テンソルは、特定の異なる特性を持つ複雑な配列です。 すべての多面的なコレクションがテンソルではありません。

1次元テンソルには、ベクトルと共ベクトルの2種類があり、ベクトルも共ベクトルも、アクセス可能な数値の配列として表現することができる。

ただ、この2つを結びつけるのは、ある根拠で対象を表すさまざまな数字があり、ある別の根拠で同じものを複雑にする数字は何かを調べたいときです。

ベクトルと共ベクトルでは、変換記号や変換ルールが若干異なります。 ベクトルと共ベクトルは、それぞれ通常「数字の列」「数字の線」です。

ベクターとテンソルの違い

要するに、ベクトルは必ず一次元テンソルになる。一次元テンソルがあれば、必ずベクトルか共ベクトルになる。 二次元テンソルは行列と呼ばれる。

2次元テンソルには4つの種類があるが、具体的な名称は存在しない。 ベクトルの場合、ある基底から別の基底へ移動する際に変換ルールが若干異なるが、これらのテンソルには具体的な名称は存在せず、あくまで行列である。

そのうち、テンソルでなくても、どんな2次元配列でも「行列」と呼ばれるようになる。 繰り返しになるが、配列とテンソルの違いについては、先の議論を参照されたい。

テンソルについて知っておくべきこと

テンソルは、特定の異なる特性を持つ複雑な配列である。

テンソルは、スカラーやベクトルと同様に、実質的な性質を記述するために利用できる数学的なオブジェクトです。 テンソルは、スカラーとベクトルを推論したもので、スカラーは0ランクテンソル、ベクトルは1ランクテンソルとなります。

テンソルのランクは、それを定義するのに必要な方向（つまり配列の次元）の数で識別される。 例えば、1つのアプローチ（または第1ランク）を必要とする特性は、3×1の列ベクトルで簡単に記述することができる。

さらに、3×3の行列一般では、3n個の係数でn番目のランクのテンソルを記述できるように、2つの次数を必要とする性質（2番目のランクのテンソル）を9個の数で定義することができます。

2ランクテンソルの必要性は、これらの物理的側面の1つを記述するために、複数の方向について考える必要があるときに出てきます。

一般に、等方性結晶の電気伝導率は、オームの法則に従うことが必要であることが知られています。 これは、電流密度jが、専念電界Eに平行で、jの各部がEの各要素に線形に比例することを意味しています（例：j1＝σE1）。

電界の構成要素

しかし、異方性物質に誘導される電流密度は、結晶の電流の流れる方向が異なるため、必ずしも関与する電界と平行にならない（グラファイトがその好例）。 このことは、一般的に、既存の密度ベクトルの各成分は、現在の電界のすべての部分に依存できることを示唆する。

だから、一般的には、 電気伝導度は2階テンソルであり、9つの独立した係数で固定することができる、 を3×3のマトリックスで図示することができます。

これは、電流密度jが専用電界Eに平行であり、jのすべての部分が電界あたりに線形に比例することを意味します。

セカンドランク・テンソルのいくつかの例

第2ランクテンソルの他のいくつかの例は、以下を含んでいる：

• 電気感受性
• 熱伝導率
• ストレス

一般にベクトルとベクトル、あるいは二階級テンソルとスカラーを関係付けるが、より高ランクのテンソルは、二階級テンソル同士（例：剛性（4階級）：応力と歪み）、あるいは二階級テンソルとベクトル（例：圧電（3階級）：不安と分極）を伝える性質を十分に記述するように指示される。

これらの例や、テンソルの構成要素を変えることでこれらの性質にどのような影響があるかを調べるには、以下のフラッシュプログラムをご覧ください。

テンソル入門

ベクターとは？

ベクトルは1次元の数値の配列で、mまたはnが1になる行列です。行列と同様に、ベクトルに対してさまざまな数学的演算を行うことができ、行列とベクトルの掛け算やその逆も簡単にできます。

しかし、テンソルは、そのランクが記述できる一般化された行列と考えることができます。

テンソルのレベルは0以上の整数で、ランク0のテンソルはスカラ、ランク1のテンソルはベクトル、ランク2のテンソルは行列で表現できる。 ランク3以上のテンソルも存在するが、後者は可視化が困難である。

テンソルは、ランクに加えて、他の数学的実体とどのように相互作用するかに関連する特定の特性を持っています。 相互作用における実体のいずれかが他の実体または実体を変換する場合、テンソルは同様の変換規則に従わなければなりません。

ベクトルとテンソルの違い

ベクターとは、mまたはn＝1である数値の一次元配列のことで、しばしば行列と呼ばれる。

すべてのベクトルは通常テンソルです。 しかし、すべてのテンソルがベクトルになることはありません。 つまり、テンソルはベクトルよりも広範な対象です（厳密には、数学者はベクトルを通してテンソルを組み立てていますが）。 テンソルは、技術的には2つの異なるオブジェクトを通して記述されます：

• ベクター
• ワンフォーム（"デュアル "ベクトル）

ベクトルは、そのうちの2つを数えること（ベクトル加算）が、それをスケールチェンジすること（スカラー倍算ともいう）を示すことが分かっているものに限られる。

ベクトルを操作してスカラーを返すことができます。 最も典型的な例としては、ユークリッドベクトル（空間の点）が挙げられます。

例として、ワンフォームがあります。 磁気ポテンシャルの「ベクトル」（「真の」ベクトルではない）または勾配演算子 .

一般相対性理論などの相談で物理学者が最も気にするのは、このような性質です。

テンソルは、数学の対象としては「マルチリニア」な演算子です。 つまり、ベクトル（および一形式）の集合を受け取って別のテンソルを返す演算子です（ベクトルを受け取ってベクトルを返す線形演算子に対して）。 これにはさまざまな用途があります。

仮にテンソルの一般理論を理解したい場合、抽象代数や信じられないような線形代数を実現する必要があり、テンソル微積分を理解しようとするならば微分可能な多様体の理論も理解する必要があります。

最終的な感想

この記事で、あなたはそのことを知りました：

• テンソルは、明確な特性を持つ多次元配列です。
• すべての多面的なコレクションがテンソルというわけではありません。
• ベクトルは常に1次元テンソルであり、1次元テンソルは常にベクトルか共ベクトルである。 マトリックスは2次元テンソルに与えられる名前である。
• ベクトルとは、mまたはn＝1である行列としてよく知られている数値の一次元配列のことです。ベクトルは行列と同様に、さまざまな数学的操作を実行するために使用でき、行列とベクトルの乗算やその逆は簡単です。
• 一方、テンソルは、そのランクによって記述される一般化された行列と考えることができます。

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