टेंसर जटिल सरणियाँ हैं जिनमें विशिष्ट और भिन्न गुण होते हैं। प्रत्येक बहुआयामी संग्रह एक टेन्सर नहीं होता है।

दो प्रकार के एक-आयामी टेन्सर होते हैं: इनमें वैक्टर और सह-वैक्टर शामिल हैं। या तो वैक्टर या सह-वैक्टर को संख्याओं की सुलभ सरणी के रूप में दर्शाया जा सकता है।

अंतर केवल इतना है कि उन दोनों को जोड़ना तब आता है जब आपके पास एक आधार पर वस्तु का प्रतिनिधित्व करने वाले विभिन्न अंक होते हैं और यह पता लगाना चाहते हैं कि कौन सी संख्याएं किसी भिन्न आधार पर एक ही चीज़ को जटिल बनाती हैं।

परिवर्तन संकेत और नियम वैक्टर और सह-वैक्टर के लिए थोड़े भिन्न हैं। वेक्टर और सह-वैक्टर आमतौर पर क्रमशः "संख्याओं के कॉलम" या "संख्याओं की रेखाएं" होते हैं।

वेक्टर और टेन्सर अंतर

संक्षेप में, एक वेक्टर हमेशा होगा एक आयामी टेंसर बनें; यदि आपके पास एक आयामी टेन्सर है, तो यह निश्चित रूप से एक सदिश या सह-वेक्टर होगा। द्वि-आयामी टेन्सर को मैट्रिसेस के रूप में जाना जाता है।

चार अलग-अलग प्रकार के द्वि-आयामी टेन्सर हैं, लेकिन कोई विशिष्ट नाम मौजूद नहीं है। सदिशों के मामले में, जब आप एक आधार से दूसरे आधार पर जाते हैं तो परिवर्तन के नियम थोड़े भिन्न होते हैं, लेकिन इन टेंसरों के लिए कोई विशिष्ट नाम नहीं हैं: वे केवल आव्यूह हैं।

जल्दी या बाद में, उन्हें कोई भी कहा जा सकता है द्वि-आयामी सरणी एक "मैट्रिक्स", भले ही वह टेंसर न हो। दोबारा, सरणी और टेन्सर के बीच अंतर के बारे में अधिक जानकारी के लिए देखेंपहले की चर्चा के लिए।

टेंसर के बारे में क्या जानना है

टेंसर जटिल सरणियाँ हैं जिनमें विशिष्ट और भिन्न गुण होते हैं।

टेंसर गणितीय वस्तुएँ हैं जिनका उपयोग सदिशों के साथ-साथ अदिशों के समान पर्याप्त गुणों का वर्णन करने के लिए किया जा सकता है। टेन्सर केवल अदिशों और सदिशों का एक अनुमान हैं; एक स्केलर 0 रैंक टेंसर है, और एक वेक्टर 1 रैंक टेंसर है।

टेन्सर की रैंक को परिभाषित करने के लिए आवश्यक दिशाओं की संख्या (और इसलिए सरणी की डायमेंशनलिटी) द्वारा पहचाना जाता है। यह। उदाहरण के लिए, जिन गुणों के लिए एक दृष्टिकोण (या पहली रैंक) की आवश्यकता होती है, उन्हें 3×1 कॉलम वेक्टर द्वारा आसानी से वर्णित किया जा सकता है। नौ संख्याएं, जैसा कि 3×3 मैट्रिक्स सामान्य में, 3n गुणांक nवीं रैंक टेन्सर का वर्णन कर सकते हैं। इन भौतिक पहलुओं में से 1।

इसका एक आदर्श उदाहरण है अगर हमें किसी आइसोट्रोपिक क्रिस्टल की विद्युत चालकता बताने की आवश्यकता है। हम जानते हैं कि सामान्य शब्दों में, आइसोट्रोपिक कंडक्टर जिन्हें ओम के नियम का पालन करने की आवश्यकता होती है और वह है; जे = σई। इसका मतलब यह है कि वर्तमान घनत्व j समर्पित विद्युत क्षेत्र, E के समानांतर है और j का प्रत्येक भाग E के प्रति तत्व के रैखिक रूप से आनुपातिक है। (उदाहरण के लिए, j1 = σE1)।

विद्युत क्षेत्र के घटक

हालांकि, वर्तमान घनत्व में प्रेरित एक अनिसोट्रोपिक सामग्री क्रिस्टल के वर्तमान प्रवाह की विभिन्न दिशाओं के कारण आवश्यक रूप से शामिल विद्युत क्षेत्र के समानांतर नहीं होगी (इसका एक उत्कृष्ट उदाहरण ग्रेफाइट में है)। इससे पता चलता है कि, सामान्य तौर पर, मौजूदा घनत्व वेक्टर का प्रत्येक घटक वर्तमान विद्युत क्षेत्र के सभी भागों पर भरोसा कर सकता है।

तो, सामान्य तौर पर, विद्युत चालकता एक दूसरी रैंक टेंसर है और इसे नौ स्वतंत्र गुणांकों द्वारा तय किया जा सकता है, जिसे 3×3 मैट्रिक्स में चित्रित किया जा सकता है।

इसका मतलब है कि वर्तमान घनत्व j समर्पित विद्युत क्षेत्र, E के समानांतर है और j का प्रत्येक भाग प्रति क्षेत्र के रैखिक रूप से आनुपातिक है।

दूसरी रैंक टेन्सर के कुछ उदाहरण

कुछ अन्य उदाहरण दूसरे रैंक टेंसर में शामिल हैं:

• बिजली की संवेदनशीलता
• तापीय चालकता
• तनाव

वे आम तौर पर एक सदिश को दूसरे सदिश से या एक अन्य दोहरी रैंक टेन्सर को एक अदिश से संबंधित करते हैं। अधिक उच्च रैंक के टेंसरों को उन गुणों का पूरी तरह से वर्णन करने का निर्देश दिया जाता है जो दो सेकंड-रैंक टेंसर (जैसे, कठोरता (चौथा रैंक): तनाव और तनाव) या एक दूसरे रैंक के टेंसर और एक वेक्टर (जैसे, पीजोइलेक्ट्रिकिटी (तीसरा) बताते हैं।रैंक): चिंता और ध्रुवीकरण)।

इन और अधिक उदाहरणों को देखने के लिए और जांच करने के लिए कि टेन्सर के घटकों को बदलने से ये गुण कैसे प्रभावित होते हैं, नीचे दिए गए फ्लैश प्रोग्राम के माध्यम से जाएं।

टेन्सर्स का परिचय

सदिश क्या है?

वेक्टर संख्याओं का एक 1-आयामी सरणी है, एक मैट्रिक्स जहां m या n 1 के बराबर होता है। मैट्रिक्स के समान, वेक्टर पर विभिन्न गणितीय संचालन करना संभव है, और यह आसान है मैट्रिक्स को सदिशों से गुणा करें और इसके विपरीत।

टेन्सर का स्तर 0 या उससे अधिक की पूर्णांक संख्या है। एक स्केलर रैंक 0 के साथ एक टेंसर का प्रतिनिधित्व कर सकता है, एक रैंक के साथ एक टेंसर को एक वेक्टर द्वारा दर्शाया जा सकता है, और एक मैट्रिक्स रैंक दो के टेंसर का प्रतिनिधित्व कर सकता है। रैंक तीन और उच्चतर के टेन्सर भी हैं, बाद वाले की कल्पना करना अधिक कठिन है।

रैंक के अलावा, टेंसर्स की विशिष्ट विशेषताएं होती हैं कि वे एक दूसरे गणितीय संस्थाओं के साथ कैसे बातचीत करते हैं। यदि किसी इंटरेक्शन में कोई भी संस्था अन्य इकाई या संस्थाओं को रूपांतरित करती है, तो टेंसर को एक समान परिवर्तन नियम का पालन करना चाहिए।

वेक्टर और टेंसर के बीच अंतर

वेक्टर एक है- संख्याओं की आयामी सरणी, जिसे अक्सर मैट्रिक्स के रूप में जाना जाता है, जहाँ m या n = एक होता है।

सभी सदिश प्राय: टेन्सर होते हैं। लेकिन सभी टेंसर सदिश नहीं हो सकते। यहइसका मतलब है कि टेंसर वेक्टर की तुलना में अधिक व्यापक वस्तु हैं (सख्ती से बोलना, हालांकि गणितज्ञ वैक्टर के माध्यम से टेंसर को इकट्ठा करते हैं)। टेंसर को तकनीकी रूप से दो अलग-अलग वस्तुओं के माध्यम से वर्णित किया गया है:

• वेक्टर
• एक-रूप ("दोहरी" वैक्टर)

वैक्टर विशेष रूप से ऐसी वस्तुएं हैं जिनके लिए आप जानते हैं कि उनमें से किसी भी दो (वेक्टर जोड़) को गिनना स्केल-चेंजिंग को इंगित करता है (जिसे स्केलर गुणन भी कहा जाता है)।

एक रूप, इसी तरह, सभी समान धारणाएँ हैं; इसके अलावा, यह वैक्टर पर काम कर सकता है और फिर स्केलर लौटा सकता है। उदाहरण के लिए क्रम में हैं: सबसे प्रोटोटाइपिक उदाहरणों में यूक्लिडियन वैक्टर-अंतरिक्ष के बिंदु शामिल हैं।

उदाहरणों में एक-रूप शामिल हैं चुंबकीय क्षमता "वेक्टर" (यह "सही" वेक्टर नहीं है) या ग्रेडिएंट ऑपरेटर ।

जब आप अन्य उपयुक्त जोड़ते हैं मान्यताओं, सबसे महत्वपूर्ण संपत्ति यह है कि निर्देशांक के परिवर्तन के तहत एक-रूप और वैक्टर किसी तरह से परिवर्तित होते हैं। सामान्य सापेक्षता के सिद्धांत जैसी चीजों के बारे में परामर्श करते समय भौतिक विज्ञानी अक्सर इन गुणों के बारे में चिंतित होते हैं।

टेन्सर, बढ़ाव द्वारा, गणितीय वस्तुओं के रूप में "बहुरेखीय" संकारक हैं; कहने का तात्पर्य यह है कि, वे सदिशों (और एक-रूपों) के सेट में लेते हैं और एक अन्य टेन्सर लौटाते हैं (रैखिक ऑपरेटरों के विपरीत, जो सदिशों को लेते हैं और सदिश लौटाते हैं)। इनके अलग-अलग उपयोग हैं।

मान लीजिएआप टेंसरों के सामान्य सिद्धांत को समझना चाहते हैं। उस स्थिति में, आपको अमूर्त बीजगणित और अविश्वसनीय रूप से रैखिक बीजगणित का एहसास होना चाहिए), और यदि आप टेन्सर कैलकुलस को समझने जा रहे हैं, तो आपको अलग-अलग कई गुना के सिद्धांत को भी समझना चाहिए।

अंतिम विचार

इस लेख में, आपने सीखा है कि:

• टेंसर अलग-अलग गुणों के साथ बहुआयामी सरणियाँ हैं।
• हर बहुआयामी संग्रह टेन्सर नहीं होता।
• सदिश हमेशा एक-आयामी टेंसर होता है, और एक-आयामी टेंसर हमेशा एक टेन्सर होता है। या तो एक वेक्टर या एक सह-वेक्टर। मैट्रिक्स द्वि-आयामी टेन्सर को दिया गया नाम है।
• वेक्टर संख्याओं का एक-आयामी सरणी है, जिसे अक्सर मैट्रिक्स के रूप में जाना जाता है, जहां m या n = 1. एक वेक्टर, जैसे एक मैट्रिक्स, का उपयोग विभिन्न प्रकार के गणितीय कार्यों को निष्पादित करने के लिए किया जा सकता है, और मैट्रिक्स को वैक्टर से गुणा करना सरल है और इसके विपरीत।
• दूसरी ओर, एक टेंसर की कल्पना की जा सकती है इसकी रैंक द्वारा वर्णित एक सामान्यीकृत मैट्रिक्स।

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