Tenzorji so kompleksne množice, ki imajo posebne in različne lastnosti. Vsaka večplastna zbirka ni tenzor.

Obstajata dve vrsti enodimenzionalnih tenzorjev: to so vektorji in ko-vektorji. Vektorje ali ko-vektorje lahko predstavimo kot dostopno polje števil.

Edina razlika je v tem, da se ta dva elementa povežeta, ko imamo na voljo različne številke, ki predstavljajo predmet na eni podlagi, in želimo ugotoviti, katere številke zapletajo isto stvar na neki drugi podlagi.

Znaki in pravila za transformacijo se nekoliko razlikujejo za vektorje in ko-vektorje. Vektorji in ko-vektorji so običajno "stolpci števil" oziroma "črte števil".

Razlika med vektorji in tenzorji

Skratka, vektor bo vedno enodimenzionalni tenzor; če imate enodimenzionalni tenzor, bo zagotovo bodisi vektor bodisi ko-vektor. Dvodimenzionalni tenzorji so znani kot matrike.

Obstajajo štiri različne vrste dvodimenzionalnih tenzorjev, vendar zanje ni posebnih imen. Pri vektorjih so pravila transformacije nekoliko drugačna, ko prehajamo iz ene osnove v drugo, vendar za te tenzorje ni posebnih imen: so le matrike.

Slej ko prej lahko katero koli dvodimenzionalno polje poimenujemo "matrika", tudi če ni tenzor. Za več podrobnosti o razliki med matriko in tenzorjem si ponovno oglejte prejšnjo razpravo.

Kaj morate vedeti o tenzorjih

Tenzorji so zapletene množice, ki imajo posebne in različne lastnosti.

Tenzorji so matematični objekti, ki jih lahko uporabimo za opis bistvenih lastnosti, enako kot skalarje in vektorje. Tenzorji so preprosto sklepanje skalarjev in vektorjev; skalar je tenzor 0 ranga, vektor pa je tenzor 1. ranga.

Rang tenzorja je določen s številom smeri (in s tem dimenzionalnostjo matrike), ki so potrebne za njegovo opredelitev. Na primer, lastnosti, ki zahtevajo en pristop ( ali prvi rang), je mogoče preprosto opisati s stolpčnim vektorjem 3 × 1.

Poleg tega lahko lastnosti, za katere sta potrebna dva reda (tenzorji drugega reda), opredelimo z devetimi števili, saj lahko v splošni matriki 3×3 3n koeficientov opiše tenzor n-tega reda.

Zahteva po tenzorjih drugega reda se pojavi, ko moramo razmišljati o več kot eni smeri za opis enega od teh fizikalnih vidikov.

Odličen primer tega je, če moramo določiti električno prevodnost katerega koli izotropnega kristala. Na splošno vemo, da morajo izotropni prevodniki upoštevati Ohmov zakon, ki se glasi: j =σE. To pomeni, da je gostota toka j vzporedna z električnim poljem E in da je vsak del j linearno sorazmeren z vsakim elementom E (npr. j1 = σE1).

Sestavine električnega polja

Vendar gostota toka, inducirana v anizotropnem materialu, zaradi različnih smeri toka v kristalu ne bo nujno vzporedna z vključenim električnim poljem (odličen primer tega je grafit). To nakazuje, da se lahko na splošno vsaka komponenta obstoječega vektorja gostote opira na vse dele prisotnega električnega polja.

Na splošno, električna prevodnost je tenzor drugega ranga in jo lahko določimo z devetimi neodvisnimi koeficienti, kar je mogoče ponazoriti z matriko 3×3.

To pomeni, da je gostota toka j vzporedna z namenskim električnim poljem E in da je vsak del j linearno sorazmeren polju.

Nekaj primerov tenzorjev drugega reda

Nekateri drugi primeri tenzorjev drugega ranga so:

• Električna dovzetnost
• Toplotna prevodnost
• Stres

Na splošno povezujejo vektor z drugim vektorjem ali drug tenzor dvojnega ranga s skalarjem. Tenzorji višjega ranga so namenjeni popolnemu opisu lastnosti, ki povedo dva tenzorja drugega ranga (npr. togost (4. ranga): napetost in deformacija) ali tenzor drugega ranga in vektor (npr. piezoelektričnost (3. ranga): tesnost in polarizacija).

Če si želite ogledati te in druge primere ter raziskati, kako spreminjanje komponent tenzorjev vpliva na te lastnosti, si oglejte spodnji program flash.

Uvod v tenzorje

Kaj je vektor?

Vektor je enodimenzionalno polje števil, matrika, kjer je m ali n enako 1. Podobno kot z matriko je tudi z vektorjem mogoče izvajati različne matematične operacije, matrike pa je enostavno množiti z vektorji in obratno.

Vendar si lahko tenzor predstavljamo kot posplošeno matriko, ki jo lahko opiše njen rang.

Rang tenzorja je celo število 0 ali več. Skalar lahko predstavlja tenzor z rangom 0, tenzor z rangom 1 lahko predstavlja vektor, matrika pa tenzor z rangom 2. Obstajajo tudi tenzorji z rangom 3 in več, pri čemer je slednje težje vizualizirati.

Poleg ranga imajo tenzorji posebne značilnosti, povezane z načinom interakcije z drugimi matematičnimi entitetami. Če katera koli od entitet v interakciji preoblikuje drugo entiteto ali entitete, mora tenzor ubogati podobno pravilo transformacije.

Razlika med vektorji in tenzorji

Vektor je enodimenzionalna matrika števil, pogosto znana kot matrika, kjer m ali n = ena.

Vsi vektorji so običajno tenzorji. Toda vsi tenzorji ne morejo biti vektorji. To pomeni, da so tenzorji bolj razširjen objekt kot vektorji (strogo gledano, čeprav matematiki sestavljajo tenzorje prek vektorjev). Tenzorji so tehnično opisani z dvema različnima objektoma:

• Vektorji
• Enotne oblike ("dvojni" vektorji)

Vektorji so izključno predmeti, za katere veste, kaj pomeni štetje katerih koli dveh (vektorsko seštevanje) za spreminjanje lestvice (znano tudi kot skalarno množenje).

Ena oblika ima prav tako vse iste pojme; razen tega lahko operira z vektorji in nato vrne skalarje. Za primere velja: Najbolj prototipični primeri vključujejo evklidske vektorje -točke prostora.

Primeri enobarvnih obrazcev so "vektor" magnetnega potenciala (ni pravi vektor) ali operator gradienta .

Če dodamo še druge ustrezne predpostavke, je najpomembnejša lastnost ta, da se enoblike in vektorji pri spremembi koordinat na nek način pretvorijo. To so lastnosti, ki fizike najpogosteje skrbijo, ko se posvetujejo o stvareh, kot je splošna teorija relativnosti.

Tenzorji kot matematični objekti so "multilinearni" operatorji; to pomeni, da sprejemajo množice vektorjev (in enoličnikov) in vračajo druge tenzorje (v nasprotju z linearnimi operatorji, ki sprejemajo vektorje in vračajo vektorje). Ti imajo različne načine uporabe.

Recimo, da želite razumeti splošno teorijo tenzorjev. V tem primeru morate razumeti abstraktno algebro in neverjetno linearno algebro), in če želite razumeti tenzorski račun, morate razumeti tudi teorijo diferencialnih mnogoterosti.

Končne misli

V tem članku ste izvedeli, da:

• Tenzorji so večdimenzionalne tabele z različnimi lastnostmi.
• Vsaka večplastna zbirka ni tenzor.
• Vektor je vedno enodimenzionalni tenzor, enodimenzionalni tenzor pa je vedno bodisi vektor bodisi ko-vektor. Matrika je ime za dvodimenzionalne tenzorje.
• Vektor je enodimenzionalna matrika števil, pogosto znana kot matrika, pri čemer je m ali n = 1. Vektor, tako kot matrika, se lahko uporablja za izvajanje različnih matematičnih operacij, matrike pa je mogoče preprosto množiti z vektorji in obratno.
• Po drugi strani si lahko tenzor predstavljamo kot posplošeno matriko, ki jo opisuje njen rang.

Sorodni članki

Čarovnik proti čarovniku (Kdo je močnejši?)

Različne vrste zrezkov (T-Bone, Ribeye, Tomahawk in Filet Mignon)

Razlike med letali Cessna 150 in Cessna 152 (primerjava)