। দ্যপ্যারাবোলা যেভাবে খোলে তা সহগের উপর নির্ভর করে: ax^2+bx+c সমীকরণে "a"। যদি সহগ a>0 হয় তবে প্যারাবোলা খুলে যায় এবং যদি সহগ a<0 হয় তবে প্যারাবোলা নিচে খোলে।

• একটি প্যারাবোলার সর্বোচ্চ বা সর্বনিম্ন বিন্দুকে একটি শীর্ষবিন্দু বলা হয়।
• বিন্দুটি শীর্ষবিন্দু প্রতিনিধিত্ব করে, সর্বোচ্চ বা সর্বনিম্ন কিনা তা নির্ভর করে প্যারাবোলা যেভাবে খোলে তার উপর।

যদি এটি খোলে তাহলে শীর্ষবিন্দুটি গ্রাফের সর্বনিম্ন বিন্দুকে প্রতিনিধিত্ব করে এবং যদি এটি নিচে খোলে তারপর শীর্ষবিন্দুটি দ্বিঘাত গ্রাফের সর্বোচ্চ বিন্দুকে উপস্থাপন করে। প্যারাবোলাগুলির আরেকটি বৈশিষ্ট্য হল প্রতিসাম্যের রেখা যা একটি উল্লম্ব রেখা যা শীর্ষবিন্দুর মধ্য দিয়ে যায় এবং প্যারাবোলাকে 2টি সমান এবং অভিন্ন অংশে বিভক্ত করতে ব্যবহৃত হয়৷

নিম্নলিখিত সূত্রটি ব্যবহার করে এটি পাওয়া যেতে পারে: y =a(x−h)2+k। চতুর্মুখী গ্রাফটিতে একটি y-ইন্টারসেপ্ট রয়েছে যা সেই বিন্দু যেখানে প্যারাবোলাটি y-অক্ষকে ছেদ করে। এই y-ইন্টারসেপ্টের শুধুমাত্র একটি মান আছে যার অর্থ প্যারাবোলা শুধুমাত্র একবার y অক্ষকে ছেদ করে। এক্স-ইন্টারসেপ্ট হল সেই বিন্দু যেখানে প্যারাবোলা এক্স-অক্ষকে বাধা দেয় বা অতিক্রম করে।

ইন্টারসেপ্টের সংখ্যা 0, 1, বা 2 হতে পারে। ইন্টারসেপ্টের সর্বাধিক সংখ্যা 2 কারণ একটি দ্বিঘাত সমীকরণ শুধুমাত্র হতে পারে 2টি পর্যন্ত সমাধান বা 2টি শিকড় আছে। দ্বিঘাত গ্রাফ হল দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধানের একটি উপায়। এটিকে দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধানের গ্রাফিক্যাল পদ্ধতি বলা হয়।

চতুর্মুখী গ্রাফটি এতে ব্যবহৃত হয়আমাদের দৈনন্দিন জীবনের অনেক ক্ষেত্র প্রধানত খেলাধুলায়। একটি বল নিক্ষেপ বা একটি উচ্চ প্ল্যাটফর্ম থেকে লাফানো, এমন পরিস্থিতির উদাহরণ যা একটি চতুর্মুখী গ্রাফ দ্বারা প্রদর্শিত হতে পারে। দ্বিঘাত গ্রাফটি তখন বল বা ব্যক্তি যে সর্বোচ্চ বা সর্বনিম্ন পয়েন্টে পৌঁছেছে তা খুঁজে বের করতে ব্যবহার করা যেতে পারে।

সূচকীয় গ্রাফ কী?

এটি একটি সূচকীয় গ্রাফের একটি উপস্থাপনা

উভয় বীজগাণিতিক এবং ট্রান্সকেন্ডেন্টাল সমীকরণ প্রায়শই একটি ক্যালকুলেটরের সাহায্যে হাত দিয়ে সমাধান করা যায়, তবে, যখন এই দুটি সমীকরণ, বীজগণিত এবং ট্রান্সজেন্ডেন্টাল একসাথে প্রদর্শিত হয়, তাদের হাতে সমাধান করা খুব কঠিন বা এমনকি অসম্ভব হয়ে ওঠে। তাই এই দুটি সমীকরণ একসাথে সমাধান করার জন্য, আমরা সূচকীয় গ্রাফ ব্যবহার করি এবং গ্রাফিকভাবে সমাধান করি।

সরলতম সূচকীয় ফাংশন হল f(x) = ax, a>0, a≠1। এই ফাংশনে, বেস a কে সর্বদা 0 এর চেয়ে বড় রাখা হয় কারণ বেস যদি 0 এর কম কিছু হয় তবে এটি আমাদের একটি অবাস্তব সংখ্যা দিতে পারে।

যদি বেসটি 1 হয় তবে এটির সূচক নির্বিশেষে এটি সর্বদা 1 প্রদান করবে এবং এটি একটি খুব বিরক্তিকর ফাংশন হিসাবে পরিণত হবে। এই কারণগুলির কারণেই সূচকীয় ফাংশনের উপর কিছু সীমাবদ্ধতা রাখা হয়েছে৷

একটি সূচকীয় ফাংশনের গ্রাফ বিভিন্ন বৈশিষ্ট্যগুলি প্রদর্শন করে যা ভিত্তিটি 1-এর চেয়ে বড় বা 1-এর চেয়ে কম কিন্তু 0-এর বেশি তার উপর নির্ভর করে। বেস হবে যখন নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্য প্রদর্শন1 এর থেকে বড় হবে। ডোমেনে শুধুমাত্র বাস্তব সংখ্যা থাকবে, পরিসর হবে y>0, গ্রাফ ক্রমাগত বৃদ্ধি পাবে, গ্রাফটি ক্রমাগত হবে এবং এটি মসৃণ হবে।

সূচক গ্রাফ একই রকম দেখায় বৈশিষ্ট্যগুলি যখন ভিত্তিটি 1-এর চেয়ে কম কিন্তু 0-এর চেয়ে বড়। এর বৈশিষ্ট্যগুলির মধ্যে একমাত্র পরিবর্তন হল গ্রাফটি হ্রাস পাবে। সূচকীয় গ্রাফগুলি সূচকীয় ফাংশনের মাধ্যমে প্রাপ্ত ডেটা উপস্থাপন করতে ব্যবহৃত হয়। ডেটার ধরন এবং সূচকীয় ফাংশনগুলির প্রয়োগ পূর্বে আলোচনা করা হয়েছে৷

সূচকীয় এবং দ্বিঘাত ফাংশনের মধ্যে পার্থক্য (এখানে একটি সারণী হিসাবে বিষয়বস্তু ব্যবহার করুন)

এখন যে দ্বিঘাত এবং সূচকীয় ফাংশনগুলি তৈরি করা হয়েছে আমরা এই দুটি অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ ফাংশনের মধ্যে পার্থক্য নিয়ে আলোচনা করব৷

কোয়াড্রেটিক ফাংশন বনাম সূচকীয় ফাংশন

উপসংহার

দুটির মধ্যে পার্থক্য সম্পূর্ণরূপে বোঝার জন্য একটি সংক্ষিপ্ত ব্যাখ্যা

সংক্ষেপে বলতে গেলে, দ্বিঘাত ফাংশন এবং সূচকীয় ফাংশন তাদের প্রয়োগ এবং ধারণার মধ্যে একে অপরের থেকে আলাদা। একটি সূচকীয় ফাংশন ক্রমাগত বৃদ্ধি নির্দেশ করে যেখানে একটি দ্বিঘাত ফাংশন বৃদ্ধি এবং হ্রাস উভয়কেই নির্দেশ করে যেখানে পরিমাণটি তার উত্সের স্তরে বা গ্রাফের শুরুতে শেষ হয়৷

এই নিবন্ধটি এর প্রধান বৈশিষ্ট্যগুলির সাথে শেষ হয়েছে উভয় ফাংশন পাশাপাশি তাদের পার্থক্য. এই দুটি ফাংশনই গণিতের ক্ষেত্রে অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ এবং বিভিন্ন ক্ষেত্রে যেমন বিজ্ঞান, বাণিজ্য এবং আমাদের দৈনন্দিন জীবনে প্রয়োগ করা হয়। অতএব, আমি আপনাকে এই দুটি ফাংশন সম্পর্কে গভীর বোঝাপড়া এবং দক্ষতার বিকাশের জন্য উত্সাহিত করব৷

আশা করি, এই নিবন্ধটি পড়ার পরে, আপনি এই দুটি কীভাবে সমাধান করা হয়, তাদের পার্থক্য, গ্রাফগুলি সম্পর্কে একটি পরিষ্কার বোঝার জন্য থাকতে পারেন৷ , এবং আরো অনেক কিছু. গণিত সম্পর্কিত একটি নিবন্ধ বিরক্তিকর মনে হতে পারে তবে এটি পড়ার পরে আপনার হবেবুঝতে পেরেছি যে এমনকি গণিতও আকর্ষণীয় হতে পারে যদি সঠিক উপায়ে বিতরণ করা হয়৷

অন্যান্য নিবন্ধগুলি