Тэнзары - гэта складаныя масівы, якія маюць пэўныя і розныя ўласцівасці. Не кожная шматгранная калекцыя з'яўляецца тэнзарам.

Ёсць два тыпы аднамерных тэнзараў: яны ўключаюць вектары і кавектары. Як вектары, так і кавектары могуць быць прадстаўлены ў выглядзе даступнага масіва лікаў.

Адзіная розніца ў тым, што звязванне гэтых двух наступае, калі ў вас ёсць розныя лічбы, якія прадстаўляюць аб'ект на адной аснове, і вы хочаце высветліць, якія лічбы ўскладняюць адно і тое ж на іншай падставе.

Знакі і правілы трансфармацыі для вектараў і кавектараў нязначна адрозніваюцца. Вэктары і кавектары звычайна ўяўляюць сабой «слупкі лікаў» або «радкі лікаў» адпаведна.

Вектар і тэнзар рознасці

Карацей кажучы, вектар заўсёды будзе быць аднамерным тэнзарам; калі ў вас ёсць аднамерны тэнзар, ён напэўна будзе альбо вектарам, альбо кавектарам. Двухмерныя тэнзары вядомыя як матрыцы.

Ёсць чатыры розныя тыпы двухмерных тэнзараў, але канкрэтных назваў не існуе. У выпадку вектараў правілы пераўтварэння трохі адрозніваюцца пры пераходзе ад аднаго базісу да іншага, але для гэтых тэнзараў няма канкрэтных назваў: гэта толькі матрыцы.

Рана ці позна іх можна назваць любым двухмерны масіў «матрыца», нават калі гэта не тэнзар. Зноў жа, каб атрымаць больш падрабязную інфармацыю аб розніцы паміж масівам і тэнзарам, глда папярэдняга абмеркавання.

Што трэба ведаць пра тэнзары

Тэнзары - гэта складаныя масівы, якія маюць пэўныя і розныя ўласцівасці.

Тэнзары - гэта матэматычныя аб'екты, якія можна выкарыстоўваць для апісання істотных уласцівасцей, гэтак жа, як скаляры разам з вектарамі. Тэнзары - гэта проста вывад скаляраў і вектараў; скаляр - гэта тэнзар рангу 0, а вектар - тэнзар рангу 1.

Ранг тэнзара вызначаецца колькасцю напрамкаў (і, такім чынам, памернасцю масіва), неабходных для вызначэння гэта. Напрыклад, уласцівасці, якія патрабуюць аднаго падыходу (або першага рангу), могуць быць лёгка апісаны вектарам-слупком 3×1.

Больш за тое, уласцівасці, якія патрабуюць двух парадкаў (тэнзары другога рангу), могуць быць вызначаны з дапамогай дзевяць лікаў, як у агульнай матрыцы 3×3, каэфіцыенты 3n могуць апісаць тэнзар n-га рангу.

Патрабаванне тэнзараў другога рангу ўзнікае, калі нам трэба думаць пра больш чым адзін кірунак для апісання 1 з гэтых фізічных аспектаў.

Выдатны прыклад гэтага - калі нам трэба вызначыць электраправоднасць любога ізатропнага крышталя. Мы ведаем, што ў агульных рысах ізатропныя праваднікі, якія патрабуюць выканання закону Ома, і гэта; j=σE. Гэта азначае, што шчыльнасць току j паралельна напружанаму электрычнаму полю E і што кожная частка j лінейна прапарцыйная кожнаму элементу E. (напрыклад, j1 = σE1).

Кампаненты электрычнага поля

Аднак шчыльнасць току, індукаваная ў анізатропны матэрыял неабавязкова будзе паралельны электрычнаму полю з-за розных напрамкаў току ў крышталі (выдатны прыклад гэтага - графіт). Гэта сведчыць аб тым, што ў цэлым кожны кампанент існуючага вектара шчыльнасці можа залежаць ад усіх частак цяперашняга электрычнага поля.

Такім чынам, электраправоднасць з'яўляецца тэнзарам 2-га рангу і можа быць зафіксавана дзевяццю незалежнымі каэфіцыентамі, якія можна праілюстраваць у матрыцы 3×3.

Гэта азначае, што шчыльнасць току j паралельная выдзеленаму электрычнаму полю E і што кожная частка j лінейна прапарцыйная кожнаму полю.

Некаторыя прыклады тэнзараў другога рангу

Некалькі іншых прыкладаў тэнзараў другога рангу ўключаюць:

• Электрычную ўспрымальнасць
• Цеплаправоднасць
• Напружанне

Яны звычайна звязваюць вектар з іншым вектарам або іншы тэнзар двайнога рангу са скалярам. Тэнзарам больш высокага рангу даручана поўна апісваць уласцівасці, якія вызначаюць два тэнзары другога рангу (напрыклад, калянасць (4-ы ранг): напружанне і дэфармацыя) або тэнзар другога рангу і вектар (напрыклад, п'езаэлектрычнасць (3-ці ранг).ранг): трывога і палярызацыя).

Каб праглядзець гэтыя і іншыя прыклады і даследаваць, як змяненне кампанентаў тэнзараў уплывае на гэтыя ўласцівасці, перайдзіце па флэш-праграме ніжэй.

Уводзіны ў тэнзары

Што такое вектар?

Вектар - гэта 1-мерны масіў лікаў, матрыца, дзе m або n роўна 1. Падобна да матрыцы, над вектарам можна выконваць розныя матэматычныя аперацыі, і гэта лёгка памножыць матрыцы на вектары і наадварот.

Аднак тэнзар можна разглядаць як абагульненую матрыцу, якую можа апісаць яго ранг.

Узровень тэнзара - гэта цэлы лік 0 або вышэй. Скаляр можа прадстаўляць тэнзар рангу 0, тэнзар рангу адзін можа быць прадстаўлены вектарам, а матрыца можа прадстаўляць тэнзар рангу два. Існуюць таксама тэнзары трэцяга рангу і вышэй, апошнія больш складана візуалізаваць.

У дадатак да рангу тэнзары маюць спецыфічныя характарыстыкі, звязаныя з тым, як яны ўзаемадзейнічаюць адзін з адным матэматычнымі аб'ектамі. Калі любы з аб'ектаў ва ўзаемадзеянні пераўтварае іншы аб'ект або аб'екты, то тэнзар павінен падпарадкоўвацца аналагічным правілам пераўтварэння.

Розніца паміж вектарамі і тэнзарамі

Вектар - гэта адна- памерны масіў лікаў, часта вядомы як матрыца, дзе m або n = адзінка.

Усе вектары звычайна з'яўляюцца тэнзарамі. Але ўсе тэнзары не могуць быць вектарамі. гэтаазначае, што тэнзары з'яўляюцца больш распаўсюджаным аб'ектам, чым вектар (строга кажучы, хоць матэматыкі збіраюць тэнзары праз вектары). Тэхнічна тэнзары апісваюцца праз два розныя аб'екты:

• Вектары
• Аднаформы (“двайныя” вектары)

Вектары - гэта выключна аб'екты, для якіх вы ведаеце, што падлік любых двух з іх (складанне вектараў) паказвае на змяненне іх маштабу (таксама вядомае як скалярнае множанне).

Адна формы таксама маюць аднолькавыя паняцці; акрамя гэтага, ён можа працаваць з вектарамі, а потым вяртаць скаляры. Прыклады прыводзяцца па парадку: найбольш тыповымі прыкладамі з'яўляюцца эўклідавыя вектары - кропкі прасторы.

Прыкладамі адной формы могуць быць вектар магнітнага патэнцыялу (гэта не «праўдзівы» вектар) або аператар градыенту .

Калі вы дадаяце іншыя адпаведныя Зыходзячы з дапушчэнняў, найбольш важнай уласцівасцю з'яўляецца тое, што аднаформы і вектары пэўным чынам пераўтвараюцца пры змене каардынат. Гэта ўласцівасці, якія часцей за ўсё хвалююць фізікаў, калі яны кансультуюцца па такіх рэчах, як агульная тэорыя адноснасці.

Тэнзары, як матэматычныя аб'екты, з'яўляюцца «шматлінейнымі» аператарамі; гэта значыць, яны бяруць наборы вектараў (і адзіных формаў) і вяртаюць іншы тэнзар (у адрозненне ад лінейных аператараў, якія прымаюць вектары і вяртаюць вектары). Яны маюць рознае прымяненне.

Дапусцімвы хочаце зразумець агульную тэорыю тэнзараў. У такім выпадку вы павінны разумець абстрактную алгебру і неверагодна лінейную алгебру), і калі вы збіраецеся разумець тэнзарнае вылічэнне, вы таксама павінны разумець тэорыю дыферэнцыруемых мнагастайнасцей.

Заключныя думкі

У гэтым артыкуле вы даведаліся, што:

• Тэнзары - гэта шматмерныя масівы з рознымі ўласцівасцямі.
• Не кожны шматгранны набор з'яўляецца тэнзарам.
• Вектар заўсёды з'яўляецца аднамерным тэнзарам, а аднамерны тэнзар заўсёды альбо вектар, альбо кавектар. Матрыца - гэта назва, дадзеная двухмерным тэнзарам.
• Вектар - гэта аднамерны масіў лікаў, часта вядомы як матрыца, дзе m або n = 1. Вектар, як матрыца, можа выкарыстоўвацца для выканання розных матэматычных аперацый, а таксама проста памнажаць матрыцы на вектары і наадварот.
• З іншага боку, тэнзар можна разглядаць як абагульненая матрыца, апісаная сваім рангам.

Артыкулы па тэме

Чараўнік супраць Чарнакніжніка (Хто мацнейшы?)

Розныя віды біфштэксаў (Т -Bone, Ribeye, Tomahawk і Filet Mignon)

Адрозненні паміж Cessna 150 і Cessna 152 (Параўнанне)