ٹینسر پیچیدہ صفیں ہیں جن میں مخصوص اور مختلف خصوصیات ہیں۔ ہر کثیر جہتی مجموعہ ٹینسر نہیں ہوتا ہے۔

ایک جہتی ٹینسر کی دو قسمیں ہیں: ان میں ویکٹر اور کو ویکٹر شامل ہیں۔ یا تو ویکٹر یا شریک ویکٹر کو اعداد کی ایک قابل رسائی صف کے طور پر پیش کیا جا سکتا ہے۔

صرف فرق یہ ہے کہ ان دونوں کو جوڑنا اس وقت آتا ہے جب آپ کے پاس ایک ہی بنیاد پر شے کی نمائندگی کرنے والے مختلف ہندسے ہوتے ہیں اور آپ یہ جاننا چاہتے ہیں کہ کونسی تعداد ایک ہی چیز کو مختلف بنیادوں پر پیچیدہ بناتی ہے۔

تبدیلی کے نشانات اور قواعد ویکٹرز اور کو-ویکٹرز کے لیے قدرے مختلف ہیں۔ ویکٹر اور کو ویکٹر بالترتیب "نمبروں کے کالم" یا "نمبرز کی لائنز" ہوتے ہیں۔

ویکٹر اور ٹینسر کا فرق

مختصر یہ کہ ایک ویکٹر ہمیشہ ایک جہتی ٹینسر ہو؛ اگر آپ کے پاس ایک جہتی ٹینسر ہے، تو یہ یقینی طور پر یا تو ویکٹر یا کو-ویکٹر ہوگا۔ دو جہتی ٹینسر میٹرکس کے نام سے جانے جاتے ہیں۔

دو جہتی ٹینسرز کی چار مختلف اقسام ہیں، لیکن کوئی مخصوص نام موجود نہیں ہے۔ ویکٹر کے معاملے میں، جب آپ ایک بنیاد سے دوسری بنیاد پر منتقل ہوتے ہیں تو تبدیلی کے اصول قدرے مختلف ہوتے ہیں، لیکن ان ٹینسرز کے لیے کوئی مخصوص نام نہیں ہیں: یہ صرف میٹرکس ہیں۔

جلد یا بدیر، انہیں کوئی بھی کہا جا سکتا ہے۔ دو جہتی صف ایک "میٹرکس"، چاہے یہ ٹینسر نہ ہو۔ ایک بار پھر، صف اور ٹینسر کے درمیان فرق کے بارے میں مزید تفصیلات کے لیے، رجوع کریں۔پہلے کی بحث میں۔

Tensors کے بارے میں کیا جاننا ہے

ٹینسر پیچیدہ صفیں ہیں جن کی مخصوص اور مختلف خصوصیات ہیں۔

ٹینسرز ریاضیاتی اشیاء ہیں جو کہ ویکٹرز کے ساتھ اسکیلرز کی طرح کافی خصوصیات کو بیان کرنے کے لیے استعمال کی جا سکتی ہیں۔ ٹینسر صرف اسکیلرز اور ویکٹرز کا ایک اندازہ ہیں۔ اسکیلر ایک 0 رینک ٹینسر ہے، اور ایک ویکٹر ایک 1st رینک ٹینسر ہے۔

ایک ٹینسر کی رینک کی شناخت سمتوں کی تعداد (اور اس وجہ سے صف کی جہت) سے ہوتی ہے جو وضاحت کے لیے ضروری ہے۔ یہ. مثال کے طور پر، وہ خصوصیات جن کے لیے ایک نقطہ نظر کی ضرورت ہوتی ہے (یا پہلا درجہ) 3×1 کالم ویکٹر کے ذریعے آسانی سے بیان کیا جا سکتا ہے۔

مزید برآں، وہ خصوصیات جن کے لیے دو آرڈرز (دوسرے درجے کے ٹینسرز) کی ضرورت ہوتی ہے ان کی وضاحت کی جا سکتی ہے۔ نو نمبرز، جیسا کہ 3×3 میٹرکس جنرل میں، 3n عدد nth رینک ٹینسر کی وضاحت کر سکتے ہیں۔

دوسرے درجے کے ٹینسر کی ضرورت اس وقت آتی ہے جب ہمیں بیان کرنے کے لیے ایک سے زیادہ سمتوں کے بارے میں سوچنے کی ضرورت ہوتی ہے۔ ان جسمانی پہلوؤں میں سے 1۔

اس کی ایک بہترین مثال یہ ہے کہ اگر ہمیں کسی بھی آئسوٹروپک کرسٹل کی برقی چالکتا بتانے کی ضرورت ہے۔ ہم جانتے ہیں کہ عام اصطلاحات میں، isotropic conductors جن کو Ohm کے قانون کی تعمیل کرنے کی ضرورت ہوتی ہے اور وہ ہے؛ j=σE اس کا مطلب یہ ہے کہ موجودہ کثافت j وقف شدہ برقی فیلڈ، E کے متوازی ہے اور یہ کہ j کا ہر حصہ E. کے فی عنصر کے متناسب ہے (مثال کے طور پر، j1 = σE1)۔

الیکٹرک فیلڈ کے اجزاء

تاہم، موجودہ کثافت کی حوصلہ افزائی کرسٹل کی موجودہ بہاؤ کی مختلف سمتوں کی وجہ سے ضروری طور پر ایک انیسوٹروپک مواد ملوث برقی میدان کے متوازی نہیں ہوگا (اس کی ایک بہترین مثال گریفائٹ میں ہے)۔ اس سے پتہ چلتا ہے کہ، عام طور پر، موجودہ کثافت ویکٹر کا ہر جزو موجودہ برقی میدان کے تمام حصوں پر انحصار کر سکتا ہے۔

لہذا، عام طور پر، برقی چالکتا ایک دوسرے درجے کا ٹینسر ہے اور اسے نو آزاد گتانکوں سے طے کیا جا سکتا ہے، جسے 3×3 میٹرکس میں دکھایا جا سکتا ہے۔

اس کا مطلب ہے کہ موجودہ کثافت j وقف شدہ الیکٹرک فیلڈ، E کے متوازی ہے اور یہ کہ j کا ہر حصہ فی فیلڈ کے متناسب ہے۔

سیکنڈ رینک ٹینسر کی کچھ مثالیں

کچھ دیگر مثالیں دوسرے درجے کے ٹینسر پر مشتمل ہے:

• برقی حساسیت 20>
• تھرمل چالکتا 20>
• تناؤ

وہ عام طور پر کسی ویکٹر کو دوسرے ویکٹر سے یا کسی دوسرے ڈوئل رینک ٹینسر کو اسکیلر سے جوڑتے ہیں۔ زیادہ اعلی درجے کے ٹینسر کو ان خصوصیات کو مکمل طور پر بیان کرنے کی ہدایت کی جاتی ہے جو دو دوسرے درجے کے ٹینسر (مثلاً، سختی (چوتھا درجہ): تناؤ اور تناؤ) یا دوسرے درجے کا ٹینسر اور ایک ویکٹر (مثلاً، پیزو الیکٹرسٹی (تیسرا درجہ)درجہ): اضطراب اور پولرائزیشن)۔

ان اور مزید مثالوں کو دیکھنے اور یہ جاننے کے لیے کہ ٹینسر کے اجزاء کی تبدیلی ان خصوصیات کو کیسے متاثر کرتی ہے، ذیل میں فلیش پروگرام کو دیکھیں۔

ٹینسر کا تعارف

ویکٹر کیا ہے؟

ایک ویکٹر نمبروں کی 1 جہتی سرنی ہے، ایک میٹرکس جہاں m یا n برابر ہے 1۔ میٹرکس کی طرح، یہ ایک ویکٹر پر مختلف ریاضیاتی عمل کرنا ممکن ہے، اور یہ آسان ہے میٹرکس کو ویکٹر کے ساتھ ضرب دیں اور اس کے برعکس۔

تاہم، ایک ٹینسر کو ایک عمومی میٹرکس سمجھا جا سکتا ہے جسے اس کا درجہ بیان کر سکتا ہے۔

ٹینسر کی سطح 0 یا اس سے زیادہ کا عدد عدد ہے۔ اسکیلر رینک 0 کے ساتھ ٹینسر کی نمائندگی کر سکتا ہے، رینک ون والے ٹینسر کی نمائندگی ویکٹر کر سکتا ہے، اور میٹرکس رینک ٹو کے ٹینسر کی نمائندگی کر سکتا ہے۔ رینک تھری اور اس سے زیادہ کے ٹینسرز بھی ہیں، بعد والے کو تصور کرنا زیادہ مشکل ہے۔

درجے کے علاوہ، ٹینسر کی مخصوص خصوصیات ہوتی ہیں کہ وہ ایک دوسرے کے ریاضیاتی اداروں کے ساتھ کیسے تعامل کرتے ہیں۔ اگر تعامل میں موجود کوئی بھی ہستی دوسری ہستی یا ہستی کو تبدیل کرتی ہے، تو ٹینسر کو اسی طرح کے تبدیلی کے اصول کی پابندی کرنی چاہیے۔

ویکٹرز اور ٹینسر کے درمیان فرق

ویکٹر ایک ہے۔ اعداد کی جہتی صف، جسے اکثر میٹرکس کہا جاتا ہے، جہاں m یا n = one۔

تمام ویکٹر عام طور پر ٹینسر ہوتے ہیں۔ لیکن تمام ٹینسر ویکٹر نہیں ہو سکتے۔ یہاس کا مطلب ہے کہ ٹینسر ویکٹر کے مقابلے میں زیادہ وسیع شے ہیں (سختی سے بولیں، اگرچہ ریاضی دان ٹینسر کو ویکٹر کے ذریعے جمع کرتے ہیں)۔ ٹینسر کو تکنیکی طور پر دو مختلف اشیاء کے ذریعے بیان کیا جاتا ہے:

• ویکٹرز 20>
• ایک شکل ("دوہری" ویکٹر)

ویکٹرز خصوصی طور پر ایسی چیزیں ہیں جن کے لیے آپ جانتے ہیں کہ ان میں سے کسی دو کو شمار کرنا (ویکٹر کا اضافہ) اس کو پیمانے کو تبدیل کرنے کی طرف اشارہ کرتا ہے (اسے اسکیلر ضرب بھی کہا جاتا ہے)۔

اسی طرح ایک شکل کے تمام تصورات ایک جیسے ہوتے ہیں۔ اس کے علاوہ، یہ ویکٹر پر کام کر سکتا ہے اور پھر اسکیلرز کو واپس کر سکتا ہے۔ مثال کے طور پر ترتیب میں ہیں: سب سے زیادہ نمونہ مثالوں میں شامل ہیں Euclidean vectors -points of space. 1><0 مفروضوں، سب سے اہم خاصیت یہ ہے کہ ایک شکل اور ویکٹر کسی نہ کسی طریقے سے نقاط کی تبدیلی کے تحت تبدیل ہوتے ہیں۔ یہ وہ خصوصیات ہیں جن کے بارے میں طبیعیات دان اکثر فکر مند رہتے ہیں جب تھیوری آف جنرل ریلیٹیویٹی جیسی چیزوں کے بارے میں مشورہ کرتے ہیں۔

ٹینسرز، لمبائی کے لحاظ سے، کیونکہ ریاضی کی اشیاء "ملٹی لائنر" آپریٹرز ہیں؛ اس کا مطلب یہ ہے کہ، وہ ویکٹرز کے سیٹ (اور ایک شکل) میں لیتے ہیں اور ایک اور ٹینسر واپس کرتے ہیں (لکیری آپریٹرز کے برعکس، جو ویکٹر اور ریٹرن ویکٹر لیتے ہیں)۔ ان کے مختلف استعمال ہوتے ہیں۔

فرض کریں۔آپ ٹینسر کے عمومی نظریہ کو سمجھنا چاہتے ہیں۔ اس صورت میں، آپ کو تجریدی الجبرا اور ناقابل یقین حد تک لکیری الجبرا کا احساس ہونا چاہیے)، اور اگر آپ ٹینسر کیلکولس کو سمجھنے جا رہے ہیں، تو آپ کو متفرق کئی گناوں کے نظریہ کو بھی سمجھنا چاہیے۔

حتمی خیالات

اس مضمون میں، آپ نے سیکھا ہے کہ:

• ٹینسر مختلف خصوصیات کے ساتھ کثیر جہتی صفیں ہیں۔
• ہر کثیر جہتی مجموعہ ایک ٹینسر نہیں ہوتا ہے۔
• ایک ویکٹر ہمیشہ ایک جہتی ٹینسر ہوتا ہے، اور ایک جہتی ٹینسر ہمیشہ ہوتا ہے۔ یا تو ویکٹر یا کو ویکٹر۔ میٹرکس وہ نام ہے جو دو جہتی ٹینسرز کو دیا جاتا ہے۔
• ویکٹر نمبرز کی ایک جہتی صف ہے، جسے اکثر میٹرکس کہا جاتا ہے، جہاں m یا n = 1۔ ایک ویکٹر، جیسے ایک میٹرکس، مختلف قسم کے ریاضی کے عمل کو انجام دینے کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے، اور میٹرکس کو ویکٹر کے ساتھ ضرب کرنا آسان ہے اور اس کے برعکس۔
• دوسری طرف، ایک ٹینسر کا تصور کیا جا سکتا ہے۔ اس کے درجے کے مطابق بیان کردہ ایک عمومی میٹرکس۔

متعلقہ مضامین

وزرڈ بمقابلہ وارلاک (کون مضبوط ہے؟)

اسٹیک کی مختلف اقسام (T -Bone, Ribeye, Tomahawk, and Filet Mignon)

Cessna 150 اور Cessna 152 کے درمیان فرق (موازنہ)