Tensors ແມ່ນ arrays ສະລັບສັບຊ້ອນທີ່ມີຄຸນສົມບັດສະເພາະ ແລະແຕກຕ່າງກັນ. ບໍ່ແມ່ນທຸກໆຄໍເລັກຊັນແບບຫຼາຍຮູບຫຼາຍແບບແມ່ນຕົວເຕັນ. ທັງສອງ vectors ຫຼື co-vectors ສາມາດເປັນຕົວແທນເປັນ array ທີ່ສາມາດເຂົ້າເຖິງໄດ້ຂອງຕົວເລກ.

ຄວາມແຕກຕ່າງພຽງແຕ່ວ່າການເຊື່ອມໂຍງສອງອັນນັ້ນມາເມື່ອທ່ານມີຕົວເລກທີ່ຫຼາກຫຼາຍທີ່ເປັນຕົວແທນຂອງວັດຖຸບົນພື້ນຖານອັນດຽວ ແລະຕ້ອງການຊອກຫາວ່າຕົວເລກໃດທີ່ເຮັດໃຫ້ສິ່ງດຽວກັນສັບສົນຢູ່ໃນພື້ນທີ່ແຕກຕ່າງກັນ.

ປ້າຍ ແລະກົດລະບຽບການຫັນປ່ຽນມີຄວາມຄ້າຍຄືກັນເລັກນ້ອຍສຳລັບ vectors ແລະ co-vectors. vectors ແລະ co-vectors ປົກກະຕິແລ້ວແມ່ນ "ຖັນຂອງຕົວເລກ" ຫຼື "ເສັ້ນຂອງຕົວເລກ," ຕາມລໍາດັບ.

ຄວາມແຕກຕ່າງຂອງ vector ແລະ tensor

ໂດຍຫຍໍ້, vector ຈະສະເຫມີ. ເປັນ tensor ມິຕິລະດັບດຽວ; ຖ້າທ່ານມີ tensor ມິຕິຫນຶ່ງ, ມັນແນ່ນອນວ່າຈະເປັນ vector ຫຼື co-vector. tensors ສອງມິຕິແມ່ນເປັນທີ່ຮູ້ຈັກເປັນ matrices.

ມີສີ່ປະເພດຂອງ tensors ສອງມິຕິທີ່ແຕກຕ່າງກັນ, ແຕ່ບໍ່ມີຊື່ສະເພາະ. ໃນກໍລະນີຂອງ vectors, ກົດລະບຽບການຫັນປ່ຽນແມ່ນແຕກຕ່າງກັນເລັກນ້ອຍໃນເວລາທີ່ທ່ານຍ້າຍຈາກພື້ນຖານຫນຶ່ງໄປຫາອື່ນ, ແຕ່ບໍ່ມີຊື່ສະເພາະສໍາລັບ tensors ເຫຼົ່ານີ້: ມັນເປັນພຽງແຕ່ matrices.

ບໍ່ຊ້າຫຼືຫຼັງຈາກນັ້ນ, ເຂົາເຈົ້າສາມາດເອີ້ນວ່າໃດໆ. array ສອງມິຕິລະດັບເປັນ "matrix," ເຖິງແມ່ນວ່າມັນບໍ່ແມ່ນ tensor. ອີກເທື່ອຫນຶ່ງ, ສໍາລັບລາຍລະອຽດເພີ່ມເຕີມກ່ຽວກັບຄວາມແຕກຕ່າງລະຫວ່າງ array ແລະ tensor, ເບິ່ງຕໍ່ກັບການສົນທະນາກ່ອນໜ້ານີ້.

ສິ່ງທີ່ຄວນຮູ້ກ່ຽວກັບ Tensors

Tensors ແມ່ນ arrays ສະລັບສັບຊ້ອນທີ່ມີຄຸນສົມບັດສະເພາະ ແລະແຕກຕ່າງກັນ.

ເທນເຊີແມ່ນວັດຖຸທາງຄະນິດສາດທີ່ສາມາດໃຊ້ເພື່ອອະທິບາຍຄຸນສົມບັດທີ່ສຳຄັນໄດ້, ຄືກັນກັບສະເກັດເງິນພ້ອມກັບ vectors. tensors ແມ່ນພຽງແຕ່ inference ຂອງ scalrs ແລະ vectors; a scalar is a 0 rank tensor, and a vector is a 1st rank tensor.

ອັນ​ດັບ​ຂອງ tensor ຖືກ​ກໍາ​ນົດ​ໂດຍ​ຈໍາ​ນວນ​ຂອງ​ທິດ​ທາງ (ແລະ​ເພາະ​ສະ​ນັ້ນ​ຂະ​ຫນາດ​ຂອງ array​) ທີ່​ຈໍາ​ເປັນ​ເພື່ອ​ກໍາ​ນົດ ມັນ. ສໍາລັບຕົວຢ່າງ, ຄຸນສົມບັດທີ່ຕ້ອງການວິທີການຫນຶ່ງ (ຫຼືອັນດັບທໍາອິດ) ສາມາດອະທິບາຍໄດ້ງ່າຍໂດຍ vector ຖັນ 3×1. ຕົວເລກເກົ້າ, ເຊັ່ນດຽວກັບ 3 × 3 matrix ທົ່ວໄປ, 3n coefficients ສາມາດອະທິບາຍ tensor ອັນດັບທີ n ໄດ້.

ຄວາມຕ້ອງການສໍາລັບ tensor ອັນດັບທີສອງແມ່ນມາໃນເວລາທີ່ພວກເຮົາຈໍາເປັນຕ້ອງຄິດກ່ຽວກັບຫຼາຍກວ່າຫນຶ່ງທິດທາງເພື່ອອະທິບາຍ. 1 ຂອງລັກສະນະທາງດ້ານຮ່າງກາຍເຫຼົ່ານີ້.

ຕົວຢ່າງທີ່ສົມບູນແບບຂອງສິ່ງນີ້ແມ່ນຖ້າພວກເຮົາຕ້ອງການບອກການນໍາໄຟຟ້າຂອງໄປເຊຍກັນ isotropic ໃດ. ພວກເຮົາຮູ້ວ່າໂດຍທົ່ວໄປແລ້ວ, ຕົວນໍາ isotropic ທີ່ຮຽກຮ້ອງໃຫ້ປະຕິບັດຕາມກົດຫມາຍຂອງ Ohm ແລະນັ້ນແມ່ນ; j=σE. ນີ້ຫມາຍຄວາມວ່າຄວາມຫນາແຫນ້ນຂອງປະຈຸບັນ j ແມ່ນຂະຫນານກັບພາກສະຫນາມໄຟຟ້າທີ່ອຸທິດຕົນ, E ແລະແຕ່ລະສ່ວນຂອງ j ແມ່ນອັດຕາສ່ວນເສັ້ນກັບອົງປະກອບຂອງ E. (ເຊັ່ນ: j1 = σE1).

ອົງປະກອບຂອງສະໜາມໄຟຟ້າ

ຢ່າງໃດກໍຕາມ, ຄວາມໜາແໜ້ນຂອງກະແສໄຟຟ້າທີ່ກະຕຸ້ນໃນ ອຸປະກອນການ anisotropic ຈະບໍ່ຈໍາເປັນຕ້ອງຂະຫນານກັບພາກສະຫນາມໄຟຟ້າທີ່ກ່ຽວຂ້ອງເນື່ອງຈາກໄປເຊຍກັນທິດທາງທີ່ແຕກຕ່າງກັນຂອງການໄຫຼຂອງປະຈຸບັນ (ຕົວຢ່າງທີ່ດີເລີດນີ້ແມ່ນຢູ່ໃນ graphite). ນີ້ຊີ້ໃຫ້ເຫັນວ່າ, ໂດຍທົ່ວໄປ, ແຕ່ລະອົງປະກອບຂອງ vector ຄວາມຫນາແຫນ້ນທີ່ມີຢູ່ແລ້ວສາມາດອີງໃສ່ທຸກພາກສ່ວນຂອງພາກສະຫນາມໄຟຟ້າໃນປະຈຸບັນ.

ດັ່ງນັ້ນ, ໂດຍທົ່ວໄປແລ້ວ, ການນໍາໄຟຟ້າແມ່ນ tensor ອັນດັບທີ 2 ແລະສາມາດແກ້ໄຂໄດ້ໂດຍເກົ້າຕົວຄູນເອກະລາດ, ເຊິ່ງສາມາດສະແດງໃຫ້ເຫັນໃນ matrix 3 × 3.

ນີ້ຫມາຍຄວາມວ່າຄວາມຫນາແຫນ້ນຂອງ j ໃນປະຈຸບັນແມ່ນຂະຫນານກັບພາກສະຫນາມໄຟຟ້າທີ່ອຸທິດຕົນ, E ແລະວ່າທຸກໆສ່ວນຂອງ j ແມ່ນອັດຕາສ່ວນເສັ້ນຕໍ່ພາກສະຫນາມ.

ບາງຕົວຢ່າງຂອງ Tensors ອັນດັບທີສອງ

ບາງຕົວຢ່າງອື່ນໆ ຂອງ tensors ອັນດັບທີສອງປະກອບມີ:

• ຄວາມອ່ອນໄຫວຕໍ່ໄຟຟ້າ
• ການນໍາຄວາມຮ້ອນ
• ຄວາມກົດດັນ

ໂດຍທົ່ວໄປແລ້ວພວກມັນກ່ຽວຂ້ອງກັບ vector ກັບ vector ອື່ນ ຫຼື dual rank tensor ອື່ນກັບ scalar. Tensors ຂອງອັນດັບທີ່ສູງແມ່ນໄດ້ຖືກແນະນໍາໃຫ້ອະທິບາຍຢ່າງເຕັມສ່ວນຄຸນສົມບັດທີ່ບອກສອງ tensors ອັນດັບສອງ (ເຊັ່ນ: ຄວາມແຂງ (ອັນດັບທີ 4): ຄວາມກົດດັນແລະຄວາມເມື່ອຍລ້າ) ຫຼື tensor ອັນດັບທີສອງແລະ vector (ເຊັ່ນ: Piezoelectricity (3rd.rank): ຄວາມກັງວົນ ແລະ polarization) 1>

vector ແມ່ນຫຍັງ?

ວິກເຕີແມ່ນອາເຣ 1 ມິຕິຂອງຕົວເລກ, ເມຕຣິກທີ່ m ຫຼື n ເທົ່າກັບ 1. ຄ້າຍຄືກັນກັບເມທຣິກ, ມັນເປັນໄປໄດ້ທີ່ຈະປະຕິບັດການຄິດໄລ່ທາງຄະນິດສາດຕ່າງໆໃນ vector, ແລະມັນງ່າຍທີ່ຈະ ຄູນ matrices ກັບ vectors ແລະໃນທາງກັບກັນ.

ແນວໃດກໍ່ຕາມ, tensor ສາມາດຄິດວ່າເປັນ matrix ທົ່ວໄປທີ່ອັນດັບຂອງມັນສາມາດອະທິບາຍໄດ້.

ລະດັບຂອງ tensor ເປັນຈໍານວນເຕັມຂອງ 0 ຫຼືສູງກວ່າ. ຕາຕະລາງສາມາດເປັນຕົວແທນຂອງ tensor ທີ່ມີອັນດັບ 0, tensor ທີ່ມີອັນດັບຫນຶ່ງສາມາດເປັນຕົວແທນໂດຍ vector, ແລະ matrix ສາມາດເປັນຕົວແທນ tensor ຂອງອັນດັບສອງ. ນອກຈາກນີ້ຍັງມີ tensors ຂອງອັນດັບສາມແລະສູງກວ່າ, ຄົນສຸດທ້າຍແມ່ນມີຄວາມຫຍຸ້ງຍາກຫຼາຍທີ່ຈະເຫັນພາບ.

ນອກເໜືອໄປຈາກອັນດັບ, tensors ມີລັກສະນະສະເພາະທີ່ກ່ຽວຂ້ອງກັບວິທີປະຕິສຳພັນກັບຫົວໜ່ວຍຄະນິດສາດອື່ນໆ. ຖ້ານິຕິບຸກຄົນໃດນຶ່ງໃນປະຕິສຳພັນຫັນປ່ຽນເປັນນິຕິບຸກຄົນ ຫຼືຫົວໜ່ວຍອື່ນ, tensor ຈະຕ້ອງປະຕິບັດຕາມກົດລະບຽບການຫັນປ່ຽນທີ່ຄ້າຍຄືກັນ. array ມິຕິຂອງຕົວເລກ, ມັກຈະເອີ້ນວ່າ matrix, ບ່ອນທີ່ m ຫຼື n = ຫນຶ່ງ.

ປົກກະຕິ vectors ທັງໝົດແມ່ນ tensors. ແຕ່ tensors ທັງຫມົດບໍ່ສາມາດເປັນ vectors. ນີ້ຫມາຍຄວາມວ່າ tensors ເປັນວັດຖຸທີ່ແຜ່ຂະຫຍາຍຫຼາຍກ່ວາ vector (ເວົ້າຢ່າງເຂັ້ມງວດ, ເຖິງແມ່ນວ່ານັກຄະນິດສາດປະກອບ tensors ຜ່ານ vectors). ເທນເຊີຖືກອະທິບາຍທາງເທັກນິກຜ່ານສອງວັດຖຸທີ່ແຕກຕ່າງກັນ:

• ວິກເຕີ
• ຮູບແບບດຽວ ("ສອງ" vectors)

ວິກເຕີແມ່ນວັດຖຸສະເພາະທີ່ເຈົ້າຮູ້ວ່າການນັບອັນໃດອັນໃດອັນໜຶ່ງອັນໃດອັນໜຶ່ງຂອງພວກມັນ (ການບວກ vector) ສະແດງເຖິງການປ່ຽນຂະໜາດ (ຍັງເອີ້ນວ່າການຄູນສະເກັດລາ).

ຮູບແບບໜຶ່ງ, ເຊັ່ນດຽວກັນ, ມີແນວຄິດອັນດຽວກັນທັງໝົດ; ນອກ​ຈາກ​ນັ້ນ​, ມັນ​ສາ​ມາດ​ປະ​ຕິ​ບັດ​ການ​ໃນ vectors ແລະ​ຫຼັງ​ຈາກ​ນັ້ນ​ສະ​ເກັດ​ຄືນ​. ສໍາ​ລັບ​ຕົວ​ຢ່າງ​ແມ່ນ​ຢູ່​ໃນ​ຄໍາ​ສັ່ງ​: ຕົວ​ຢ່າງ prototypical ທີ່​ສຸດ​ລວມ​ມີ vectors Euclidean – ຈຸດ​ຂອງ​ຊ່ອງ​.

ຕົວ​ຢ່າງ​ລວມ​ມີ​ຮູບ​ແບບ​ຫນຶ່ງ​ທີ່​ຈະ​ເປັນ ແມ່​ເຫຼັກ “vector” (ມັນບໍ່ແມ່ນ “ຄວາມຈິງ” vector) ຫຼືຕົວປະຕິບັດການ gradient .

ເມື່ອທ່ານເພີ່ມອື່ນໆທີ່ເຫມາະສົມ ສົມມຸດຕິຖານ, ຊັບສິນທີ່ສໍາຄັນທີ່ສຸດແມ່ນວ່າຮູບແບບຫນຶ່ງແລະ vectors ປ່ຽນໃນບາງລັກສະນະພາຍໃຕ້ການປ່ຽນແປງຂອງຈຸດປະສານງານ. ເຫຼົ່ານີ້ແມ່ນຄຸນສົມບັດທີ່ນັກຟິສິກມັກຈະກັງວົນທີ່ສຸດໃນເວລາທີ່ປຶກສາຫາລືກ່ຽວກັບສິ່ງຕ່າງໆເຊັ່ນທິດສະດີຂອງຄວາມກ່ຽວຂ້ອງທົ່ວໄປ.

ເທນເຊີ, ໂດຍການຍືດຕົວ, ເນື່ອງຈາກວັດຖຸທາງຄະນິດສາດແມ່ນຕົວປະຕິບັດການ “multilinear”; ນີ້ແມ່ນການເວົ້າວ່າ, ພວກເຂົາເຈົ້າໃຊ້ເວລາໃນຊຸດຂອງ vectors (ແລະຮູບແບບຫນຶ່ງ) ແລະສົ່ງຄືນ tensor ອື່ນ (ກົງກັນຂ້າມກັບຕົວປະຕິບັດການເສັ້ນ, ເຊິ່ງໃຊ້ເວລາໃນ vectors ແລະ vectors ກັບຄືນ). ເຫຼົ່ານີ້ມີການນໍາໃຊ້ທີ່ແຕກຕ່າງກັນ.

ສົມມຸດທ່ານຕ້ອງການເຂົ້າໃຈທິດສະດີທົ່ວໄປຂອງ tensors. ໃນກໍລະນີດັ່ງກ່າວ, ທ່ານຄວນຮັບຮູ້ algebra abstract ແລະ algebra ເສັ້ນ incredibly), ແລະຖ້າຫາກວ່າທ່ານກໍາລັງຈະເຂົ້າໃຈ tensor calculus, ທ່ານຄວນເຂົ້າໃຈທິດສະດີຂອງ manifolds ທີ່ແຕກຕ່າງກັນ.

ຄວາມຄິດສຸດທ້າຍ

ໃນ​ບົດ​ຄວາມ​ນີ້, ທ່ານ​ໄດ້​ຮຽນ​ຮູ້​ວ່າ:

• ເທນ​ເຊີ​ແມ່ນ​ອາ​ເຣ​ຫຼາຍ​ມິ​ຕິ​ລະ​ດັບ​ທີ່​ມີ​ຄຸນ​ສົມ​ບັດ​ທີ່​ແຕກ​ຕ່າງ​ກັນ.
• ບໍ່​ແມ່ນ​ທຸກ​ການ​ເກັບ​ກໍາ​ຫຼາຍ​ຮູບ​ແບບ​ເປັນ tensor.
• vector ເປັນ tensor ມິ​ຕິ​ລະ​ພາບ​ສະ​ເຫມີ​ໄປ​, ແລະ tensor ມິ​ຕິ​ລະ​ດັບ​ຫນຶ່ງ​ສະ​ເຫມີ​ໄປ​. ທັງ vector ຫຼື vector ຮ່ວມ. ເມທຣິກແມ່ນຊື່ທີ່ຕັ້ງໃຫ້ກັບ tensors ສອງມິຕິ. matrix, ສາມາດໃຊ້ເພື່ອປະຕິບັດການດໍາເນີນການທາງຄະນິດສາດທີ່ຫຼາກຫຼາຍ, ແລະມັນງ່າຍດາຍທີ່ຈະຄູນ matrices ກັບ vectors ແລະໃນທາງກັບກັນ.
• ໃນອີກດ້ານຫນຶ່ງ, tensor ສາມາດ conceived ເປັນ. matrix ທົ່ວໄປທີ່ອະທິບາຍໂດຍອັນດັບຂອງມັນ.

ບົດຄວາມທີ່ກ່ຽວຂ້ອງ

Wizard vs. Warlock (ໃຜເຂັ້ມແຂງກວ່າ?)

ປະເພດຕ່າງໆຂອງ Steaks (T -Bone, Ribeye, Tomahawk, ແລະ Filet Mignon)

ຄວາມແຕກຕ່າງລະຫວ່າງ Cessna 150 ແລະ Cessna 152 (ການປຽບທຽບ)