ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ಟೆನ್ಸರ್‌ಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವೇನು? (ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ) - ಎಲ್ಲಾ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು
ಪರಿವಿಡಿ
ಟೆನ್ಸರ್‌ಗಳು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮತ್ತು ವಿಭಿನ್ನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸರಣಿಗಳಾಗಿವೆ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಹುಮುಖಿ ಸಂಗ್ರಹವು ಟೆನ್ಸರ್ ಆಗಿರುವುದಿಲ್ಲ.
ಎರಡು ರೀತಿಯ ಏಕ-ಆಯಾಮದ ಟೆನ್ಸರ್‌ಗಳಿವೆ: ಇವುಗಳಲ್ಲಿ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ಸಹ-ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು ಸೇರಿವೆ. ವಾಹಕಗಳು ಅಥವಾ ಸಹ-ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ಪ್ರವೇಶಿಸಬಹುದಾದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಶ್ರೇಣಿಯಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು.
ಒಂದೇ ವ್ಯತ್ಯಾಸವೆಂದರೆ, ನೀವು ಒಂದೇ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ವಸ್ತುವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ವಿವಿಧ ಅಂಕೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವಾಗ ಆ ಎರಡನ್ನು ಲಿಂಕ್ ಮಾಡುವುದು ಬರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ವಿಭಿನ್ನ ನೆಲೆಯಲ್ಲಿ ಯಾವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಒಂದೇ ವಿಷಯವನ್ನು ಸಂಕೀರ್ಣಗೊಳಿಸುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಬಯಸುತ್ತದೆ.
ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಚಿಹ್ನೆಗಳು ಮತ್ತು ನಿಯಮಗಳು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ಸಹ-ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳಿಗೆ ಸ್ವಲ್ಪ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ಸಹ-ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಕ್ರಮವಾಗಿ "ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕಾಲಮ್‌ಗಳು" ಅಥವಾ "ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಾಲುಗಳು".
ವೆಕ್ಟರ್ ಮತ್ತು ಟೆನ್ಸರ್ ವ್ಯತ್ಯಾಸ
ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ, ವೆಕ್ಟರ್ ಯಾವಾಗಲೂ ಒಂದು ಆಯಾಮದ ಟೆನ್ಸರ್ ಆಗಿರಿ; ನೀವು ಒಂದು ಆಯಾಮದ ಟೆನ್ಸರ್ ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಅದು ಖಂಡಿತವಾಗಿಯೂ ವೆಕ್ಟರ್ ಅಥವಾ ಸಹ-ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಎರಡು ಆಯಾಮದ ಟೆನ್ಸರ್‌ಗಳನ್ನು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಸಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಎರಡು ಆಯಾಮದ ಟೆನ್ಸರ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ನಾಲ್ಕು ವಿಭಿನ್ನ ಪ್ರಕಾರಗಳಿವೆ, ಆದರೆ ಯಾವುದೇ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಹೆಸರುಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿಲ್ಲ. ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನೀವು ಒಂದು ಆಧಾರದಿಂದ ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕೆ ಚಲಿಸುವಾಗ ರೂಪಾಂತರದ ನಿಯಮಗಳು ಸ್ವಲ್ಪ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ಈ ಟೆನ್ಸರ್‌ಗಳಿಗೆ ಯಾವುದೇ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಹೆಸರುಗಳಿಲ್ಲ: ಅವು ಕೇವಲ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಸಸ್.
ಬೇಗ ಅಥವಾ ನಂತರ, ಅವುಗಳನ್ನು ಯಾವುದಾದರೂ ಕರೆಯಬಹುದು ಎರಡು ಆಯಾಮದ ರಚನೆಯು "ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್", ಅದು ಟೆನ್ಸರ್ ಅಲ್ಲದಿದ್ದರೂ ಸಹ. ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ, ಅರೇ ಮತ್ತು ಟೆನ್ಸರ್ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಕುರಿತು ಹೆಚ್ಚಿನ ವಿವರಗಳಿಗಾಗಿ, ಉಲ್ಲೇಖಿಸಿಹಿಂದಿನ ಚರ್ಚೆಗೆ.
ಟೆನ್ಸರ್‌ಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಏನು ತಿಳಿಯಬೇಕು
ಟೆನ್ಸರ್‌ಗಳು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮತ್ತು ವಿಭಿನ್ನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಂಕೀರ್ಣ ಸರಣಿಗಳಾಗಿವೆ.
ಟೆನ್ಸರ್‌ಗಳು ಗಣಿತದ ವಸ್ತುಗಳಾಗಿದ್ದು, ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಜೊತೆಗೆ ಸ್ಕೇಲರ್‌ಗಳಂತೆಯೇ ಗಣನೀಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಬಳಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಟೆನ್ಸರ್‌ಗಳು ಕೇವಲ ಸ್ಕೇಲರ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ನಿರ್ಣಯವಾಗಿದೆ; ಸ್ಕೇಲಾರ್ 0 ಶ್ರೇಣಿಯ ಟೆನ್ಸರ್ ಆಗಿದೆ, ಮತ್ತು ವೆಕ್ಟರ್ 1 ನೇ ಶ್ರೇಣಿಯ ಟೆನ್ಸರ್ ಆಗಿದೆ.
ಟೆನ್ಸರ್‌ನ ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲು ಅಗತ್ಯವಿರುವ ದಿಕ್ಕುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ (ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ರಚನೆಯ ಆಯಾಮ) ಗುರುತಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಇದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ವಿಧಾನದ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು (ಅಥವಾ ಮೊದಲ ಶ್ರೇಣಿ) 3×1 ಕಾಲಮ್ ವೆಕ್ಟರ್‌ನಿಂದ ಸುಲಭವಾಗಿ ವಿವರಿಸಬಹುದು.
ಇದಲ್ಲದೆ, ಎರಡು ಆದೇಶಗಳ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು (ಎರಡನೇ ಶ್ರೇಣಿಯ ಟೆನ್ಸರ್‌ಗಳು) ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬಹುದು ಒಂಬತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, 3×3 ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಜನರಲ್‌ನಲ್ಲಿರುವಂತೆ, 3n ಗುಣಾಂಕಗಳು n ನೇ ಶ್ರೇಣಿಯ ಟೆನ್ಸರ್ ಅನ್ನು ವಿವರಿಸಬಹುದು.
ನಾವು ವಿವರಿಸಲು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ದಿಕ್ಕುಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಯೋಚಿಸಬೇಕಾದಾಗ ಎರಡನೇ ಶ್ರೇಣಿಯ ಟೆನ್ಸರ್‌ಗಳ ಅವಶ್ಯಕತೆ ಬರುತ್ತದೆ ಈ ಭೌತಿಕ ಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ 1.
ಯಾವುದೇ ಐಸೊಟ್ರೊಪಿಕ್ ಸ್ಫಟಿಕದ ವಿದ್ಯುತ್ ವಾಹಕತೆಯನ್ನು ನಾವು ಹೇಳಬೇಕಾದರೆ ಇದಕ್ಕೆ ಒಂದು ಪರಿಪೂರ್ಣ ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ, ಐಸೊಟ್ರೊಪಿಕ್ ಕಂಡಕ್ಟರ್‌ಗಳು ಓಮ್‌ನ ನಿಯಮವನ್ನು ಪಾಲಿಸಬೇಕೆಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ ಮತ್ತು ಅದು; j=σE. ಇದರರ್ಥ ಪ್ರಸ್ತುತ ಸಾಂದ್ರತೆಯ j ಯು ಮೀಸಲಾದ ವಿದ್ಯುತ್ ಕ್ಷೇತ್ರಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿದೆ, E ಮತ್ತು j ನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಭಾಗವು E. ಯ ಪ್ರತಿ ಅಂಶಕ್ಕೆ ರೇಖಾತ್ಮಕ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, j1 = σE1).
| ನ ಘಟಕಗಳುಎಲೆಕ್ಟ್ರಿಕ್ ಫೀಲ್ಡ್ |
| j1 = σ11E1 + σ12E2 + σ13E3 |
| j2 = σ21E1 + σ22E2 + σ23E3 |
| j3 = σ31E1 + σ32E2 + σ33E3 |
ಎಲೆಕ್ಟ್ರಿಕ್ ಫೀಲ್ಡ್‌ನ ಘಟಕಗಳು
ಸಹ ನೋಡಿ: ಈಟಿ ಮತ್ತು ಲ್ಯಾನ್ಸ್ - ವ್ಯತ್ಯಾಸವೇನು? - ಎಲ್ಲಾ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳುಆದಾಗ್ಯೂ, ಪ್ರಸ್ತುತ ಸಾಂದ್ರತೆಯು ಪ್ರೇರಿತವಾಗಿದೆ ಸ್ಫಟಿಕದ ವಿಭಿನ್ನ ದಿಕ್ಕುಗಳ ಪ್ರಸ್ತುತ ಹರಿವಿನಿಂದಾಗಿ ಅನಿಸೊಟ್ರೊಪಿಕ್ ವಸ್ತುವು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ವಿದ್ಯುತ್ ಕ್ಷೇತ್ರಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ (ಇದಕ್ಕೆ ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಉದಾಹರಣೆ ಗ್ರ್ಯಾಫೈಟ್‌ನಲ್ಲಿದೆ). ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುವ ಸಾಂದ್ರತೆಯ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಘಟಕವು ಪ್ರಸ್ತುತ ವಿದ್ಯುತ್ ಕ್ಷೇತ್ರದ ಎಲ್ಲಾ ಭಾಗಗಳ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಇದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.
ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ವಿದ್ಯುತ್ ವಾಹಕತೆಯು 2 ನೇ ಶ್ರೇಣಿಯ ಟೆನ್ಸರ್ ಆಗಿದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಒಂಬತ್ತು ಸ್ವತಂತ್ರ ಗುಣಾಂಕಗಳಿಂದ ಸರಿಪಡಿಸಬಹುದು, ಇದನ್ನು 3×3 ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಬಹುದು.
ಇದರರ್ಥ ಪ್ರಸ್ತುತ ಸಾಂದ್ರತೆ j ಯು ಮೀಸಲಾದ ವಿದ್ಯುತ್ ಕ್ಷೇತ್ರ, E ಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು j ನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಭಾಗವು ಪ್ರತಿ ಕ್ಷೇತ್ರಕ್ಕೆ ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ.
ಎರಡನೇ ಶ್ರೇಣಿಯ ಟೆನ್ಸರ್‌ಗಳ ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳು
ಇತರ ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಎರಡನೇ ಶ್ರೇಣಿಯ ಟೆನ್ಸರ್‌ಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿವೆ:
- ವಿದ್ಯುತ್ ಸಂವೇದನಾಶೀಲತೆ
- ಉಷ್ಣ ವಾಹಕತೆ
- ಒತ್ತಡ
ಅವರು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಮತ್ತೊಂದು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗೆ ಅಥವಾ ಇನ್ನೊಂದು ಡ್ಯುಯಲ್ ಶ್ರೇಣಿಯ ಟೆನ್ಸರ್ ಅನ್ನು ಸ್ಕೇಲಾರ್‌ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸುತ್ತಾರೆ. ಎರಡು ಎರಡನೇ ಶ್ರೇಣಿಯ ಟೆನ್ಸರ್‌ಗಳನ್ನು (ಉದಾ., ಠೀವಿ (4ನೇ ಶ್ರೇಣಿ): ಒತ್ತಡ ಮತ್ತು ಒತ್ತಡ) ಅಥವಾ ಎರಡನೇ ಶ್ರೇಣಿಯ ಟೆನ್ಸರ್ ಮತ್ತು ವೆಕ್ಟರ್ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪೀಜೋಎಲೆಕ್ಟ್ರಿಸಿಟಿ (3ನೇ) ಹೇಳುವ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ವಿವರಿಸಲು ಹೆಚ್ಚು ಉನ್ನತ ಶ್ರೇಣಿಯ ಟೆನ್ಸರ್‌ಗಳಿಗೆ ಸೂಚಿಸಲಾಗಿದೆ.ಶ್ರೇಣಿ): ಆತಂಕ ಮತ್ತು ಧ್ರುವೀಕರಣ).
ಈ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚಿನ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ವೀಕ್ಷಿಸಲು ಮತ್ತು ಟೆನ್ಸರ್‌ಗಳ ಘಟಕಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವುದು ಈ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳ ಮೇಲೆ ಹೇಗೆ ಪರಿಣಾಮ ಬೀರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ತನಿಖೆ ಮಾಡಲು, ಕೆಳಗಿನ ಫ್ಲಾಶ್ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂ ಅನ್ನು ನೋಡಿ.
ಟೆನ್ಸರ್‌ಗಳಿಗೆ ಪರಿಚಯ
ವೆಕ್ಟರ್ ಎಂದರೇನು?
ವೆಕ್ಟರ್ ಎಂಬುದು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ 1 ಆಯಾಮದ ಶ್ರೇಣಿಯಾಗಿದೆ, ಇದು m ಅಥವಾ n 1 ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುವ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆ. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನಂತೆಯೇ, ವೆಕ್ಟರ್‌ನಲ್ಲಿ ವಿವಿಧ ಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ ಮತ್ತು ಇದು ಸುಲಭವಾಗಿದೆ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳೊಂದಿಗೆ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಗುಣಿಸಿ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ.
ಆದಾಗ್ಯೂ, ಟೆನ್ಸರ್ ಅನ್ನು ಅದರ ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ವಿವರಿಸಬಹುದಾದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎಂದು ಭಾವಿಸಬಹುದು.
ಟೆನ್ಸರ್‌ನ ಮಟ್ಟವು ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಸಂಖ್ಯೆ 0 ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನದು. ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಶ್ರೇಣಿ 0 ಯೊಂದಿಗೆ ಟೆನ್ಸರ್ ಅನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು, ಒಂದು ಶ್ರೇಣಿಯ ಟೆನ್ಸರ್ ಅನ್ನು ವೆಕ್ಟರ್ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎರಡನೇ ಶ್ರೇಣಿಯ ಟೆನ್ಸರ್ ಅನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು. ಮೂರು ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚಿನ ಶ್ರೇಣಿಯ ಟೆನ್ಸರ್‌ಗಳು ಸಹ ಇವೆ, ಎರಡನೆಯದನ್ನು ದೃಶ್ಯೀಕರಿಸಲು ಹೆಚ್ಚು ಕಷ್ಟ.
ಶ್ರೇಣಿಯ ಜೊತೆಗೆ, ಟೆನ್ಸರ್‌ಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಗಣಿತದ ಘಟಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಹೇಗೆ ಸಂವಹನ ನಡೆಸುತ್ತವೆ ಎಂಬುದಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿನ ಯಾವುದೇ ಘಟಕಗಳು ಇತರ ಘಟಕ ಅಥವಾ ಘಟಕಗಳನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸಿದರೆ, ಟೆನ್ಸರ್ ಇದೇ ರೀತಿಯ ರೂಪಾಂತರದ ನಿಯಮವನ್ನು ಪಾಲಿಸಬೇಕು.
ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ಟೆನ್ಸರ್‌ಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸ
ವೆಕ್ಟರ್ ಒಂದು- ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಆಯಾಮದ ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇಲ್ಲಿ m ಅಥವಾ n = ಒಂದು.
ಎಲ್ಲಾ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಟೆನ್ಸರ್‌ಗಳಾಗಿವೆ. ಆದರೆ ಎಲ್ಲಾ ಟೆನ್ಸರ್‌ಗಳು ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಈಅಂದರೆ ಟೆನ್ಸರ್‌ಗಳು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ವ್ಯಾಪಕವಾದ ವಸ್ತುವಾಗಿದೆ (ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಗಣಿತಜ್ಞರು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಮೂಲಕ ಟೆನ್ಸರ್‌ಗಳನ್ನು ಜೋಡಿಸುತ್ತಾರೆ). ಟೆನ್ಸರ್‌ಗಳನ್ನು ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ವಸ್ತುಗಳ ಮೂಲಕ ತಾಂತ್ರಿಕವಾಗಿ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ:
- ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು
- ಒಂದು-ರೂಪಗಳು (“ಡ್ಯುಯಲ್” ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು)
ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ವಸ್ತುಗಳಾಗಿವೆ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದಾದರೂ ಎರಡನ್ನು ಎಣಿಸುವುದು (ವೆಕ್ಟರ್ ಸೇರ್ಪಡೆ) ಅದನ್ನು ಮಾಪಕ-ಬದಲಾವಣೆ ಮಾಡುವುದನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ (ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಗುಣಾಕಾರ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ).
ಒಂದು ರೂಪಗಳು, ಅದೇ ರೀತಿ, ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ; ಅದರ ಹೊರತಾಗಿ, ಇದು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಮೇಲೆ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಂತರ ಸ್ಕೇಲರ್‌ಗಳನ್ನು ಹಿಂತಿರುಗಿಸುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗಳಿಗಾಗಿ ಕ್ರಮಬದ್ಧವಾಗಿವೆ: ಅತ್ಯಂತ ಮೂಲಮಾದರಿಯ ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ವಾಹಕಗಳು ಸೇರಿವೆ - ಜಾಗದ ಬಿಂದುಗಳು.
ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಒಂದು-ರೂಪಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತವೆ ಕಾಂತೀಯ ಸಂಭಾವ್ಯ “ವೆಕ್ಟರ್” (ಇದು “ನಿಜವಾದ” ವೆಕ್ಟರ್ ಅಲ್ಲ) ಅಥವಾ ಗ್ರೇಡಿಯಂಟ್ ಆಪರೇಟರ್ .
ನೀವು ಇತರ ಸೂಕ್ತವಾದವುಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿದಾಗ ಊಹೆಗಳು, ಅತ್ಯಂತ ಮಹತ್ವದ ಆಸ್ತಿಯೆಂದರೆ ಒಂದು-ರೂಪಗಳು ಮತ್ತು ವಾಹಕಗಳು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳ ಬದಲಾವಣೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪರಿವರ್ತನೆಗೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಾಪೇಕ್ಷತಾ ಸಿದ್ಧಾಂತದಂತಹ ವಿಷಯಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಸಮಾಲೋಚಿಸುವಾಗ ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಚಿಂತಿಸುವ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಇವು.
ಟೆನ್ಸರ್‌ಗಳು, ಉದ್ದನೆಯ ಮೂಲಕ, ಗಣಿತದ ವಸ್ತುಗಳು “ಮಲ್ಟಿಲಿನಿಯರ್” ಆಪರೇಟರ್‌ಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ; ಇದನ್ನು ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಅವರು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಸೆಟ್‌ಗಳನ್ನು (ಮತ್ತು ಒಂದು-ರೂಪಗಳು) ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು ಮತ್ತೊಂದು ಟೆನ್ಸರ್ ಅನ್ನು ಹಿಂತಿರುಗಿಸುತ್ತಾರೆ (ಲೀನಿಯರ್ ಆಪರೇಟರ್‌ಗಳಿಗೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಇದು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ರಿಟರ್ನ್ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ). ಇವುಗಳು ವಿವಿಧ ಉಪಯೋಗಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ.
ಊಹಿಸಿನೀವು ಟೆನ್ಸರ್‌ಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಬಯಸುತ್ತೀರಿ. ಆ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನೀವು ಅಮೂರ್ತ ಬೀಜಗಣಿತ ಮತ್ತು ವಿಸ್ಮಯಕಾರಿಯಾಗಿ ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತವನ್ನು ಅರಿತುಕೊಳ್ಳಬೇಕು), ಮತ್ತು ನೀವು ಟೆನ್ಸರ್ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಹೋದರೆ, ನೀವು ವಿಭಿನ್ನ ಬಹುದ್ವಾರಿಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಸಹ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು.
ಸಹ ನೋಡಿ: ಅಟಿಲಾ ದಿ ಹನ್ ಮತ್ತು ಗೆಂಘಿಸ್ ಖಾನ್ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವೇನು? - ಎಲ್ಲಾ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳುಅಂತಿಮ ಆಲೋಚನೆಗಳು
ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ, ನೀವು ಇದನ್ನು ಕಲಿತಿದ್ದೀರಿ:
- ಟೆನ್ಸರ್‌ಗಳು ವಿಭಿನ್ನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳೊಂದಿಗೆ ಬಹುಆಯಾಮದ ಸರಣಿಗಳಾಗಿವೆ.
- ಪ್ರತಿ ಬಹುಮುಖಿ ಸಂಗ್ರಹವು ಟೆನ್ಸರ್ ಅಲ್ಲ.
- ವೆಕ್ಟರ್ ಯಾವಾಗಲೂ ಒಂದು ಆಯಾಮದ ಟೆನ್ಸರ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಒಂದು ಆಯಾಮದ ಟೆನ್ಸರ್ ಯಾವಾಗಲೂ ಇರುತ್ತದೆ ವೆಕ್ಟರ್ ಅಥವಾ ಸಹ-ವೆಕ್ಟರ್. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎಂಬುದು ಎರಡು ಆಯಾಮದ ಟೆನ್ಸರ್‌ಗಳಿಗೆ ನೀಡಲಾದ ಹೆಸರು.
- ವೆಕ್ಟರ್ ಎಂಬುದು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಒಂದು ಆಯಾಮದ ಶ್ರೇಣಿಯಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಲ್ಲಿ m ಅಥವಾ n = 1. ವೆಕ್ಟರ್, ಹಾಗೆ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ವಿವಿಧ ಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸಲು ಬಳಸಬಹುದು, ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳೊಂದಿಗೆ ಗುಣಿಸುವುದು ಸರಳವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ.
- ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, ಟೆನ್ಸರ್ ಅನ್ನು ಹೀಗೆ ಕಲ್ಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಅದರ ಶ್ರೇಣಿಯಿಂದ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ.
ಸಂಬಂಧಿತ ಲೇಖನಗಳು
ವಿಝಾರ್ಡ್ ವರ್ಸಸ್ ವಾರ್ಲಾಕ್ (ಯಾರು ಪ್ರಬಲರು?)
ವಿವಿಧ ವಿಧದ ಸ್ಟೀಕ್ಸ್ (T -ಬೋನ್, ರಿಬೆಯೆ, ಟೊಮಾಹಾಕ್ ಮತ್ತು ಫಿಲೆಟ್ ಮಿಗ್ನಾನ್)
ಸೆಸ್ನಾ 150 ಮತ್ತು ಸೆಸ್ನಾ 152 ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳು (ಹೋಲಿಕೆ)
