တင်းဆာများသည် တိကျပြီး ကွဲပြားသော ဂုဏ်သတ္တိများရှိသည့် ရှုပ်ထွေးသော အခင်းအကျင်းများဖြစ်သည်။ ဘက်စုံသုံး စုစည်းမှုတိုင်းသည် tensor တစ်ခုမဟုတ်ပေ။

တစ်ဘက်မြင် တင်းဆာအမျိုးအစား နှစ်မျိုးရှိသည်- ၎င်းတို့တွင် vector နှင့် co-vector များ ပါဝင်သည်။ ဗက်တာများ သို့မဟုတ် ပူးတွဲ vector များကို ဂဏန်းများ ခင်းကျင်းခြင်းအဖြစ် ကိုယ်စားပြုနိုင်သည်။

တစ်ခုတည်းသော ကွာခြားချက်မှာ အရာဝတ္ထုနှစ်ခုကို အခြေခံ၍ ကိုယ်စားပြုသည့် ဂဏန်းအမျိုးမျိုးရှိကာ မတူညီသော နယ်ပယ်အချို့တွင် တူညီသောအရာကို မည်ကဲ့သို့ ရှုပ်ထွေးစေသည်ကို ရှာဖွေလိုသောအခါတွင် တစ်ခုတည်းသော ကွာခြားချက်မှာ ၎င်းတို့နှစ်ခုကို ချိတ်ဆက်ခြင်းမှ ထွက်ပေါ်လာခြင်းဖြစ်သည်။

အသွင်ပြောင်းခြင်းလက္ခဏာများနှင့် စည်းမျဉ်းများသည် vector များနှင့် တွဲဖက် vector များအတွက် အနည်းငယ်ကွဲပြားပါသည်။ Vector နှင့် co-vector များသည် များသောအားဖြင့် "ကိန်းဂဏန်းကော်လံများ" သို့မဟုတ် "ကိန်းဂဏန်းမျဉ်းများ" အသီးသီးဖြစ်သည်။

Vector နှင့် tensor ကွာခြားချက်

အတိုချုပ်အားဖြင့်၊ vector တစ်ခုသည် အမြဲတမ်းဖြစ်နေလိမ့်မည်။ တစ်ဖက်မြင် တင်းဆာတစ်ခု ဖြစ်ပါစေ။ သင့်တွင် one-dimensional tensor ရှိပါက၊ ၎င်းသည် vector သို့မဟုတ် co-vector ဖြစ်မည်မှာ သေချာပါသည်။ နှစ်ဖက်မြင် တင်းဆာများကို matrices ဟုခေါ်သည်။

နှစ်ဘက်မြင် တင်းဆာ အမျိုးအစား လေးမျိုး ရှိသည်၊ သို့သော် တိကျသော အမည်များ မရှိပါ။ vector များ တွင်၊ အခြေခံတစ်ခုမှ တစ်ခုသို့ ပြောင်းသောအခါတွင် အသွင်ပြောင်းခြင်းဆိုင်ရာ စည်းမျဉ်းများသည် အနည်းငယ်ကွဲပြားသော်လည်း ဤ tensor အတွက် သီးခြားအမည်များ မရှိပါ။ ၎င်းတို့သည် matrices များသာဖြစ်သည်။

အနှေးနှင့်အမြန် သို့မဟုတ် နောက်ပိုင်းတွင် ၎င်းတို့ကို မည်သည့်အရာဟု ခေါ်ဆိုနိုင်ပါသည်။ နှစ်ဘက်မြင် array သည် tensor တစ်ခုမဟုတ်သည့်တိုင် "matrix" ဖြစ်သည်။ တဖန်၊ array နှင့် tensor အကြားခြားနားချက်အကြောင်း နောက်ထပ်အသေးစိတ်အချက်အလက်များအတွက် ကိုးကားပါ။အစောပိုင်းဆွေးနွေးမှုဆီသို့။

တင်းဆာများအကြောင်း သိကောင်းစရာများ

တင်းဆာများသည် တိကျပြီး ကွဲပြားခြားနားသော ဂုဏ်သတ္တိများရှိသည့် ရှုပ်ထွေးသော array များဖြစ်သည်။

တင်းဆာများသည် vector များနှင့်အတူ ကိန်းဂဏာန်းများကဲ့သို့ များပြားလှသော ဂုဏ်သတ္တိများကို ဖော်ပြရန်အတွက် အသုံးပြုနိုင်သော သင်္ချာဆိုင်ရာ အရာဝတ္ထုများဖြစ်သည်။ Tensor များသည် ရိုးရိုးစကေးလာများနှင့် vector များ၏ ကောက်ချက်တစ်ခုဖြစ်သည်။ scalar သည် 0 အဆင့် tensor ဖြစ်ပြီး vector သည် 1st rank tensor ဖြစ်သည်။

Tensor တစ်ခု၏ rank ကို သတ်မှတ်ရန် လိုအပ်သော လမ်းကြောင်းအရေအတွက် (ထို့ကြောင့် Array ၏ dimensionality) ကို သတ်မှတ်ဖော်ပြသည် အဲဒါ။ ဥပမာအားဖြင့်၊ ချဉ်းကပ်မှုတစ်ခု (သို့မဟုတ် ပထမအဆင့်) လိုအပ်သည့် ဂုဏ်သတ္တိများကို 3×1 ကော်လံ vector ဖြင့် အလွယ်တကူ ဖော်ပြနိုင်သည်။

ထို့ပြင်၊ အမှာစာနှစ်ခု (ဒုတိယအဆင့် တင်းမာမှုများ) လိုအပ်သည့် ဂုဏ်သတ္တိများကို သတ်မှတ်နိုင်သည်။ ဂဏန်းကိုးလုံး၊ 3×3 matrix ယေဘူယျကဲ့သို့ပင်၊ 3n coefficients သည် nth rank tensor ကို ဖော်ပြနိုင်သည်။

ဖော်ပြရန် ဦးတည်ချက်တစ်ခုထက်ပို၍ စဉ်းစားရန် လိုအပ်သောအခါတွင် ဒုတိယအဆင့် tensor အတွက် လိုအပ်ချက်သည် လာပါသည်။ ၁။

ဤအရာ၏ ပြီးပြည့်စုံသော ဥပမာတစ်ခုမှာ isotropic crystal ၏ လျှပ်စစ်စီးကူးမှုကို ပြောပြရန် လိုအပ်ပါသည်။ ယေဘူယျအားဖြင့် Ohm ၏ ဥပဒေကို လိုက်နာရန် လိုအပ်သော isotropic conductors များ ဖြစ်သည် ၊ j=σE။ ဆိုလိုသည်မှာ လက်ရှိသိပ်သည်းဆ j သည် မှီခိုအားထားရသော လျှပ်စစ်စက်ကွင်း E နှင့် အပြိုင်ဖြစ်ပြီး j ၏ အစိတ်အပိုင်းတစ်ခုစီသည် E ၏ ဒြပ်စင်တစ်ခုစီနှင့် အညီအညွတ်အချိုးကျကြောင်း (ဥပမာ j1 = σE1)။

လျှပ်စစ်စက်ကွင်းအစိတ်အပိုင်းများ

သို့သော် ဖြစ်ပေါ်လာသော လက်ရှိသိပ်သည်းဆ၊ anisotropic material သည် crystal ၏ မတူညီသော စီးဆင်းမှုလမ်းကြောင်းများကြောင့် ပါဝင်ပတ်သက်နေသော လျှပ်စစ်စက်ကွင်းကို မျဉ်းပြိုင်သေချာပေါက် ယှဉ်မည်မဟုတ်ပါ (၎င်း၏အကောင်းဆုံးဥပမာမှာ ဂရပ်ဖိုက်တွင်ဖြစ်သည်)။ ယေဘုယျအားဖြင့် ရှိပြီးသား သိပ်သည်းဆ vector ၏ အစိတ်အပိုင်းတစ်ခုစီသည် လက်ရှိ လျှပ်စစ်စက်ကွင်း၏ အစိတ်အပိုင်းအားလုံးကို မှီခိုအားထားနိုင်သည်ဟု ညွှန်ပြနေသည်။

ထို့ကြောင့်၊ ယေဘုယျအားဖြင့်၊ လျှပ်စစ်စီးကူးမှုသည် ဒုတိယအဆင့် tensor ဖြစ်ပြီး အမှီအခိုကင်းသော coefficient ကိုးခုဖြင့် ပြုပြင်နိုင်သည်၊ 3×3 matrix ဖြင့် သရုပ်ဖော်နိုင်သည်။

ဆိုလိုသည်မှာ လက်ရှိသိပ်သည်းဆ j သည် သီးခြားလျှပ်စစ်စက်ကွင်း E နှင့် အပြိုင်ဖြစ်ပြီး j ၏ အစိတ်အပိုင်းတိုင်းသည် အကွက်တစ်ခုစီအတွက် မျဉ်းဖြောင့်အချိုးကျပါသည်။

ဒုတိယအဆင့်တင်းမာမှုများ၏ ဥပမာအချို့

အခြားဥပမာအချို့ ဒုတိယအဆင့်တင်းမာမှုများတွင်-

• လျှပ်စစ်ဒဏ်ခံနိုင်ခြေ
• အပူစွမ်းအင်
• စိတ်ဖိစီးမှု

ယေဘုယျအားဖြင့် ၎င်းတို့သည် အခြား vector တစ်ခုသို့ ကိန်းဂဏန်းတစ်ခု သို့မဟုတ် dual rank tensor ကို scalar တစ်ခုနှင့် ဆက်စပ်ပါသည်။ ဒုတိယအဆင့် တင်းမာမှု နှစ်ခု (ဥပမာ၊ တင်းမာမှု (အဆင့် 4))၊ ဖိစီးမှုနှင့် တင်းမာမှု) သို့မဟုတ် ဒုတိယအဆင့် တင်းဆာနှင့် အားနည်းချက် (ဥပမာ၊ Piezoelectricity (3rd အဆင့်) ကို ပြောပြသော ဂုဏ်သတ္တိများကို အပြည့်အစုံဖော်ပြရန် ညွှန်ကြားထားသည်။အဆင့်)- စိုးရိမ်စိတ် နှင့် ပိုလာဇေးရှင်း)။

ဤနှင့် နောက်ထပ် ဥပမာများကို ကြည့်ရှုပြီး တင်းဆာများ၏ အစိတ်အပိုင်းများ ပြောင်းလဲခြင်းသည် ဤဂုဏ်သတ္တိများကို အကျိုးသက်ရောက်ပုံကို စုံစမ်းရန်၊ အောက်ဖော်ပြပါ flash ပရိုဂရမ်ကို ကြည့်ပါ။

တင်းဆာများအကြောင်း နိဒါန်း

Vector ဆိုတာ ဘာလဲ

vector တစ်ခုသည် 1-dimensional array တစ်ခုဖြစ်ပြီး m သို့မဟုတ် n သည် 1 နှင့် ညီမျှသည့် matrix တစ်ခုဖြစ်သည်။ matrix နှင့် ဆင်တူသည်၊ vector တစ်ခုပေါ်တွင် သင်္ချာဆိုင်ရာ လုပ်ဆောင်ချက်အမျိုးမျိုးကို လုပ်ဆောင်နိုင်သည်၊ ၎င်းသည် လွယ်ကူသည်။ ကိန်းဂဏန်းများကို vector များ နှင့် အပြန်အလှန် မြှောက်ပါ။

သို့သော်၊ tensor ကို ၎င်း၏ အဆင့် ဖော်ပြနိုင်သည့် ယေဘူယျ မက်ထရစ်အဖြစ် ယူဆနိုင်သည်။

တင်းဆာတစ်ခု၏အဆင့်သည် ကိန်းပြည့် 0 သို့မဟုတ် ထို့ထက်မြင့်မားသည်။ စကေးတစ်ခုသည် အဆင့် 0 ရှိသော tensor ကိုကိုယ်စားပြုနိုင်သည်၊ အဆင့်တစ်ခုပါသော tensor ကို vector တစ်ခုဖြင့်ကိုယ်စားပြုနိုင်ပြီး matrix သည် rank two ကိုကိုယ်စားပြုနိုင်သည်။ အဆင့်သုံးနှင့်အထက် တင်းမာမှုများလည်း ရှိပြီး နောက်ပိုင်းတွင် ပိုမိုမြင်သာရန် ခက်ခဲသည်။

အဆင့်အပြင်၊ tensor များသည် သင်္ချာဆိုင်ရာ entities အချင်းချင်း အပြန်အလှန် တုံ့ပြန်ပုံနှင့် သက်ဆိုင်သည့် သီးခြားလက္ခဏာများ ရှိသည်။ အပြန်အလှန်ဆက်သွယ်မှုတစ်ခုရှိ entities မှ အခြားentity သို့မဟုတ် entities ကိုပြောင်းလဲပါက tensor သည် အလားတူအသွင်ပြောင်းခြင်းစည်းမျဉ်းကိုလိုက်နာရပါမည်။

Vectors နှင့် Tensor အကြားကွာခြားချက်

Vector သည် တစ်ခု- m သို့မဟုတ် n = one ၊ matrix ဟုခေါ်သော ကိန်းဂဏန်းများ၏ dimensional array ၊

vector များအားလုံးသည် များသောအားဖြင့် tensor များဖြစ်သည်။ ဒါပေမယ့် tensor တွေအားလုံးက vector တွေမဖြစ်နိုင်ပါဘူး။ ဒီတင်းဆာများသည် vector တစ်ခုထက် ပိုမိုကျယ်ပြန့်သော အရာဝတ္တုဖြစ်သည် (အတိအကျပြောရလျှင် သင်္ချာပညာရှင်များသည် တင်းဆာများကို vector များမှတဆင့် စုစည်းထားသော်လည်း)။ Tensors များကို မတူညီသော အရာဝတ္ထုနှစ်ခုမှတစ်ဆင့် နည်းပညာပိုင်းအရ ဖော်ပြသည်-

• Vectors
• One-forms (“dual” vectors)

ဗက်တာများသည် ၎င်းတို့ နှစ်ခုကို ရေတွက်ခြင်း (vector ပေါင်းထည့်ခြင်း) သည် ၎င်းကို စကေးပြောင်းလဲခြင်း (စကေးပွားခြင်းဟုလည်း ခေါ်သည်) ညွှန်ပြသည့် အရာဝတ္ထုများဖြစ်သည်။

ပုံစံတစ်ခုတည်းတွင် တူညီသော သဘောတရားများ ရှိသည်။ ၎င်းအပြင် ၎င်းသည် vector များပေါ်တွင်လည်ပတ်နိုင်ပြီး scalar များကိုပြန်ပေးနိုင်သည်။ ဥပမာများအတွက် အစဉ်လိုက်ရှိပါသည်- ရှေ့ပြေး နမူနာအများစုမှာ ယူကလစ်ဒီယမ် ဗက်တာများ – အာကာသအမှတ်များ ပါဝင်သည်။

နမူနာများတွင် ပုံစံတစ်မျိုးတည်းပါဝင်သည် သံလိုက်အလားအလာ “vector” (၎င်းသည် “မှန်” ဗက်တာမဟုတ်) သို့မဟုတ် gradient အော်ပရေတာ ။

အခြားသင့်လျော်သော ထည့်သည့်အခါတွင်၊ ယူဆချက်များ၊ အထင်ရှားဆုံးသောပိုင်ဆိုင်မှုမှာ ဖော်နိတ်များနှင့် vector များသည် သြဒီနိတ်များပြောင်းလဲခြင်းအောက်တွင် အချို့သောပုံစံဖြင့် ပြောင်းလဲခြင်းပင်ဖြစ်သည်။ ယေဘူယျနှိုင်းရသီအိုရီကဲ့သို့ အရာများကို တိုင်ပင်ဆွေးနွေးသည့်အခါ ရူပဗေဒပညာရှင်များသည် မကြာခဏစိုးရိမ်လေ့ရှိသော ဂုဏ်သတ္တိများဖြစ်သည်။

သင်္ချာအရာဝတ္ထုများသည် “ဘက်စုံ” အော်ပရေတာများဖြစ်သောကြောင့် ရှည်လျားသောတင်းဆာများ၊ ဆိုလိုသည်မှာ၊ ၎င်းတို့သည် vectors အစုံ (နှင့် ပုံစံတစ်ခု) ကိုယူကာ အခြား tensor ကို ပြန်ပေးသည် ( vectors နှင့် return vectors များယူသော linear operators များနှင့် ဆန့်ကျင်ဘက်ဖြစ်သည်)။ ၎င်းတို့သည် အမျိုးမျိုးသော အသုံးအနှုန်းများရှိသည်။

ဆိုပါစို့Tensor ၏ ယေဘူယျသီအိုရီကို သင်နားလည်လိုပါသည်။ ထိုအခြေအနေတွင်၊ သင်သည် စိတ္တဇသင်္ချာနှင့် မယုံနိုင်လောက်အောင် မျဉ်းသားအက္ခရာသင်္ချာကို နားလည်သင့်သည်) နှင့် tensor calculus ကို နားလည်မည်ဆိုပါက၊ ကွဲပြားနိုင်သော manifolds သီအိုရီကို နားလည်သင့်ပါသည်။

နောက်ဆုံးအတွေးများ

ဤဆောင်းပါးတွင်၊ သင်သည်-

• တင်းဆာများသည် ကွဲပြားသောဂုဏ်သတ္တိများရှိသော ဘက်စုံအခင်းအကျင်းများဖြစ်သည်။
• ဘက်စုံသုံး စုစည်းမှုတိုင်းသည် tensor တစ်ခုမဟုတ်ပါ။
• vector တစ်ခုသည် အမြဲတမ်း one-dimensional tensor ဖြစ်ပြီး၊ one-dimensional tensor သည် အမြဲတမ်းဖြစ်သည်။ vector တစ်ခု သို့မဟုတ် ပူးတွဲ vector တစ်ခု။ Matrix သည် နှစ်ဘက်မြင် တင်းဆာများကို ပေးထားသည့် အမည်ဖြစ်သည်။
• Vector သည် ကိန်းဂဏာန်းတစ်ခု၏ ကိန်းဂဏန်းတစ်ခုဖြစ်ပြီး m သို့မဟုတ် n = 1 ဖြစ်သည့် m သို့မဟုတ် n = 1. မက်ထရစ်၊ matrix တစ်ခု၊ သင်္ချာဆိုင်ရာ လုပ်ဆောင်ချက် အမျိုးမျိုးကို လုပ်ဆောင်ရန် အသုံးပြုနိုင်ပြီး၊ matrices များကို vectors နှင့် အပြန်အလှန် မြှောက်ရန် ရိုးရှင်းပါသည်။
• တစ်ဖက်တွင်၊ tensor ကို ဖန်တီးနိုင်သည် ၎င်း၏အဆင့်အလိုက် ဖော်ပြထားသော ယေဘူယျကိန်းဂဏန်းတစ်ခု။

ဆက်စပ်ဆောင်းပါးများ

Wizard နှင့် Warlock (ဘယ်သူက ပိုအားကောင်းသလဲ)

မတူညီသော အသားကင်အမျိုးအစားများ (T -Bone၊ Ribeye၊ Tomahawk နှင့် Filet Mignon)

Cessna 150 နှင့် Cessna 152 ကြား ကွာခြားချက်များ (နှိုင်းယှဉ်မှု)