Тензорлар - бұл ерекше және әртүрлі қасиеттері бар күрделі массивтер. Әрбір көп қырлы жинақ тензор емес.

Бір өлшемді тензорлардың екі түрі бар: Оларға векторлар мен ко-векторлар жатады. Векторлар немесе ко-векторлар қол жетімді сандар массиві ретінде ұсынылуы мүмкін.

Жалғыз айырмашылық мынада, бұл екеуін байланыстыру сізде бір негізде нысанды білдіретін сан алуан сандар болған кезде және қандай сандар бір нәрсені әртүрлі негізде қиындатып жатқанын білгіңіз келгенде болады.

Трансформация белгілері мен ережелері векторлар мен ко-векторлар үшін аздап ұқсамайды. Векторлар мен ко-векторлар әдетте сәйкесінше «сандардың бағандары» немесе «сандар жолдары» болып табылады.

Векторлар мен тензорлардың айырмашылығы

Қысқаша айтқанда, вектор әрқашан болады. бір өлшемді тензор болуы; егер сізде бір өлшемді тензор болса, ол міндетті түрде вектор немесе ко-вектор болады. Екі өлшемді тензорлар матрицалар деп аталады.

Екі өлшемді тензорлардың төрт түрі бар, бірақ арнайы атаулар жоқ. Векторлар жағдайында бір базистен екіншісіне ауысқанда түрлендіру ережелері аздап ерекшеленеді, бірақ бұл тензорлардың арнайы атаулары жоқ: олар тек матрицалар.

Ерте ме, кеш пе, оларды кез келген деп атауға болады. екі өлшемді массив тензор болмаса да, «матрица». Тағы да, массив пен тензор арасындағы айырмашылық туралы қосымша мәліметтерді қараңызалдыңғы талқылауға.

Тензорлар туралы не білу керек

Тензорлар - ерекше және әртүрлі қасиеттері бар күрделі массивтер.

Тензорлар - векторлармен бірге скалярлар сияқты маңызды қасиеттерді сипаттау үшін пайдалануға болатын математикалық объектілер. Тензорлар жай ғана скалярлар мен векторлардың қорытындысы; скаляр – 0-дәрежелі тензор, ал вектор – 1-ші дәрежелі тензор.

Тензордың дәрежесі анықтауға қажетті бағыттар санымен (демек, массивтің өлшемділігімен) анықталады. ол. Мысалы, бір тәсілді (немесе бірінші дәрежені) қажет ететін қасиеттерді 3×1 баған векторы арқылы оңай сипаттауға болады.

Сонымен қатар, екі ретті қажет ететін қасиеттерді (екінші дәрежелі тензорлар) анықтауға болады: тоғыз сан, жалпы 3×3 матрицадағы сияқты, 3n коэффициенттері n-ші дәрежелі тензорды сипаттай алады.

Екінші дәрежелі тензорларға қойылатын талап сипаттау үшін бірнеше бағыт туралы ойлану қажет болғанда туындайды. Осы физикалық аспектілердің 1-і.

Бұның тамаша мысалы, кез келген изотропты кристалдың электр өткізгіштігін айту керек болса. Жалпы алғанда, Ом заңына бағынуды талап ететін изотропты өткізгіштер екенін білеміз, яғни; j=σE. Бұл j ток тығыздығы бөлінген электр өрісіне, E параллель екенін және j-нің әрбір бөлігі E. элементіне сызықты пропорционал екенін білдіреді (мысалы, j1 = σE1).

Электр өрісінің құрамдас бөліктері

Алайда, индукцияланған ток тығыздығы анизотропты материал кристалдың ток ағынының әртүрлі бағыттарына байланысты тартылған электр өрісіне міндетті түрде параллель болмайды (оның тамаша мысалы графитте). Бұл, жалпы алғанда, қолданыстағы тығыздық векторының әрбір құрамдас бөлігі қазіргі электр өрісінің барлық бөліктеріне сүйене алатынын көрсетеді.

Сонымен, жалпы электр өткізгіштік 2-ші дәрежелі тензор және тоғыз тәуелсіз коэффициентпен белгіленуі мүмкін, оны 3×3 матрицада суреттеуге болады.

Бұл j ток тығыздығы бөлінген электр өрісіне, E параллель екенін және j-нің әрбір бөлігі бір өріске сызықты пропорционал екенін білдіреді.

Екінші дәрежелі тензорлардың кейбір мысалдары

Басқа мысалдар Екінші дәрежелі тензорларға мыналар кіреді:

• Электрлік сезімталдық
• Жылуөткізгіштік
• Стресс

Олар әдетте векторды басқа векторға немесе басқа екі дәрежелі тензорды скалярға жатқызады. Жоғары дәрежелі тензорларға екі екінші дәрежелі тензорларды (мысалы, Қаттылық (4-ші дәреже): кернеу мен деформация) немесе екінші дәрежелі тензор мен векторды (мысалы, пьезоэлектрлік (3-ші)) көрсететін қасиеттерді толық сипаттау тапсырылады.дәреже): алаңдаушылық және поляризация).

Осы және басқа мысалдарды көру және тензорлардың құрамдас бөліктерінің өзгеруі осы қасиеттерге қалай әсер ететінін зерттеу үшін төмендегі флэш-бағдарлама арқылы өтіңіз.

Тензорларға кіріспе

Вектор дегеніміз не?

Вектор - 1 өлшемді сандар массиві, m немесе n 1-ге тең матрица. Матрицаға ұқсас, векторда әртүрлі математикалық амалдарды орындауға болады және оны орындау оңай. матрицаларды векторларымен көбейту және керісінше.

Бірақ тензорды оның дәрежесі сипаттай алатын жалпылама матрица ретінде қарастыруға болады.

Тензор деңгейі - 0 немесе одан жоғары бүтін сан. Скаляр 0 дәрежелі тензорды, бірінші дәрежелі тензорды вектормен, ал матрица екінші дәрежелі тензорды көрсете алады. Үшінші және одан жоғары дәрежелі тензорлар да бар, соңғыларын елестету қиынырақ.

Дәрежеден басқа, тензорлардың бір-бірімен математикалық нысандармен өзара әрекеттесуіне байланысты ерекше сипаттамалары бар. Егер өзара әрекеттесудегі объектілердің кез келгені басқа нысанды немесе нысандарды түрлендірсе, онда тензор ұқсас түрлендіру ережесіне бағынуы керек.

Векторлар мен тензорлардың айырмашылығы

Вектор - бір- сандардың өлшемді массиві, көбінесе матрица ретінде белгілі, мұнда m немесе n = бір.

Барлық векторлар әдетте тензорлар болып табылады. Бірақ барлық тензорлар вектор бола алмайды. Бұлбұл тензорлардың векторға қарағанда кең таралған нысан екенін білдіреді (қатаң айтқанда, математиктер тензорларды векторлар арқылы жинайды). Тензорлар екі түрлі объект арқылы техникалық сипатталады:

• Векторлар
• Бір пішінді («қос» векторлар)

Векторлар тек олардың кез келген екеуін санау (векторларды қосу) масштабты өзгертуге нені көрсететінін білетін объектілер болып табылады (сонымен қатар скалярлық көбейту деп те аталады).

Сол сияқты бір форманың барлық ұғымдары бірдей; бұдан басқа, ол векторларда жұмыс істей алады, содан кейін скалярларды қайтарады. Мысалдар ретімен берілген: Ең прототиптік мысалдарға евклидтік векторлар – кеңістік нүктелері жатады.

Мысалдар магниттік потенциал «векторы» («шын» вектор емес) немесе градиент операторы болатын бір пішінді қамтиды.

Басқа сәйкесті қосқанда Ең маңызды қасиет - координаталар өзгерген кезде бір пішіндер мен векторлар қандай да бір түрде түрленеді. Бұл жалпы салыстырмалылық теориясы сияқты нәрселер туралы кеңескен кезде физиктерді жиі алаңдататын қасиеттер.

Тензорлар ұзарту бойынша, өйткені математикалық объектілер «көп сызықты» операторлар болып табылады; бұл дегеніміз, олар векторлар жиынын (және бір пішінді) қабылдайды және басқа тензорды қайтарады (векторларды қабылдайтын және векторларды қайтаратын сызықтық операторларға қарағанда). Бұлардың әр түрлі қолданылуы бар.

Айлықтензорлардың жалпы теориясын түсінгіңіз келеді. Бұл жағдайда сіз абстрактілі алгебраны және керемет сызықтық алгебраны түсінуіңіз керек) және тензорлық есептеуді түсінгіңіз келсе, дифференциалданатын көптүрліліктер теориясын да түсінуіңіз керек.

Қорытынды ойлар

Бұл мақалада сіз мынаны білдіңіз:

• Тензорлар - бұл әртүрлі қасиеттері бар көп өлшемді массивтер.
• Әр көп қырлы жиын тензор емес.
• Вектор әрқашан бір өлшемді тензор, ал бір өлшемді тензор әрқашан вектор немесе ковектор. Матрица – екі өлшемді тензорларға берілген атау.
• Вектор – сандардың бір өлшемді массиві, көбінесе матрица ретінде белгілі, мұндағы m немесе n = 1. Вектор, мысалы матрицаны әр түрлі математикалық амалдарды орындау үшін пайдалануға болады және матрицаларды векторлармен көбейту оңай және керісінше.
• Екінші жағынан, тензорды келесідей елестетуге болады. дәрежесі бойынша сипатталған жалпылама матрица.

Ұқсас мақалалар

Сиқыршы және Варлок (Кім күшті?)

Стейктердің әртүрлі түрлері (Т) -Bone, Ribeye, Tomahawk және Filet Mignon)

Cessna 150 және Cessna 152 арасындағы айырмашылықтар (салыстыру)