ٽينسر پيچيده صفون آھن جن ۾ مخصوص ۽ مختلف ملڪيتون آھن. هر گهڻ رخي مجموعو ٽينسر نه هوندو آهي.

هڪ طرفي ٽينسر جا ٻه قسم آهن: انهن ۾ ویکٹر ۽ ڪو-ویکٹر شامل آهن. يا ته ویکٹر يا ڪو-ویکٹرز کي انگن جي رسائي لائق صف طور پيش ڪري سگھجي ٿو.

صرف فرق اهو آهي ته انهن ٻنهي کي ڳنڍڻ تڏهن اچي ٿو جڏهن توهان وٽ هڪ ئي بنياد تي اعتراض جي نمائندگي ڪندڙ مختلف انگ اکر آهن ۽ اهو معلوم ڪرڻ چاهيو ٿا ته ڪهڙن انگن اکرن ۾ هڪ ئي شيءِ کي مختلف بنيادن تي پيچيده ڪري ٿو.

تبديلي جون نشانيون ۽ ضابطا ویکٹر ۽ ڪو-ویکٹرز لاءِ ٿورڙا مختلف هوندا آهن. ویکٹر ۽ ڪو-ویکٹر عام طور تي ”نمبرن جا ڪالم“ يا ”نمبرن جون لائينون“ هوندا آهن.

ویکٹر ۽ ٽينسر جو فرق

مختصر ۾، هڪ ویکٹر هميشه هوندو هڪ-dimensional tensor هجڻ؛ جيڪڏهن توهان وٽ هڪ طرفي ٽينسر آهي، ته اهو ضرور هوندو يا ته ویکٹر يا ڪو-ویکٹر. ٻه-dimensional tensors matrices طور سڃاتو وڃي ٿو.

ٻه طرفي ٽينسر جا چار مختلف قسم آهن، پر ڪي به مخصوص نالا موجود ناهن. ویکٹرز جي صورت ۾، تبديليءَ جا ضابطا ٿورا مختلف هوندا آهن جڏهن توهان هڪ بنياد کان ٻئي ڏانهن منتقل ڪندا آهيو، پر انهن ٽينسر جا ڪي به مخصوص نالا نه هوندا آهن: اهي صرف ميٽرڪس آهن.

جلدي يا دير سان، انهن کي ڪو به چئي سگهجي ٿو. ٻه-dimensional صف هڪ "ميٽرڪس"، جيتوڻيڪ اهو هڪ ٽينسر نه آهي. ٻيهر، صف ۽ ٽينسر جي وچ ۾ فرق بابت وڌيڪ تفصيل لاء، حوالو ڏيواڳئين بحث ڏانهن.

Tensors بابت ڇا ڄاڻو

Tensors پيچيده صفون آهن جن ۾ مخصوص ۽ مختلف خاصيتون آهن.

Tensors رياضياتي شيون آهن جن کي استعمال ڪري سگهجي ٿو خاص خاصيتن کي بيان ڪرڻ لاء، ساڳيء طرح اسڪالر سان گڏ ویکٹر. ٽينسر صرف اسڪالر ۽ ویکٹر جو هڪ اندازو آهي. اسڪيلر هڪ 0 رينڪ ٽينسر آهي، ۽ هڪ ویکٹر هڪ 1st رينڪ ٽينسر آهي.

هڪ ٽينسر جي درجه بندي جي نشاندهي ڪئي ويندي آهي هدايتن جي تعداد (۽ ان ڪري صف جي طول و عرض) جي وضاحت ڪرڻ لاء ضروري آهي. اهو. مثال طور، پراپرٽيز جن کي ھڪڙي انداز جي ضرورت آھي (يا پھريون درجو) آساني سان بيان ڪري سگھجي ٿو 3×1 ڪالمن ویکٹر ذريعي.

ان کان علاوه، ملڪيت جن کي ٻن آرڊرن جي ضرورت آھي (سيڪنڊ رينڪ ٽينسر) جي وضاحت ڪري سگھجي ٿي نون انگن، جيئن 3×3 ميٽرڪس جنرل ۾، 3n ڪوفيفينٽ nth رينڪ ٽينسر کي بيان ڪري سگھن ٿا.

ٻئي نمبر واري ٽينسر جي ضرورت تڏهن پوندي آهي جڏهن اسان کي وضاحت ڪرڻ لاءِ هڪ کان وڌيڪ رخن بابت سوچڻو پوندو. انهن مان 1 جسماني پهلو.

ان جو هڪ بهترين مثال اهو آهي ته جيڪڏهن اسان کي ڪنهن به آئوٽروپڪ ڪرسٽل جي برقي چالکائي کي ٻڌائڻ جي ضرورت آهي. اسان ڄاڻون ٿا ته عام اصطلاحن ۾، آئوٽروپڪ ڪنڊڪٽرز جن کي اوهم جي قانون جي فرمانبرداري ڪرڻ جي ضرورت آهي ۽ اهو آهي؛ جي = σE. هن جو مطلب اهو آهي ته موجوده کثافت j وقف ٿيل برقي فيلڊ، E جي متوازي آهي ۽ j جو هر حصو E. جي في عنصر جي برابر آهي (مثال طور، j1 = σE1).

اليڪٽرڪ فيلڊ جا اجزا

بهرحال، موجوده کثافت انديشو آهي ڪرسٽل جي موجوده وهڪري جي مختلف طرفن جي ڪري هڪ anisotropic مواد لازمي طور تي ملوث برقي فيلڊ کي متوازي نه ڪندو (هن جو هڪ بهترين مثال گرافائٽ ۾ آهي). اهو مشورو ڏئي ٿو ته، عام طور تي، موجوده کثافت ویکٹر جو هر حصو موجوده برقي فيلڊ جي سڀني حصن تي ڀروسو ڪري سگهي ٿو.

تنهنڪري، عام طور تي، برق جي چالکائي هڪ ٻئين درجي جو ٽينسر آهي ۽ ان کي نون آزاد ڪوئفينٽس ذريعي مقرر ڪري سگهجي ٿو، جنهن کي 3×3 ميٽرڪس ۾ بيان ڪري سگهجي ٿو.

هن جو مطلب آهي ته موجوده کثافت j وقف ٿيل برقي فيلڊ جي متوازي آهي، E ۽ اهو j جو هر حصو لڪير طور تي في فيلڊ جي تناسب سان آهي.

سيڪنڊ رينڪ ٽينسر جا ڪجهه مثال

ڪجهه ٻيا مثال سيڪنڊ رينڪ ٽينسرز تي مشتمل آهي:

• بجلي جي حساسيت 20>19> حرارتي چالکائي 20>19> دٻاو

اهي عام طور تي هڪ ویکٹر کي ٻئي ويڪٽر سان يا ٻئي ڊبل رينک ٽينسر کي اسڪيلر سان ڳنڍيندا آهن. وڌيڪ اعلي درجي جي ٽينسرن کي هدايت ڪئي وئي آهي ته اهي خاصيتون بيان ڪن جيڪي ٻه سيڪنڊ-رينڪ ​​ٽينسر (مثال طور، سختي (چوٿين درجو): دٻاء ۽ دٻاء) يا هڪ ٻئي درجي جي ٽينسر ۽ هڪ ویکٹر (مثال طور، Piezoelectricity (3rd)درجو: پريشاني ۽ پولرائيزيشن).

انهن ۽ وڌيڪ مثالن کي ڏسڻ لاءِ ۽ تحقيق ڪرڻ لاءِ ته ٽينسر جي جزن جي تبديليءَ سان انهن خاصيتن کي ڪيئن متاثر ٿئي ٿو، هيٺ ڏنل فليش پروگرام ذريعي وڃو.

ٽينسر جو تعارف

ویکٹر ڇا آهي؟

هڪ ویکٹر انگن جو هڪ 1-dimensional صف آهي، هڪ ميٽرڪس جتي m يا n برابر آهي 1. هڪ ميٽرڪس وانگر، اهو ممڪن آهي ته مختلف رياضياتي عملن کي انجام ڏيڻ هڪ ویکٹر تي، ۽ اهو آسان آهي. ميٽرڪس کي ویکٹر سان ضرب ڪريو ۽ ان جي برعڪس.

بهرحال، هڪ ٽينسر کي هڪ عام ميٽرڪس سمجهي سگهجي ٿو جيڪو ان جو درجو بيان ڪري سگهي ٿو.

هڪ ٽينسر جي سطح 0 يا ان کان وڌيڪ جو هڪ عدد عدد آهي. هڪ اسڪيلر هڪ ٽينسر جي نمائندگي ڪري سگهي ٿو رينڪ 0 سان، هڪ ٽينسر جي رينڪ ون سان ویکٹر جي نمائندگي ڪري سگهي ٿو، ۽ هڪ ميٽرڪس ٻئي درجي جي ٽينسر جي نمائندگي ڪري سگهي ٿو. ٽيون ۽ اعليٰ درجي جا ٽينسرز به آهن، جن کي ڏسڻ ۾ وڌيڪ مشڪل آهي.

درجه بندي کان علاوه، ٽينسر وٽ مخصوص خاصيتون آهن جن سان لاڳاپيل آهي ته اهي ڪيئن هڪ ٻئي سان تعلق رکن ٿا رياضياتي ادارن سان. جيڪڏهن ڪنهن به انسٽيٽيٽيشن ۾ ڪنهن ٻئي وجود يا ادارن کي تبديل ڪري ٿي، ته پوءِ ٽينسر کي به ساڳي تبديليءَ واري قاعدي تي عمل ڪرڻ گهرجي.

ویکٹر ۽ ٽينسر وچ ۾ فرق

ویکٹر هڪ آهي- انگن جو طول و عرض، اڪثر ڪري ميٽرڪس طور سڃاتو وڃي ٿو، جتي m يا n = هڪ.

سڀ ویکٹر عام طور تي ٽينسر هوندا آهن. پر سڀ ٽينسر ویکٹر نٿا ٿي سگهن. هيمطلب ته ٽينسر هڪ ویکٹر کان وڌيڪ وسيع اعتراض آهي (سختي سان ڳالهائڻ، جيتوڻيڪ رياضي دان ٽينسر کي ویکٹر ذريعي گڏ ڪندا آهن). Tensors ٽيڪنيڪل طور تي ٻن مختلف شين جي ذريعي بيان ڪيا ويا آهن:

• ویکٹر 20>19> هڪ فارم ("دوئي" ویکٹر) 20>

ویکٹر خاص طور تي شيون آهن جن لاءِ توهان کي خبر آهي ته انهن مان ڪنهن به ٻن کي ڳڻڻ (ویکٹر اضافي) ان کي اسڪيل-تبديل ڪرڻ لاءِ اشارو ڪري ٿو (جنهن کي اسڪيلر ضرب پڻ سڏيو ويندو آهي).

هڪ روپ، ساڳيءَ طرح، سڀني جا ساڳيا تصور آهن؛ ان کان سواء، اهو ویکٹر تي ڪم ڪري سگهي ٿو ۽ پوء اسڪالر واپس ڪري سگهي ٿو. مثالن لاءِ ترتيب ۾ آهن: سڀ کان وڌيڪ پروٽوٽائپيڪل مثالن ۾ شامل آهن Euclidean vectors -points of space.

مثالن ۾ ھڪڙو فارم ھوندو مقناطيسي امڪاني "ویکٹر" (اهو "سچو" ویکٹر نه آھي) يا گريڊيئيٽ آپريٽر .

جڏھن توھان شامل ڪريو ٻيا مناسب مفروضن ۾، سڀ کان اهم ملڪيت اها آهي ته هڪ-فارم ۽ ویکٹر ڪنهن نه ڪنهن طريقي سان ڪوآرڊينيٽس جي تبديليءَ تحت بدلجن ٿا. اهي خاصيتون آهن جن جي باري ۾ فزڪسسٽ اڪثر پريشان هوندا آهن جڏهن انهن شين جي باري ۾ صلاح مشورو ڪندا آهن جهڙوڪ جنرل ريٽليٽيٽي جي نظريي.

ٽينسر، ڊگھائي ذريعي، جيئن رياضياتي شيون ”ملٽي لائنيئر“ آپريٽر آهن؛ ان جو مطلب اهو آهي ته، اهي ویکٹرن جي سيٽن ۾ وٺن ٿا (۽ هڪ فارم) ۽ هڪ ٻيو ٽينسر (جيئن ته لڪير آپريٽرز جي مخالفت ۾، جيڪي ویکٹر ۾ وٺن ٿا ۽ ویکٹر واپس ڪن ٿا). انهن جا مختلف استعمال آهن.

فرض ڪريوتوھان سمجھڻ چاھيو ٿا ٽينسر جي عام نظريي کي. انهي صورت ۾، توهان کي تجريدي الجبرا ۽ ناقابل اعتبار حد تائين لڪير الجبرا) جو احساس ڪرڻ گهرجي) ۽ جيڪڏهن توهان ٽينسر حساب ڪتاب کي سمجهڻ وارا آهيو، توهان کي پڻ سمجهڻ گهرجي ته مختلف قسمن جي نظريي کي.

آخري خيال

هن آرٽيڪل ۾، توهان سکيو آهي ته:

• Tensors گھڻائي جہتي صفون آهن جن ۾ مختلف ملڪيتون آهن.
• هر گھڻ رخي مجموعو ٽينسر نه هوندو آهي.
• هڪ ویکٹر هميشه هڪ طرفي ٽينسر هوندو آهي، ۽ هڪ ٽينسر هميشه هڪ طرفي ٽينسر هوندو آهي. يا ته ویکٹر يا ڪو-ویکٹر. ميٽرڪس اهو نالو آهي جيڪو ٻه طرفي ٽينسر کي ڏنو ويو آهي.
• ویکٹر انگن جي هڪ طرفي صف آهي، اڪثر ڪري ميٽرڪس طور سڃاتو وڃي ٿو، جتي m يا n = 1. هڪ ویکٹر، جهڙوڪ هڪ ميٽرڪس، مختلف قسم جي رياضياتي عملن کي انجام ڏيڻ لاءِ استعمال ٿي سگهي ٿو، ۽ ميٽرڪس کي ویکٹر سان ضرب ڪرڻ آسان آهي ۽ ان جي برعڪس.
• ٻئي طرف، هڪ ٽينسر تصور ڪري سگهجي ٿو جيئن ان جي درجه بندي جي مطابق بيان ڪيل هڪ عام ميٽرڪس.

لاڳاپيل آرٽيڪل

جادوگر بمقابله وارلڪ (ڪير مضبوط آهي؟)

اسٽيڪ جا مختلف قسم (T -Bone, Ribeye, Tomahawk, and Filet Mignon)

Cessna 150 ۽ Cessna 152 جي وچ ۾ فرق (مقابلو)