Tensorer är komplexa matriser som har specifika och olika egenskaper. Inte alla mångfacetterade samlingar är en tensor.

Det finns två typer av endimensionella tensorer: Vektorer och kovektorer. Vektorer och kovektorer kan representeras som en tillgänglig matris av tal.

Den enda skillnaden är att man kopplar ihop dessa två när man har en mängd olika siffror som representerar objektet på en grund och vill ta reda på vilka siffror som komplicerar samma sak på en annan grund.

Tecken och regler för omvandling är något olika för vektorer och kovektorer. Vektorer och kovektorer är vanligtvis "kolumner av tal" respektive "rader av tal".

Skillnad mellan vektorer och sensorer

Kort sagt är en vektor alltid en endimensionell tensor; om du har en endimensionell tensor kommer den säkert att vara antingen en vektor eller en samvektor. Tvådimensionella tensorer kallas matriser.

Det finns fyra olika typer av tvådimensionella tensorer, men det finns inga specifika namn. När det gäller vektorer är transformationsreglerna något annorlunda när man går från en bas till en annan, men det finns inga specifika namn för dessa tensorer: de är bara matriser.

Förr eller senare kan man kalla alla tvådimensionella matriser för "matriser", även om det inte är en tensor. För mer information om skillnaden mellan matris och tensor hänvisar vi till den tidigare diskussionen.

Vad du bör veta om tensorer

Tensorer är komplexa matriser som har specifika och olika egenskaper.

Tensorer är matematiska objekt som kan användas för att beskriva väsentliga egenskaper, på samma sätt som skalarer och vektorer. Tensorer är helt enkelt en härledning av skalarer och vektorer; en skalar är en tensor med 0 rang och en vektor är en tensor med 1:a rang.

Rangordningen av en tensor identifieras av antalet riktningar (och därmed dimensioneringen av matrisen) som krävs för att definiera den. Till exempel kan egenskaper som kräver ett tillvägagångssätt (eller första rangordningen) enkelt beskrivas med en 3×1 kolumnvektor.

Dessutom kan egenskaper som kräver två ordningar (andra rangens tensorer) definieras med nio tal, eftersom 3n koefficienter i en 3×3-matris generellt kan beskriva den n:e rangensorn.

Kravet på tensorer av andra rang uppstår när vi behöver tänka på mer än en riktning för att beskriva en av dessa fysiska aspekter.

Ett perfekt exempel på detta är om vi behöver veta vilken elektrisk ledningsförmåga en isotrop kristall har. Vi vet att isotropa ledare generellt sett måste följa Ohms lag, dvs. j=σE. Detta innebär att strömtätheten j är parallell med det elektriska fältet E och att varje del av j är linjärt proportionell mot varje del av E. (t.ex. j1 = σE1).

Komponenter i det elektriska fältet

Den strömtäthet som induceras i ett anisotropt material kommer dock inte nödvändigtvis att vara parallell med det aktuella elektriska fältet på grund av kristallens olika strömriktningar (ett utmärkt exempel på detta är grafit). Detta tyder på att varje komponent i den befintliga täthetsvektorn generellt sett kan förlita sig på alla delar av det aktuella elektriska fältet.

Så, i allmänhet, Den elektriska ledningsförmågan är en tensor av andra rang och kan fastställas med nio oberoende koefficienter, som kan illustreras i en 3×3-matris.

Detta innebär att strömtätheten j är parallell med det särskilda elektriska fältet E och att varje del av j är linjärt proportionell mot fältet.

Några exempel på sensorer av andra rang

Några andra exempel på andra rangens tensorer är:

• Elektrisk känslighet
• Värmekonduktivitet
• Stress

De relaterar i allmänhet en vektor till en annan vektor eller en annan tensor av dubbel rang till en skalär. Tensorer av högre rang instrueras för att fullt ut beskriva egenskaper som talar om två tensorer av andra rang (t.ex. styvhet (4:e rang): spänning och töjning) eller en tensor av andra rang och en vektor (t.ex. piezoelektricitet (3:e rang): ångest och polarisering).

Om du vill se dessa och fler exempel och undersöka hur det påverkar dessa egenskaper att ändra komponenterna i tensorer, kan du gå igenom flashprogrammet nedan.

Introduktion till tensorer

Vad är en vektor?

En vektor är en 1-dimensionell matris av tal, en matris där m eller n är lika med 1. I likhet med en matris är det möjligt att utföra olika matematiska operationer på en vektor, och det är lätt att multiplicera matriser med vektorer och vice versa.

En tensor kan dock betraktas som en generaliserad matris som dess rang kan beskriva.

En tensors rang är ett heltal av 0 eller högre. En skalär kan representera en tensor med rang 0, en tensor med rang 1 kan representeras av en vektor och en matris kan representera en tensor med rang 2. Det finns också tensorer med rang 3 och högre, men de senare är svårare att visualisera.

Förutom rangordningen har tensorer specifika egenskaper som har att göra med hur de interagerar med andra matematiska enheter. Om någon av enheterna i en interaktion transformerar den eller de andra enheterna måste tensorn lyda en liknande transformationsregel.

Skillnaden mellan vektorer och tensorer

Vektor är en endimensionell matris av siffror, ofta kallad matris, där m eller n = ett.

Alla vektorer är vanligen tensorer, men alla tensorer kan inte vara vektorer, vilket innebär att tensorer är ett mer utbrett objekt än en vektor (i strikt mening, även om matematiker sätter ihop tensorer genom vektorer). Tensorer beskrivs tekniskt sett genom två olika objekt:

• Vektorer
• Enformsformer ("dubbla" vektorer)

Vektorer är uteslutande objekt för vilka man vet vad som räknas till två av dem (vektoraddition) och vad som förändras genom skalförändring (även kallad skalär multiplikation).

One forms har också alla samma begrepp, men kan dessutom bearbeta vektorer och sedan återge skalarer. Följande exempel kan nämnas: De mest typiska exemplen är euklidiska vektorer, dvs. punkter i rymden.

Exempel på enformiga formulär är den magnetiska potentialens "vektor" (det är inte en "riktig" vektor) eller gradientoperatören .

När man lägger till andra lämpliga antaganden är den viktigaste egenskapen att enformer och vektorer omvandlas på något sätt vid en koordinatändring. Det är dessa egenskaper som fysiker oftast oroar sig för när de diskuterar saker som den allmänna relativitetsteorin.

Tensorer är som matematiska objekt "multilinjära" operatörer, det vill säga de tar in mängder av vektorer (och enformer) och returnerar en annan tensor (i motsats till linjära operatörer som tar in vektorer och returnerar vektorer). Dessa har olika användningsområden.

Antag att du vill förstå den allmänna teorin om tensorer. I så fall bör du förstå abstrakt algebra och otroligt nog linjär algebra, och om du ska förstå tensorkalkyl bör du också förstå teorin om differentierbara manifestor.

Slutliga tankar

I den här artikeln har du lärt dig det:

• Tensorer är flerdimensionella matriser med olika egenskaper.
• Inte alla mångfacetterade samlingar är en tensor.
• En vektor är alltid en endimensionell tensor, och en endimensionell tensor är alltid antingen en vektor eller en samvektor. Matris är namnet på tvådimensionella tensorer.
• En vektor är en endimensionell matris av tal, ofta kallad matris, där m eller n = 1. En vektor, liksom en matris, kan användas för att utföra en mängd olika matematiska operationer, och det är enkelt att multiplicera matriser med vektorer och vice versa.
• Å andra sidan kan en tensor betraktas som en generaliserad matris som beskrivs av dess rang.

Relaterade artiklar

Trollkarl vs. trollkarl (Vem är starkare?)

Olika typer av biffar (T-Bone, Ribeye, Tomahawk och Filet Mignon)

Skillnader mellan Cessna 150 och Cessna 152 (jämförelse)