Tensory to złożone tablice, które mają specyficzne i różne właściwości. Nie każdy zbiór wielomianowy jest tensorem.

Istnieją dwa rodzaje tensorów jednowymiarowych: należą do nich wektory i współwektory Zarówno wektory jak i współwektory mogą być reprezentowane jako dostępna tablica liczb.

Jedyna różnica polega na tym, że łączenie tych dwóch następuje wtedy, gdy mamy różne cyfry reprezentujące obiekt na jednym podłożu i chcemy się dowiedzieć, jakie cyfry komplikują to samo na jakimś innym podłożu.

Znaki i zasady transformacji są nieco odmienne dla wektorów i współwektorów. Wektory i współwektory są zwykle odpowiednio "kolumnami liczb" lub "wierszami liczb".

Różnica wektorów i tensorów

W skrócie, wektor zawsze będzie jednowymiarowym tensorem; jeśli masz jednowymiarowy tensor, to na pewno będzie on wektorem lub współwektorem. Dwuwymiarowe tensory są znane jako macierze.

Istnieją cztery różne rodzaje dwuwymiarowych tensorów, ale nie istnieją żadne konkretne nazwy. W przypadku wektorów zasady transformacji są nieco inne, gdy przechodzisz z jednej podstawy do drugiej, ale nie ma konkretnych nazw dla tych tensorów: są to tylko matryce.

Prędzej czy później można je nazwać dowolną dwuwymiarową tablicą "macierzą", nawet jeśli nie jest to tensor. Ponownie, aby uzyskać więcej szczegółów na temat różnicy między macierzą a tensorem, odnieś się do wcześniejszej dyskusji.

Co warto wiedzieć o tensorach

Tensory to złożone tablice, które mają specyficzne i różne właściwości.

Tensory są obiektami matematycznymi, które mogą być wykorzystane do opisania istotnych właściwości, tak samo jak skalary i wektory. Tensory są po prostu inferencją skalarów i wektorów; skalar jest tensorem o randze 0, a wektor jest tensorem o randze 1.

Ranga tensora jest identyfikowana przez liczbę kierunków (a więc wymiarowość tablicy) niezbędnych do jego zdefiniowania. Na przykład właściwości wymagające jednego podejścia ( lub pierwszej rangi) mogą być łatwo opisane przez wektor kolumnowy 3×1.

Ponadto własności wymagające dwóch rzędów (tensory drugiej rangi) mogą być określone przez dziewięć liczb, gdyż w ogólnym przypadku macierzy 3×3, 3n współczynników może opisywać tensor n-tej rangi.

Wymóg posiadania tensorów drugiego rzędu pojawia się, gdy musimy myśleć o więcej niż jednym kierunku opisu 1 z tych aspektów fizycznych.

Doskonałym tego przykładem jest sytuacja, gdy musimy określić przewodnictwo elektryczne dowolnego kryształu izotropowego. Wiemy, że w ogólnym ujęciu, przewodniki izotropowe, które wymagają przestrzegania prawa Ohma i to jest; j=σE. Oznacza to, że gęstość prądu j jest równoległa do oddanego pola elektrycznego, E i że każda część j jest liniowo proporcjonalna do każdego elementu E. (np., j1 = σE1).

Składniki pola elektrycznego

Jednak gęstość prądu indukowana w materiale anizotropowym niekoniecznie będzie równoległa do zaangażowanego pola elektrycznego ze względu na różne kierunki przepływu prądu w krysztale (doskonałym przykładem tego jest grafit). Sugeruje to, że w ogólnym przypadku każda składowa istniejącego wektora gęstości może polegać na wszystkich składowych obecnego pola elektrycznego.

Więc, ogólnie rzecz biorąc, przewodnictwo elektryczne jest tensorem 2. rzędu i może być ustalone przez dziewięć niezależnych współczynników, co można zobrazować w postaci macierzy 3×3.

Oznacza to, że gęstość prądu j jest równoległa do wydzielonego pola elektrycznego, E i że każda część j jest liniowo proporcjonalna do per pola.

Przykłady tensorów drugiego rzędu

Niektóre inne przykłady tensorów drugiej rangi obejmują:

• Podatność elektryczna
• Przewodność cieplna
• Stres

Na ogół odnoszą one wektor do innego wektora lub inny tensor podwójnej rangi do skalara. Tensory o wyższej randze są instruowane w celu pełnego opisu właściwości, które opowiadają dwóm tensorom drugiej rangi (np. Sztywność (czwarta ranga): naprężenie i odkształcenie) lub tensorowi drugiej rangi i wektorowi (np. Piezoelektryczność (trzecia ranga): niepokój i polaryzacja).

Aby obejrzeć te i więcej przykładów oraz zbadać, jak zmiana składowych tensorów wpływa na te właściwości, przejdź przez poniższy program flash.

Wprowadzenie do tensorów

Co to jest wektor?

Wektor to jednowymiarowa tablica liczb, macierz, w której m lub n jest równe 1. Podobnie jak na macierzy, na wektorze można wykonywać różne operacje matematyczne, łatwo jest też mnożyć macierze przez wektory i odwrotnie.

Jednak o tensorze można myśleć jako o uogólnionej macierzy, którą może opisać jego ranga.

Poziom tensora jest liczbą całkowitą o randze 0 lub wyższej. Skalar może reprezentować tensor o randze 0, tensor o randze jeden może być reprezentowany przez wektor, a macierz może reprezentować tensor o randze dwa. Istnieją również tensory o randze trzy i wyższej, te ostatnie są trudniejsze do wizualizacji.

Oprócz rangi, tensory mają specyficzne cechy związane z tym, jak oddziałują z innymi bytami matematycznymi. Jeśli któryś z bytów w interakcji przekształca inny byt lub byty, to tensor musi przestrzegać podobnej reguły przekształceń.

Różnica między wektorami i tensorami

Vector to jednowymiarowa tablica liczb, często nazywana macierzą, gdzie m lub n = jeden.

Wszystkie wektory są zwykle tensorami. Ale wszystkie tensory nie mogą być wektorami. Oznacza to, że tensory są obiektem bardziej rozpowszechnionym niż wektor (ściśle rzecz biorąc, choć matematycy składają tensory poprzez wektory). Tensory są technicznie opisane poprzez dwa różne obiekty:

• Wektory
• Jednoformy ("dualne" wektory)

Wektory są wyłącznie obiektami, dla których wiadomo co oznacza policzenie dowolnych dwóch z nich (dodawanie wektorów) wskazuje na skalarną zmianę ( zwaną też mnożeniem skalarnym).

Jedna z form, podobnie, ma wszystkie te same pojęcia; poza tym może operować na wektorach, a następnie zwracać skalary. Dla przykładów są w kolejności: najbardziej prototypowe przykłady obejmują wektory euklidesowe - punkty przestrzeni.

Przykłady obejmują jednozdaniowe formularze to. "wektor" potencjału magnetycznego (nie jest to "prawdziwy" wektor) lub operator gradientu .

Gdy dodamy inne odpowiednie założenia, najistotniejszą własnością jest to, że jednoformy i wektory przekształcają się w jakiś sposób pod wpływem zmiany współrzędnych. Są to własności, o które najczęściej martwią się fizycy, konsultując takie rzeczy jak teoria ogólnej względności.

Tensory, przez wydłużenie, jako obiekty matematyczne są operatorami "wieloliniowymi"; to znaczy przyjmują zbiory wektorów (i jednokształtów) i zwracają inny tensor (w przeciwieństwie do operatorów liniowych, które przyjmują wektory i zwracają wektory). Mają one różne zastosowania.

Załóżmy, że chcesz zrozumieć ogólną teorię tensorów. W takim przypadku powinieneś zrealizować algebrę abstrakcyjną i niesamowicie algebrę liniową), a jeśli zamierzasz zrozumieć rachunek tensorowy, powinieneś również zrozumieć teorię różniczkowalnych rozmaitości.

Myśli końcowe

W tym artykule dowiedziałeś się, że:

• Tensory są wielowymiarowymi tablicami o odrębnych właściwościach.
• Nie każdy zbiór wielomianowy jest tensorem.
• Wektor jest zawsze tensorem jednowymiarowym, a tensor jednowymiarowy jest zawsze albo wektorem albo współwektorem. Macierz to nazwa nadana tensorom dwuwymiarowym.
• Wektor to jednowymiarowa tablica liczb, często nazywana macierzą, gdzie m lub n = 1. Wektor, podobnie jak macierz, może służyć do wykonywania różnych operacji matematycznych, a mnożenie macierzy przez wektory i odwrotnie jest proste.
• Z drugiej strony, tensor może być pomyślany jako uogólniona macierz opisana przez jej rangę.

Artykuły powiązane

Wizard vs. Warlock (Kto jest silniejszy?)

Różne rodzaje steków (T-Bone, Ribeye, Tomahawk i Filet Mignon)

Różnice między Cessną 150 a Cessną 152 (porównanie)