Tenzory jsou složitá pole, která mají specifické a odlišné vlastnosti. Ne každá mnohotvárná kolekce je tenzor.

Existují dva typy jednorozměrných tenzorů: Patří mezi ně vektory a ko-vektory. Buď vektory, nebo ko-vektory lze reprezentovat jako přístupné pole čísel.

Jediný rozdíl je v tom, že propojení těchto dvou přichází, když máte různé číslice reprezentující objekt na jednom základě a chcete zjistit, jaká čísla komplikují stejnou věc na nějakém jiném základě.

Transformační znaménka a pravidla jsou pro vektory a ko- vektory poněkud odlišná. Vektory a ko- vektory jsou obvykle "sloupce čísel", respektive "řádky čísel".

Rozdíl vektorů a tenzorů

Stručně řečeno, vektor bude vždy jednorozměrný tenzor; pokud máte jednorozměrný tenzor, bude to jistě buď vektor, nebo ko-vektor. Dvourozměrné tenzory se nazývají matice.

Existují čtyři různé typy dvourozměrných tenzorů, ale neexistují pro ně žádné specifické názvy. V případě vektorů se pravidla transformace při přechodu z jedné báze do druhé mírně liší, ale pro tyto tenzory neexistují žádné specifické názvy: jsou to pouze matice.

Dříve nebo později se může nazývat "maticí" jakékoli dvourozměrné pole, i když se nejedná o tenzor. Další podrobnosti o rozdílu mezi polem a tenzorem najdete opět v předchozí diskusi.

Co vědět o tenzorech

Tenzory jsou složitá pole, která mají specifické a odlišné vlastnosti.

Tenzory jsou matematické objekty, které lze využít k popisu podstatných vlastností, stejně jako skaláry spolu s vektory. Tenzory jsou jednoduše odvozením skalárů a vektorů; skalár je tenzor 0. řádu a vektor je tenzor 1. řádu.

Hodnost tenzoru je identifikována počtem směrů (a tedy dimenzionalitou pole) potřebných k jeho definici. Například vlastnosti, které vyžadují jeden přístup ( neboli první hodnost), lze snadno popsat sloupcovým vektorem 3×1.

Navíc vlastnosti, které vyžadují dva řády (tenzory druhého stupně), mohou být definovány devíti čísly, protože v obecné matici 3×3 může 3n koeficientů popisovat tenzor n-tého stupně.

Požadavek na tenzory druhého řádu přichází, když potřebujeme uvažovat o více než jednom směru pro popis 1 z těchto fyzikálních aspektů.

Dokonalým příkladem je, když potřebujeme zjistit elektrickou vodivost nějakého izotropního krystalu. Víme, že obecně platí, že izotropní vodiče, které vyžadují, aby se řídily Ohmovým zákonem, a to; j=σE. To znamená, že proudová hustota j je rovnoběžná s věnovaným elektrickým polem E a že každá část j je lineárně úměrná každému prvku E. (např. j1 = σE1).

Složky elektrického pole

Proudová hustota indukovaná v anizotropním materiálu však nemusí být nutně rovnoběžná se zapojeným elektrickým polem v důsledku různých směrů toku proudu v krystalu (vynikajícím příkladem je grafit). Z toho vyplývá, že obecně se každá složka existujícího vektoru hustoty může opírat o všechny části přítomného elektrického pole.

Obecně tedy, elektrická vodivost je tenzor 2. řádu a lze ji stanovit pomocí devíti nezávislých koeficientů, což lze znázornit v matici 3×3.

To znamená, že proudová hustota j je rovnoběžná s vyhrazeným elektrickým polem E a že každá část j je lineárně úměrná poli.

Některé příklady tenzorů druhého řádu

Mezi další příklady tenzorů druhého řádu patří:

• Elektrická citlivost
• Tepelná vodivost
• Stres

Obvykle vztahují vektor k jinému vektoru nebo jiný tenzor dvojího stupně ke skaláru. Tenzory vyššího stupně jsou instruovány k plnému popisu vlastností, které vypovídají o dvou tenzorech druhého stupně (např. tuhost (4. stupeň): napětí a deformace) nebo tenzor druhého stupně a vektor (např. piezoelektřina (3. stupeň): úzkost a polarizace).

Chcete-li si prohlédnout tyto a další příklady a zjistit, jak změna složek tenzorů ovlivňuje tyto vlastnosti, projděte si níže uvedený flashový program.

Úvod do tenzorů

Co je vektor?

Vektor je jednorozměrné pole čísel, matice, kde m nebo n se rovná 1. Podobně jako s maticí lze s vektorem provádět různé matematické operace a je snadné násobit matice vektory a naopak.

Tenzor si však můžeme představit jako zobecněnou matici, kterou lze popsat její hodnost.

Stupeň tenzoru je celé číslo 0 nebo vyšší. Skalár může reprezentovat tenzor se stupněm 0, tenzor se stupněm 1 může být reprezentován vektorem a matice může reprezentovat tenzor se stupněm 2. Existují také tenzory se stupněm 3 a vyšším, přičemž poslední jmenované se obtížněji vizualizují.

Kromě hodnosti mají tenzory specifické vlastnosti související s tím, jak interagují s ostatními matematickými entitami. Pokud některá z entit v interakci transformuje jinou entitu nebo entity, pak se tenzor musí řídit podobným transformačním pravidlem.

Rozdíl mezi vektory a tenzory

Vektor je jednorozměrné pole čísel, často označované jako matice, kde m nebo n = jedna.

Všechny vektory jsou obvykle tenzory. Ale všechny tenzory nemohou být vektory. To znamená, že tenzor je rozšířenější objekt než vektor (přísně vzato, i když matematici skládají tenzory prostřednictvím vektorů). Tenzory se technicky popisují pomocí dvou různých objektů:

• Vektory
• Jednoformy ("duální" vektory)

Vektory jsou výhradně objekty, u kterých víte, co znamená sečtení libovolných dvou z nich (vektorové sčítání) a co změna měřítka (známá také jako skalární násobení).

Stejně tak má jeden formulář všechny stejné pojmy; kromě toho může operovat s vektory a pak vracet skaláry. Pro příklady jsou v pořádku: Mezi nejprototypičtější příklady patří euklidovské vektory -body prostoru.

Příklady jednoformátových formulářů jsou "vektor" magnetického potenciálu (není to "pravý" vektor) nebo operátor gradientu. .

Když přidáte další vhodné předpoklady, nejvýznamnější vlastností je, že jednoformy a vektory se určitým způsobem převádějí při změně souřadnic. Právě tyto vlastnosti fyziky nejčastěji trápí, když konzultují věci, jako je obecná teorie relativity.

Tenzory jako matematické objekty jsou "multilineární" operátory; to znamená, že přijímají množiny vektorů (a jednoformulářů) a vracejí jiný tenzor (na rozdíl od lineárních operátorů, které přijímají vektory a vracejí vektory). Ty mají různé využití.

Předpokládejme, že chcete porozumět obecné teorii tenzorů. V takovém případě byste si měli uvědomit abstraktní algebru a neuvěřitelně lineární algebru), a pokud se chystáte porozumět tenzorovému kalkulu, měli byste také porozumět teorii diferencovatelných množin.

Závěrečné myšlenky

V tomto článku jste se dozvěděli, že:

• Tenzory jsou vícerozměrná pole s odlišnými vlastnostmi.
• Ne každá mnohotvárná kolekce je tenzor.
• Vektor je vždy jednorozměrný tenzor a jednorozměrný tenzor je vždy buď vektor, nebo ko-vektor. Matice je název pro dvourozměrné tenzory.
• Vektor je jednorozměrné pole čísel, často označované jako matice, kde m nebo n = 1. S vektorem, stejně jako s maticí, lze provádět různé matematické operace a je jednoduché násobit matice vektory a naopak.
• Na druhou stranu lze tenzor chápat jako zobecněnou matici popsanou její hodností.

Související články

Čaroděj vs. čaroděj (Kdo je silnější?)

Různé druhy steaků (T-Bone, Ribeye, Tomahawk a Filet Mignon)

Rozdíly mezi letadly Cessna 150 a Cessna 152 (srovnání)