ტენსორები რთული მასივებია, რომლებსაც აქვთ სპეციფიკური და განსხვავებული თვისებები. ყველა მრავალმხრივი კრებული არ არის ტენსორი.

არსებობს ორი ტიპის ერთგანზომილებიანი ტენსორი: მათ შორისაა ვექტორები და თანავექტორები. ვექტორები ან თანავექტორები შეიძლება წარმოდგენილი იყოს რიცხვების ხელმისაწვდომი მასივის სახით.

ერთადერთი განსხვავება ისაა, რომ ამ ორის დაკავშირება ხდება მაშინ, როდესაც თქვენ გაქვთ სხვადასხვა ციფრები, რომლებიც ასახავს ობიექტს ერთ საფუძველზე და გსურთ გაარკვიოთ რა რიცხვები ართულებს ერთსა და იმავეს სხვადასხვა ნიადაგზე.

ტრანსფორმაციის ნიშნები და წესები ოდნავ განსხვავებულია ვექტორებისა და თანავექტორებისთვის. ვექტორები და თანავექტორები, როგორც წესი, არის "ციფრების სვეტები" ან "ციფრების ხაზები", შესაბამისად.

ვექტორისა და ტენსორის განსხვავება

მოკლედ, ვექტორი ყოველთვის იქნება იყოს ერთგანზომილებიანი ტენსორი; თუ თქვენ გაქვთ ერთგანზომილებიანი ტენსორი, ის აუცილებლად იქნება ან ვექტორი ან თანავექტორი. ორგანზომილებიანი ტენსორები ცნობილია როგორც მატრიცები.

არსებობს ოთხი განსხვავებული ტიპის ორგანზომილებიანი ტენსორი, მაგრამ კონკრეტული სახელები არ არსებობს. ვექტორების შემთხვევაში, ტრანსფორმაციის წესები ოდნავ განსხვავდება ერთი საფუძვლიდან მეორეზე გადასვლისას, მაგრამ ამ ტენსორების კონკრეტული სახელები არ არსებობს: ისინი მხოლოდ მატრიცებია.

ადრე თუ გვიან, მათ შეიძლება ეწოდოს ნებისმიერი. ორგანზომილებიანი მასივი "მატრიცა", თუნდაც ის არ იყოს ტენსორი. კიდევ ერთხელ, დამატებითი ინფორმაციისთვის მასივსა და ტენსორს შორის განსხვავების შესახებ, იხილეთადრინდელი განხილვისთვის.

რა უნდა ვიცოდეთ ტენსორების შესახებ

ტენსორები რთული მასივებია, რომლებსაც აქვთ სპეციფიკური და განსხვავებული თვისებები.

ტენსორები არის მათემატიკური ობიექტები, რომლებიც შეიძლება გამოყენებულ იქნას მნიშვნელოვანი თვისებების აღსაწერად, ისევე როგორც სკალარები ვექტორებთან ერთად. ტენსორები უბრალოდ სკალარების და ვექტორების დასკვნაა; სკალარი არის 0 რანგის ტენსორი, ხოლო ვექტორი არის 1-ლი რანგის ტენსორი.

ტენზორის რანგი იდენტიფიცირებულია მიმართულებების რაოდენობის მიხედვით (და, შესაბამისად, მასივის განზომილება), რომელიც აუცილებელია განსაზღვრისათვის. ის. მაგალითად, თვისებები, რომლებიც საჭიროებენ ერთ მიდგომას (ან პირველ რანგის) ადვილად შეიძლება აღწერონ 3×1 სვეტის ვექტორით.

უფრო მეტიც, თვისებები, რომლებიც საჭიროებენ ორ წესრიგს (მეორე რანგის ტენსორები) შეიძლება განისაზღვროს ცხრა რიცხვი, როგორც 3×3 ზოგადი მატრიცის შემთხვევაში, 3n კოეფიციენტებს შეუძლიათ აღწერონ n-ე რანგის ტენსორი.

მეორე რანგის ტენსორების მოთხოვნა ჩნდება მაშინ, როდესაც ჩვენ უნდა ვიფიქროთ ერთზე მეტ მიმართულებაზე აღსაწერად. ამ ფიზიკური ასპექტებიდან 1.

ამის შესანიშნავი მაგალითია, თუ ჩვენ გვჭირდება რაიმე იზოტროპული კრისტალის ელექტრული გამტარობის თქმა. ჩვენ ვიცით, რომ ზოგადად, იზოტროპული გამტარები, რომლებიც საჭიროებენ ოჰმის კანონს და ეს არის; j=σE. ეს ნიშნავს, რომ დენის სიმკვრივე j პარალელურია გამოყოფილი ელექტრული ველის, E და რომ j-ის თითოეული ნაწილი წრფივი პროპორციულია E.-ის თითო ელემენტთან (მაგ., j1 = σE1).

ელექტრული ველის კომპონენტები

თუმცა, დენის სიმკვრივე გამოწვეული ანიზოტროპული მასალა აუცილებლად არ იქნება პარალელურად ჩართულ ელექტრულ ველთან კრისტალის დენის დინების სხვადასხვა მიმართულების გამო (ამის შესანიშნავი მაგალითია გრაფიტი). ეს ვარაუდობს, რომ ზოგადად, არსებული სიმკვრივის ვექტორის თითოეულ კომპონენტს შეუძლია დაეყრდნოს დღევანდელი ელექტრული ველის ყველა ნაწილს.

ასე რომ, ზოგადად, ელექტრული გამტარობა არის მე-2 რანგის ტენსორი და შეიძლება დაფიქსირდეს ცხრა დამოუკიდებელი კოეფიციენტით, რაც შეიძლება ილუსტრირებული იყოს 3×3 მატრიცაში.

ეს ნიშნავს, რომ დენის სიმკვრივე j პარალელურია გამოყოფილი ელექტრული ველის, E და რომ j-ის ყველა ნაწილი წრფივი პროპორციულია თითო ველთან.

მეორე რიგის ტენსორების ზოგიერთი მაგალითი

სხვა რამდენიმე მაგალითი მეორე რანგის ტენსორები მოიცავს:

• ელექტრული მგრძნობელობა
• თერმული კონდუქტომეტრული
• სტრესი

ისინი ჩვეულებრივ აკავშირებენ ვექტორს სხვა ვექტორთან ან სხვა ორმაგი რანგის ტენზორს სკალართან. უფრო მაღალი რანგის ტენსორებს ევალებათ სრულად აღწერონ თვისებები, რომლებიც ეუბნებიან ორ მეორე რანგის ტენსორს (მაგ., სიხისტე (მე-4 რანგი): დაძაბულობა და დაჭიმულობა) ან მეორე რანგის ტენსორს და ვექტორს (მაგ., პიეზოელექტრობას (მე-3).რანგი): შფოთვა და პოლარიზაცია).

ამ და სხვა მაგალითების სანახავად და იმის გამოსაკვლევად, თუ როგორ მოქმედებს ტენზორების კომპონენტების შეცვლა ამ თვისებებზე, გადადით ქვემოთ მოცემულ ფლეშ პროგრამაში.

ტენზორების შესავალი

რა არის ვექტორი?

ვექტორი არის რიცხვების 1 განზომილებიანი მასივი, მატრიცა, სადაც m ან n უდრის 1-ს. მატრიცის მსგავსად, შესაძლებელია ვექტორზე სხვადასხვა მათემატიკური მოქმედებების შესრულება და ადვილია. გავამრავლოთ მატრიცები ვექტორებით და პირიქით.

თუმცა, ტენსორი შეიძლება მივიჩნიოთ როგორც განზოგადებული მატრიცა, რომლის წოდებაც შეიძლება აღწეროს.

ტენზორის დონე არის მთელი რიცხვი 0 ან მეტი. სკალარი შეიძლება წარმოადგენდეს ტენსორს რანგის 0-ით, ტენსორი ერთი რიგით შეიძლება იყოს წარმოდგენილი ვექტორით, ხოლო მატრიცა შეიძლება წარმოადგენდეს ტენსორს მეორე რანგის. ასევე არსებობს სამი და უფრო მაღალი რანგის ტენსორები, ამ უკანასკნელთა ვიზუალიზაცია უფრო რთულია.

რანგის გარდა, ტენსორებს აქვთ სპეციფიკური მახასიათებლები, რომლებიც დაკავშირებულია მათემატიკური ერთეულებთან ურთიერთქმედებით. თუ ურთიერთქმედების რომელიმე ერთეული გარდაქმნის სხვა ერთეულს ან ერთეულებს, მაშინ ტენსორი უნდა დაემორჩილოს ტრანსფორმაციის მსგავს წესს.

სხვაობა ვექტორებსა და ტენსორებს შორის

ვექტორი არის ერთი- რიცხვების განზომილებიანი მასივი, რომელიც ხშირად ცნობილია როგორც მატრიცა, სადაც m ან n = ერთი.

ყველა ვექტორი ჩვეულებრივ ტენსორია. მაგრამ ყველა ტენსორი არ შეიძლება იყოს ვექტორი. ესნიშნავს, რომ ტენსორები უფრო ფართოდ გავრცელებული ობიექტია, ვიდრე ვექტორი (მკაცრად რომ ვთქვათ, თუმცა მათემატიკოსები აწყობენ ტენსორებს ვექტორების მეშვეობით). ტენსორები ტექნიკურად აღწერილია ორი განსხვავებული ობიექტის მეშვეობით:

• ვექტორები
• ერთფორმიანი ("ორმაგი" ვექტორები)

ვექტორები არის ექსკლუზიურად ობიექტები, რომლებისთვისაც თქვენ იცით, რა მიუთითებს მათგან ორის დათვლა (ვექტორის დამატება) მასშტაბის შეცვლაზე (ასევე ცნობილია როგორც სკალარული გამრავლება).

ერთ ფორმას ასევე აქვს ყველა ერთი და იგივე ცნება; გარდა ამისა, მას შეუძლია იმოქმედოს ვექტორებზე და შემდეგ დააბრუნოს სკალარები. მაგალითები წესრიგშია: ყველაზე პროტოტიპული მაგალითები მოიცავს ევკლიდეს ვექტორებს - სივრცის წერტილებს.

მაგალითები მოიცავს ერთ ფორმებს იქნება მაგნიტური პოტენციალის „ვექტორი“ (ეს არ არის „ჭეშმარიტი“ ვექტორი) ან გრადიენტური ოპერატორი .

როდესაც დაამატებთ სხვა შესაბამისს. ვარაუდებით, ყველაზე მნიშვნელოვანი თვისებაა ის, რომ ერთგვაროვანი ფორმები და ვექტორები გარკვეულწილად გარდაიქმნება კოორდინატების ცვლილებით. ეს ის თვისებებია, რომლებზეც ფიზიკოსებს ყველაზე ხშირად აწუხებთ ზოგადი ფარდობითობის თეორიის მსგავსი კონსულტაციების დროს.

ტენზორები, დრეკადობით, როგორც მათემატიკური ობიექტები არიან „მრავალწრფივი“ ოპერატორები; ეს ნიშნავს, რომ ისინი იღებენ ვექტორთა სიმრავლეს (და ერთ ფორმას) და აბრუნებენ მეორე ტენსორს (განსხვავებით წრფივი ოპერატორებისგან, რომლებიც იღებენ ვექტორებს და აბრუნებენ ვექტორებს). მათ აქვთ სხვადასხვა გამოყენება.

ვთქვათგსურთ გაიგოთ ტენზორების ზოგადი თეორია. ამ შემთხვევაში, თქვენ უნდა გააცნობიეროთ აბსტრაქტული ალგებრა და წარმოუდგენლად წრფივი ალგებრა), და თუ თქვენ აპირებთ ტენსორული გამოთვლების გაგებას, ასევე უნდა გესმოდეთ დიფერენცირებადი მრავალფეროვნების თეორია.

საბოლოო აზრები

ამ სტატიაში თქვენ გაიგეთ, რომ:

• ტენზორები არის მრავალგანზომილებიანი მასივები განსხვავებული თვისებებით.
• ყველა მრავალმხრივი კრებული არ არის ტენსორი.
• ვექტორი ყოველთვის არის ერთგანზომილებიანი ტენსორი, ხოლო ერთგანზომილებიანი ტენსორი ყოველთვის არის ან ვექტორი ან თანავექტორი. მატრიცა არის ორგანზომილებიანი ტენსორების სახელი.
• ვექტორი არის რიცხვების ერთგანზომილებიანი მასივი, რომელიც ხშირად ცნობილია როგორც მატრიცა, სადაც m ან n = 1. ვექტორი, მაგ. მატრიცა, შეიძლება გამოყენებულ იქნას სხვადასხვა მათემატიკური ოპერაციების შესასრულებლად, და მარტივია მატრიცების გამრავლება ვექტორებით და პირიქით. განზოგადებული მატრიცა, რომელიც აღწერილია მისი რანგით.

მსგავსი სტატიები

ოსტატი წინააღმდეგ Warlock (ვინ არის უფრო ძლიერი?)

სხვადასხვა ტიპის სტეიკები (T -Bone, Ribeye, Tomahawk და Filet Mignon)

განსხვავებები Cessna 150-სა და Cessna 152-ს შორის (შედარება)