వెక్టర్స్ మరియు టెన్సర్‌ల మధ్య తేడా ఏమిటి? (వివరించారు) - అన్ని తేడాలు
విషయ సూచిక
టెన్సర్లు నిర్దిష్ట మరియు విభిన్న లక్షణాలను కలిగి ఉండే సంక్లిష్ట శ్రేణులు. ప్రతి బహుముఖ సేకరణ టెన్సర్ కాదు.
ఒక డైమెన్షనల్ టెన్సర్‌లలో రెండు రకాలు ఉన్నాయి: వీటిలో వెక్టర్స్ మరియు కో-వెక్టర్‌లు ఉన్నాయి. వెక్టర్స్ లేదా కో-వెక్టార్‌లను యాక్సెస్ చేయగల సంఖ్యల శ్రేణిగా సూచించవచ్చు.
ఒకే తేడా ఏమిటంటే, మీరు ఆబ్జెక్ట్‌ని ఒక ప్రాతిపదికన సూచించే అనేక రకాల అంకెలను కలిగి ఉన్నప్పుడు మరియు వేరే మైదానంలో ఏ సంఖ్యలు ఒకే విషయాన్ని క్లిష్టతరం చేస్తాయో తెలుసుకోవాలనుకున్నప్పుడు ఆ రెండింటిని లింక్ చేయడం వస్తుంది.
పరివర్తన సంకేతాలు మరియు నియమాలు వెక్టర్స్ మరియు కో-వెక్టర్‌లకు కొద్దిగా భిన్నంగా ఉంటాయి. వెక్టర్స్ మరియు కో-వెక్టర్‌లు సాధారణంగా వరుసగా “సంఖ్యల నిలువు వరుసలు” లేదా “సంఖ్యల రేఖలు”.
వెక్టర్ మరియు టెన్సర్ తేడా
సంక్షిప్తంగా, వెక్టర్ ఎల్లప్పుడూ ఉంటుంది ఒక డైమెన్షనల్ టెన్సర్‌గా ఉండండి; మీకు ఒక డైమెన్షనల్ టెన్సర్ ఉంటే, అది ఖచ్చితంగా వెక్టర్ లేదా కో-వెక్టార్ అవుతుంది. రెండు డైమెన్షనల్ టెన్సర్‌లను మాత్రికలు అంటారు.
నాలుగు రకాల టూ డైమెన్షనల్ టెన్సర్లు ఉన్నాయి, కానీ నిర్దిష్ట పేర్లు లేవు. వెక్టర్స్ విషయంలో, మీరు ఒక ప్రాతిపదిక నుండి మరొకదానికి మారినప్పుడు పరివర్తన నియమాలు కొద్దిగా భిన్నంగా ఉంటాయి, కానీ ఈ టెన్సర్‌లకు నిర్దిష్ట పేర్లు లేవు: అవి మాత్రికలు మాత్రమే.
త్వరలో లేదా తరువాత, వాటిని ఏదైనా పిలవవచ్చు రెండు డైమెన్షనల్ శ్రేణి "మాతృక", అది టెన్సర్ కాకపోయినా. మళ్లీ, అర్రే మరియు టెన్సర్ మధ్య వ్యత్యాసం గురించి మరిన్ని వివరాల కోసం, చూడండిమునుపటి చర్చకు.
టెన్సర్‌ల గురించి ఏమి తెలుసుకోవాలి
టెన్సర్లు నిర్దిష్ట మరియు విభిన్న లక్షణాలను కలిగి ఉండే సంక్లిష్ట శ్రేణులు.
టెన్సర్లు వెక్టర్‌లతో పాటు స్కేలార్‌ల మాదిరిగానే గణనీయమైన లక్షణాలను వివరించడానికి ఉపయోగించబడే గణిత వస్తువులు. టెన్సర్లు కేవలం స్కేలార్లు మరియు వెక్టర్స్ యొక్క అనుమితి; స్కేలార్ అనేది 0 ర్యాంక్ టెన్సర్, మరియు వెక్టర్ 1వ ర్యాంక్ టెన్సర్.
టెన్సర్ యొక్క ర్యాంక్ నిర్వచించడానికి అవసరమైన దిశల సంఖ్య (అందుకే శ్రేణి యొక్క పరిమాణం) ద్వారా గుర్తించబడుతుంది. అది. ఉదాహరణకు, ఒక విధానం (లేదా మొదటి ర్యాంక్) అవసరమయ్యే లక్షణాలను 3×1 కాలమ్ వెక్టర్ ద్వారా సులభంగా వివరించవచ్చు.
అంతేకాకుండా, రెండు ఆర్డర్‌లు (సెకండ్ ర్యాంక్ టెన్సర్లు) అవసరమయ్యే లక్షణాలను దీని ద్వారా నిర్వచించవచ్చు తొమ్మిది సంఖ్యలు, 3×3 మాతృక సాధారణం వలె, 3n గుణకాలు nవ ర్యాంక్ టెన్సర్‌ను వర్ణించగలవు.
ఇది కూడ చూడు: “అవి ఎంత ఖర్చవుతాయి” మరియు “అవి ఎంత ఖర్చవుతాయి” (చర్చించబడ్డాయి) మధ్య తేడా – అన్ని తేడాలుమనం వివరించడానికి ఒకటి కంటే ఎక్కువ దిశల గురించి ఆలోచించవలసి వచ్చినప్పుడు రెండవ-ర్యాంక్ టెన్సర్‌ల అవసరం వస్తుంది ఈ భౌతిక అంశాలలో 1.
ఏదైనా ఐసోట్రోపిక్ క్రిస్టల్ యొక్క విద్యుత్ వాహకతను మనం చెప్పాలంటే దీనికి సరైన ఉదాహరణ. సాధారణ పరంగా, ఓం నియమాన్ని పాటించాల్సిన ఐసోట్రోపిక్ కండక్టర్లు అని మనకు తెలుసు; j=σE. దీనర్థం ప్రస్తుత సాంద్రత j అంకితమైన ఎలెక్ట్రిక్ ఫీల్డ్, Eకి సమాంతరంగా ఉంటుంది మరియు j యొక్క ప్రతి భాగం E. (ఉదా., j1 = σE1) మూలకానికి సరళంగా అనులోమానుపాతంలో ఉంటుంది.
| భాగాలుఎలక్ట్రిక్ ఫీల్డ్ |
| j1 = σ11E1 + σ12E2 + σ13E3 |
| j2 = σ21E1 + σ22E2 + σ23E3 |
| j3 = σ31E1 + σ32E2 + σ33E3 |
ఎలక్ట్రిక్ ఫీల్డ్ యొక్క భాగాలు
అయితే, ప్రస్తుత సాంద్రత ప్రేరేపిస్తుంది క్రిస్టల్ యొక్క ప్రస్తుత ప్రవాహం యొక్క విభిన్న దిశల కారణంగా అనిసోట్రోపిక్ పదార్థం తప్పనిసరిగా ప్రమేయం ఉన్న విద్యుత్ క్షేత్రానికి సమాంతరంగా ఉండదు (దీనికి అద్భుతమైన ఉదాహరణ గ్రాఫైట్‌లో ఉంది). సాధారణంగా, ప్రస్తుతం ఉన్న డెన్సిటీ వెక్టర్‌లోని ప్రతి భాగం ప్రస్తుత విద్యుత్ క్షేత్రంలోని అన్ని భాగాలపై ఆధారపడవచ్చని ఇది సూచిస్తుంది.
కాబట్టి, సాధారణంగా, విద్యుత్ వాహకత అనేది 2వ ర్యాంక్ టెన్సర్ మరియు తొమ్మిది స్వతంత్ర కోఎఫీషియంట్స్ ద్వారా స్థిరపరచబడుతుంది, దీనిని 3×3 మ్యాట్రిక్స్‌లో ఉదహరించవచ్చు.
దీనర్థం ప్రస్తుత సాంద్రత j అంకితమైన ఎలెక్ట్రిక్ ఫీల్డ్, Eకి సమాంతరంగా ఉంటుంది మరియు j యొక్క ప్రతి భాగం ఒక్కో ఫీల్డ్‌కు రేఖీయంగా అనులోమానుపాతంలో ఉంటుంది.
రెండవ ర్యాంక్ టెన్సర్‌లకు కొన్ని ఉదాహరణలు
కొన్ని ఇతర ఉదాహరణలు రెండవ ర్యాంక్ టెన్సర్‌లలో ఇవి ఉంటాయి:
- ఎలక్ట్రిక్ ససెప్టబిలిటీ
- థర్మల్ కండక్టివిటీ
- ఒత్తిడి
అవి సాధారణంగా వెక్టార్‌ను మరొక వెక్టర్‌తో లేదా మరొక ద్వంద్వ ర్యాంక్ టెన్సర్‌ను స్కేలార్‌తో సంబంధం కలిగి ఉంటాయి. రెండు సెకండ్-ర్యాంక్ టెన్సర్‌లను (ఉదా., స్టిఫ్‌నెస్ (4వ ర్యాంక్): ఒత్తిడి మరియు ఒత్తిడి) లేదా సెకండ్ ర్యాంక్ టెన్సర్ మరియు వెక్టార్ (ఉదా., పీజోఎలెక్ట్రిసిటీ (3వ ర్యాంక్)) చెప్పే ప్రాపర్టీలను పూర్తిగా వివరించమని ఎక్కువ ర్యాంక్ ఉన్న టెన్సర్లు సూచించబడ్డాయి.ర్యాంక్): ఆందోళన మరియు ధ్రువణత).
వీటిని మరియు మరిన్ని ఉదాహరణలను వీక్షించడానికి మరియు టెన్సర్‌ల భాగాలను మార్చడం ఈ లక్షణాలను ఎలా ప్రభావితం చేస్తుందో పరిశోధించడానికి, దిగువ ఫ్లాష్ ప్రోగ్రామ్‌ను చూడండి.
టెన్సర్‌లకు పరిచయం
వెక్టర్ అంటే ఏమిటి?
వెక్టార్ అనేది సంఖ్యల 1-డైమెన్షనల్ శ్రేణి, m లేదా n 1కి సమానమైన మాతృక. మాతృక మాదిరిగానే, వెక్టర్‌పై వివిధ గణిత కార్యకలాపాలను నిర్వహించడం సాధ్యమవుతుంది మరియు ఇది సులభం మాత్రికలను వెక్టర్‌లతో గుణించండి మరియు వైస్ వెర్సా.
అయితే, టెన్సర్‌ని దాని ర్యాంక్ వివరించగల సాధారణీకరించిన మాతృకగా భావించవచ్చు.
టెన్సర్ యొక్క స్థాయి పూర్ణాంకం సంఖ్య 0 లేదా అంతకంటే ఎక్కువ. స్కేలార్ ర్యాంక్ 0తో టెన్సర్‌ను సూచిస్తుంది, ర్యాంక్ ఒకటి ఉన్న టెన్సర్‌ను వెక్టర్ ద్వారా సూచించవచ్చు మరియు మ్యాట్రిక్స్ ర్యాంక్ రెండు యొక్క టెన్సర్‌ను సూచిస్తుంది. మూడు మరియు అంతకంటే ఎక్కువ ర్యాంక్ టెన్సర్లు కూడా ఉన్నాయి, తరువాతి వాటిని దృశ్యమానం చేయడం చాలా కష్టం.
ర్యాంక్‌తో పాటు, టెన్సర్లు ఒకదానికొకటి గణిత అంశాలతో ఎలా సంకర్షణ చెందుతాయి అనేదానికి సంబంధించిన నిర్దిష్ట లక్షణాలను కలిగి ఉంటాయి. పరస్పర చర్యలోని ఏదైనా ఎంటిటీలు ఇతర ఎంటిటీ లేదా ఎంటిటీలను మార్చినట్లయితే, టెన్సర్ తప్పనిసరిగా ఇదే విధమైన పరివర్తన నియమాన్ని పాటించాలి.
వెక్టర్స్ మరియు టెన్సర్‌ల మధ్య వ్యత్యాసం
వెక్టర్ అనేది ఒకటి- సంఖ్యల డైమెన్షనల్ శ్రేణి, తరచుగా మాతృక అని పిలుస్తారు, ఇక్కడ m లేదా n = ఒకటి.
అన్ని వెక్టర్‌లు సాధారణంగా టెన్సర్లు. కానీ అన్ని టెన్సర్లు వెక్టర్‌లు కావు. ఈఅంటే టెన్సర్లు వెక్టర్ కంటే విస్తృతమైన వస్తువు అని అర్థం (ఖచ్చితంగా చెప్పాలంటే, గణిత శాస్త్రజ్ఞులు వెక్టర్‌ల ద్వారా టెన్సర్‌లను సమీకరిస్తారు). టెన్సర్లు సాంకేతికంగా రెండు వేర్వేరు వస్తువుల ద్వారా వివరించబడ్డాయి:
- వెక్టర్‌లు
- ఒక-రూపాలు (“ద్వంద్వ” వెక్టర్స్)
వెక్టర్‌లు ప్రత్యేకంగా వస్తువులు, వీటి కోసం వాటిలో ఏదైనా రెండింటిని లెక్కించడం (వెక్టర్ జోడింపు) స్కేల్-మార్చింగ్‌ని సూచిస్తుంది (స్కేలార్ గుణకారం అని కూడా అంటారు).
ఒకే ఫారమ్‌లు, ఒకే విధమైన భావాలను కలిగి ఉంటాయి; అంతే కాకుండా, ఇది వెక్టర్స్‌పై పనిచేయగలదు మరియు స్కేలర్‌లను తిరిగి ఇవ్వగలదు. ఉదాహరణల కోసం క్రమంలో ఉన్నాయి: అత్యంత నమూనా ఉదాహరణలలో యూక్లిడియన్ వెక్టర్స్-పాయింట్ ఆఫ్ స్పేస్ ఉన్నాయి.
ఉదాహరణలలో ఒక-ఫారమ్‌లు అయస్కాంత సంభావ్యత “వెక్టర్” (ఇది “నిజమైన” వెక్టర్ కాదు) లేదా గ్రేడియంట్ ఆపరేటర్ .
మీరు తగిన ఇతర వాటిని జోడించినప్పుడు ఊహలలో, అత్యంత ముఖ్యమైన లక్షణం ఏమిటంటే, ఒక-రూపాలు మరియు వెక్టర్‌లు కోఆర్డినేట్‌ల మార్పు కింద ఏదో ఒక పద్ధతిలో మారతాయి. సాధారణ సాపేక్షత సిద్ధాంతం వంటి వాటి గురించి సంప్రదించేటప్పుడు భౌతిక శాస్త్రవేత్తలు చాలా తరచుగా ఆందోళన చెందే లక్షణాలు ఇవి.
ఇది కూడ చూడు: “ఐ లవ్ యు” VS “లవ్ యా”: ఏదైనా తేడా ఉందా? - అన్ని తేడాలుగణిత శాస్త్ర వస్తువులు “మల్టీ లీనియర్” ఆపరేటర్‌ల వలె పొడిగించడం ద్వారా టెన్సర్లు; దీనర్థం, వారు వెక్టర్స్ (మరియు ఒక-రూపాలు) సెట్‌లను తీసుకుంటారు మరియు మరొక టెన్సర్‌ను తిరిగి ఇస్తారు (లీనియర్ ఆపరేటర్‌లకు విరుద్ధంగా, ఇది వెక్టర్స్ మరియు రిటర్న్ వెక్టర్‌లను తీసుకుంటుంది). వీటికి వివిధ ఉపయోగాలు ఉన్నాయి.
అనుకుందాంమీరు టెన్సర్‌ల సాధారణ సిద్ధాంతాన్ని అర్థం చేసుకోవాలనుకుంటున్నారు. అలాంటప్పుడు, మీరు నైరూప్య బీజగణితం మరియు నమ్మశక్యం కాని సరళ బీజగణితాన్ని గ్రహించాలి), మరియు మీరు టెన్సర్ కాలిక్యులస్‌ను అర్థం చేసుకోవాలనుకుంటే, మీరు విభిన్న మానిఫోల్డ్‌ల సిద్ధాంతాన్ని కూడా అర్థం చేసుకోవాలి.
చివరి ఆలోచనలు
ఈ కథనంలో, మీరు వీటిని నేర్చుకున్నారు:
- టెన్సర్లు విభిన్న లక్షణాలతో కూడిన బహుళ డైమెన్షనల్ శ్రేణులు.
- ప్రతి బహుముఖ సేకరణ టెన్సర్ కాదు.
- వెక్టార్ ఎల్లప్పుడూ ఒక డైమెన్షనల్ టెన్సర్ మరియు ఒక డైమెన్షనల్ టెన్సర్ ఎల్లప్పుడూ ఉంటుంది వెక్టర్ లేదా కో-వెక్టార్. మాతృక అనేది రెండు-డైమెన్షనల్ టెన్సర్‌లకు ఇవ్వబడిన పేరు.
- వెక్టర్ అనేది సంఖ్యల యొక్క ఒక డైమెన్షనల్ శ్రేణి, దీనిని తరచుగా మాతృక అని పిలుస్తారు, ఇక్కడ m లేదా n = 1. వెక్టర్ మాతృక, వివిధ గణిత కార్యకలాపాలను అమలు చేయడానికి ఉపయోగించవచ్చు మరియు వెక్టర్‌లతో మాత్రికలను గుణించడం సులభం మరియు వైస్ వెర్సా.
- మరోవైపు, టెన్సర్‌ని ఇలా భావించవచ్చు సాధారణీకరించిన మాతృక దాని ర్యాంక్ ద్వారా వివరించబడింది.
సంబంధిత కథనాలు
విజార్డ్ వర్సెస్ వార్లాక్ (ఎవరు బలవంతుడు?)
వివిధ రకాల స్టీక్స్ (T -బోన్, రిబీ, టోమాహాక్ మరియు ఫైలెట్ మిగ్నాన్)
సెస్నా 150 మరియు సెస్నా 152 మధ్య తేడాలు (పోలిక)
