টেনসর হল জটিল অ্যারে যেগুলির নির্দিষ্ট এবং বিভিন্ন বৈশিষ্ট্য রয়েছে। প্রতিটি বহুমুখী সংগ্রহ একটি টেনসর নয়।

দুই ধরনের এক-মাত্রিক টেনসর রয়েছে: এর মধ্যে রয়েছে ভেক্টর এবং কো-ভেক্টর। হয় ভেক্টর বা কো-ভেক্টরকে সংখ্যার অ্যাক্সেসযোগ্য অ্যারে হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে।

শুধু পার্থক্য হল এই দুটিকে লিঙ্ক করা তখনই আসে যখন আপনার কাছে বিভিন্ন ধরনের সংখ্যা থাকে যা এক ভিত্তিতে বস্তুর প্রতিনিধিত্ব করে এবং কোন সংখ্যাগুলি একই জিনিসকে ভিন্ন ভিন্ন ভিত্তিতে জটিল করে তা খুঁজে বের করতে চান৷

ভেক্টর এবং কো-ভেক্টরের জন্য রূপান্তরের চিহ্ন এবং নিয়মগুলি কিছুটা ভিন্ন। ভেক্টর এবং কো-ভেক্টর যথাক্রমে "সংখ্যার কলাম" বা "সংখ্যার লাইন" হয়।

ভেক্টর এবং টেনসরের পার্থক্য

সংক্ষেপে, একটি ভেক্টর সবসময় একটি এক-মাত্রিক টেনসর হতে; আপনার যদি একটি এক-মাত্রিক টেনসর থাকে তবে এটি অবশ্যই একটি ভেক্টর বা সহ-ভেক্টর হবে। দ্বি-মাত্রিক টেনসরগুলি ম্যাট্রিস হিসাবে পরিচিত।

চারটি ভিন্ন ধরনের দ্বি-মাত্রিক টেনসর আছে, কিন্তু কোনো নির্দিষ্ট নাম নেই। ভেক্টরের ক্ষেত্রে, আপনি যখন এক ভিত্তি থেকে অন্য ভিত্তিতে যান তখন রূপান্তরের নিয়মগুলি কিছুটা আলাদা, কিন্তু এই টেনসরগুলির জন্য কোনও নির্দিষ্ট নাম নেই: এগুলি কেবলমাত্র ম্যাট্রিক্স৷

শীঘ্র বা পরে, তাদের যে কোনও বলা যেতে পারে দ্বি-মাত্রিক অ্যারে একটি "ম্যাট্রিক্স", এমনকি যদি এটি একটি টেনসর না হয়। আবার, অ্যারে এবং টেনসরের মধ্যে পার্থক্য সম্পর্কে আরও বিশদ বিবরণের জন্য, পড়ুনপূর্বের আলোচনায়।

টেনসর সম্পর্কে কি জানতে হবে

টেনসর হল জটিল অ্যারে যেগুলির নির্দিষ্ট এবং বিভিন্ন বৈশিষ্ট্য রয়েছে।

টেন্সর হল গাণিতিক বস্তু যা ভেক্টর সহ স্কেলারের মতোই উল্লেখযোগ্য বৈশিষ্ট্য বর্ণনা করতে ব্যবহার করা যেতে পারে। টেনসরগুলি কেবল স্কেলার এবং ভেক্টরগুলির একটি অনুমান; একটি স্কেলার হল একটি 0 র‍্যাঙ্ক টেনসর, এবং একটি ভেক্টর হল একটি 1ম র‍্যাঙ্ক টেনসর৷

একটি টেনসরের র‍্যাঙ্কটি সংজ্ঞায়িত করার জন্য প্রয়োজনীয় দিকনির্দেশের সংখ্যা (এবং তাই অ্যারের মাত্রিকতা) দ্বারা চিহ্নিত করা হয় এটা উদাহরণস্বরূপ, যে বৈশিষ্ট্যগুলির জন্য একটি পদ্ধতির প্রয়োজন (বা প্রথম র‍্যাঙ্ক) একটি 3×1 কলাম ভেক্টর দ্বারা সহজেই বর্ণনা করা যেতে পারে৷

এছাড়াও, যে বৈশিষ্ট্যগুলির জন্য দুটি অর্ডার (দ্বিতীয় র্যাঙ্ক টেনসর) প্রয়োজন সেগুলি দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে নয়টি সংখ্যা, 3×3 ম্যাট্রিক্স সাধারণের মতো, 3n সহগ nম র্যাঙ্ক টেনসরকে বর্ণনা করতে পারে।

দ্বিতীয়-র্যাঙ্কের টেনসরের প্রয়োজনীয়তা আসে যখন বর্ণনা করার জন্য আমাদের একাধিক দিক সম্পর্কে চিন্তা করতে হয় এই শারীরিক দিক 1.

এর একটি নিখুঁত উদাহরণ হল যদি আমাদের কোনো আইসোট্রপিক স্ফটিকের বৈদ্যুতিক পরিবাহিতা বলতে হয়। আমরা জানি যে সাধারণ পরিভাষায়, আইসোট্রপিক কন্ডাক্টর যেগুলিকে ওহমের নিয়ম মেনে চলতে হয় এবং তা হল; j=σE। এর মানে হল যে বর্তমান ঘনত্ব j অনুগত বৈদ্যুতিক ক্ষেত্রের সমান্তরাল, E এবং j এর প্রতিটি অংশ E এর প্রতি উপাদানের সাথে রৈখিকভাবে সমানুপাতিক (যেমন, j1 = σE1)।

বৈদ্যুতিক ক্ষেত্রের উপাদান

তবে, বর্তমান ঘনত্ব এতে প্রবর্তিত হয় একটি অ্যানিসোট্রপিক উপাদান অগত্যা জড়িত বৈদ্যুতিক ক্ষেত্রের সমান্তরাল হবে না কারণ স্ফটিকের বর্তমান প্রবাহের বিভিন্ন দিকের কারণে (এর একটি চমৎকার উদাহরণ হল গ্রাফাইটে)। এটি পরামর্শ দেয় যে, সাধারণভাবে, বিদ্যমান ঘনত্ব ভেক্টরের প্রতিটি উপাদান বর্তমান বৈদ্যুতিক ক্ষেত্রের সমস্ত অংশের উপর নির্ভর করতে পারে।

সুতরাং, সাধারণভাবে, বৈদ্যুতিক পরিবাহিতা হল একটি ২য় র্যাঙ্ক টেনসর এবং নয়টি স্বাধীন সহগ দ্বারা স্থির করা যেতে পারে, যা একটি 3×3 ম্যাট্রিক্সে চিত্রিত করা যেতে পারে।

এর মানে হল যে বর্তমান ঘনত্ব j ডেডিকেটেড বৈদ্যুতিক ক্ষেত্রের সমান্তরাল, E এবং j এর প্রতিটি অংশ প্রতি ক্ষেত্রের সাথে রৈখিকভাবে সমানুপাতিক।

দ্বিতীয় র্যাঙ্ক টেনসরের কিছু উদাহরণ

অন্য কিছু উদাহরণ দ্বিতীয় র্যাঙ্কের টেনসরগুলির মধ্যে রয়েছে:

• বৈদ্যুতিক সংবেদনশীলতা
• তাপ পরিবাহিতা 20>
• স্ট্রেস

এগুলি সাধারণত একটি ভেক্টরকে অন্য ভেক্টরের সাথে বা অন্য একটি দ্বৈত র্যাঙ্ক টেনসরকে একটি স্কেলারের সাথে সম্পর্কিত করে। আরও উচ্চ র্যাঙ্কের টেনসরগুলিকে এমন বৈশিষ্ট্যগুলি সম্পূর্ণরূপে বর্ণনা করার নির্দেশ দেওয়া হয় যা দুটি দ্বিতীয়-র্যাঙ্কের টেনসরকে বলে (যেমন, কঠোরতা (4র্থ র্যাঙ্ক): স্ট্রেস এবং স্ট্রেন) বা দ্বিতীয় র্যাঙ্কের টেনসর এবং একটি ভেক্টর (যেমন, পাইজোইলেকট্রিসিটি (3য়)র্যাঙ্ক): উদ্বেগ এবং মেরুকরণ)।

এই এবং আরও উদাহরণগুলি দেখতে এবং টেনসরের উপাদানগুলি কীভাবে এই বৈশিষ্ট্যগুলিকে প্রভাবিত করে তা তদন্ত করতে, নীচের ফ্ল্যাশ প্রোগ্রামটি দেখুন৷

টেনসরগুলির ভূমিকা

ভেক্টর কি?

একটি ভেক্টর হল সংখ্যার একটি 1-মাত্রিক বিন্যাস, একটি ম্যাট্রিক্স যেখানে m বা n সমান 1। একটি ম্যাট্রিক্সের মতো, এটি একটি ভেক্টরে বিভিন্ন গাণিতিক ক্রিয়াকলাপ সম্পাদন করা সম্ভব এবং এটি করা সহজ ভেক্টরের সাথে ম্যাট্রিক্সকে গুন করুন এবং এর বিপরীতে।

তবে, একটি টেনসরকে একটি সাধারণ ম্যাট্রিক্স হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে যা এর র্যাঙ্ক বর্ণনা করতে পারে।

একটি টেনসরের স্তর হল 0 বা উচ্চতর একটি পূর্ণসংখ্যা। একটি স্কেলার র্যাঙ্ক 0 সহ একটি টেনসরকে প্রতিনিধিত্ব করতে পারে, একটি র্যাঙ্ক ওয়ান সহ একটি ভেক্টর দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা যেতে পারে এবং একটি ম্যাট্রিক্স দুটি র্যাঙ্কের একটি টেনসরকে উপস্থাপন করতে পারে। র‍্যাঙ্ক থ্রি এবং উচ্চতরের টেনসরও আছে, পরেরগুলোকে কল্পনা করা আরও কঠিন।

র্যাঙ্ক ছাড়াও, টেনসরগুলির নির্দিষ্ট বৈশিষ্ট্য রয়েছে যে তারা কীভাবে একে অপরের গাণিতিক সত্তার সাথে যোগাযোগ করে। যদি একটি মিথস্ক্রিয়ায় সত্তাগুলির মধ্যে কোনো একটি অন্য সত্তা বা সত্তাকে রূপান্তরিত করে, তাহলে টেনসরকে অবশ্যই একটি অনুরূপ রূপান্তর নিয়ম মেনে চলতে হবে।

ভেক্টর এবং টেনসরের মধ্যে পার্থক্য

ভেক্টর হল একটি- সংখ্যার মাত্রিক বিন্যাস, প্রায়ই ম্যাট্রিক্স নামে পরিচিত, যেখানে m বা n = one।

সমস্ত ভেক্টর সাধারণত টেনসর হয়। কিন্তু সব টেনসর ভেক্টর হতে পারে না। এইমানে টেনসরগুলি একটি ভেক্টরের চেয়ে বেশি বিস্তৃত বস্তু (কঠোরভাবে বলতে গেলে, গণিতবিদরা ভেক্টরের মাধ্যমে টেনসর একত্রিত করেন)। টেনসরগুলিকে টেকনিক্যালি দুটি ভিন্ন বস্তুর মাধ্যমে বর্ণনা করা হয়:

• ভেক্টর 20>
• এক-ফর্ম ("দ্বৈত" ভেক্টর)

ভেক্টরগুলি একচেটিয়াভাবে এমন বস্তু যার জন্য আপনি জানেন যে কোন দুটিকে গণনা করা (ভেক্টর সংযোজন) এটিকে স্কেল-পরিবর্তন নির্দেশ করে (যা স্কেলার গুণন নামেও পরিচিত)।

একটি ফর্ম, একইভাবে, সব একই ধারণা আছে; তা ছাড়া, এটি ভেক্টরগুলিতে কাজ করতে পারে এবং তারপরে স্কেলারগুলি ফেরত দিতে পারে। উদাহরণের জন্য ক্রমানুসারে রয়েছে: সবচেয়ে প্রোটোটাইপিকাল উদাহরণগুলির মধ্যে রয়েছে ইউক্লিডীয় ভেক্টর – স্থানের বিন্দু।

উদাহরণগুলির মধ্যে একটি-ফর্ম অন্তর্ভুক্ত হবে চৌম্বক সম্ভাব্য "ভেক্টর" (এটি একটি "সত্য" ভেক্টর নয়) বা গ্রেডিয়েন্ট অপারেটর ।

যখন আপনি অন্য উপযুক্ত যোগ করেন অনুমান, সবচেয়ে উল্লেখযোগ্য বৈশিষ্ট্য হল যে এক-ফর্ম এবং ভেক্টর স্থানাঙ্কের পরিবর্তনের অধীনে কিছু উপায়ে রূপান্তরিত হয়। সাধারণ আপেক্ষিকতা তত্ত্বের মতো বিষয়গুলি সম্পর্কে পরামর্শ করার সময় এই বৈশিষ্ট্যগুলি পদার্থবিদরা প্রায়শই চিন্তিত হন।

টেন্সর, প্রসারণ দ্বারা, গাণিতিক বস্তু "মাল্টিলিনিয়ার" অপারেটর হিসাবে; এর অর্থ হল, তারা ভেক্টরের সেট গ্রহণ করে (এবং এক-ফর্ম) এবং অন্য টেনসর ফেরত দেয় (রৈখিক অপারেটরগুলির বিপরীতে, যা ভেক্টর গ্রহণ করে এবং ভেক্টর ফেরত দেয়)। এগুলোর বিভিন্ন ব্যবহার রয়েছে।

ধরুনআপনি টেনসরের সাধারণ তত্ত্ব বুঝতে চান। সেক্ষেত্রে, আপনার বিমূর্ত বীজগণিত এবং অবিশ্বাস্যভাবে রৈখিক বীজগণিত উপলব্ধি করা উচিত), এবং আপনি যদি টেনসর ক্যালকুলাস বুঝতে যাচ্ছেন, তবে আপনার ডিফারেন্সিয়েবল ম্যানিফোল্ডের তত্ত্বটিও বোঝা উচিত।

চূড়ান্ত চিন্তা

এই নিবন্ধে, আপনি শিখেছেন যে:

• টেনসরগুলি স্বতন্ত্র বৈশিষ্ট্য সহ বহুমাত্রিক অ্যারে।
• প্রতিটি বহুমুখী সংগ্রহ একটি টেনসর নয়৷
• একটি ভেক্টর সর্বদা একটি এক-মাত্রিক টেনসর এবং একটি এক-মাত্রিক টেনসর সর্বদা হয় হয় একটি ভেক্টর বা একটি সহ-ভেক্টর। ম্যাট্রিক্স হল দ্বি-মাত্রিক টেনসরকে দেওয়া নাম।
• ভেক্টর হল সংখ্যার এক-মাত্রিক বিন্যাস, প্রায়শই ম্যাট্রিক্স নামে পরিচিত, যেখানে m বা n = 1। একটি ভেক্টর, যেমন একটি ম্যাট্রিক্স, বিভিন্ন ধরনের গাণিতিক ক্রিয়াকলাপ চালানোর জন্য ব্যবহার করা যেতে পারে এবং ভেক্টরের সাথে ম্যাট্রিক্সকে গুণ করা সহজ এবং এর বিপরীতে।
• অন্যদিকে, একটি টেনসরকে কল্পনা করা যেতে পারে একটি সাধারণ ম্যাট্রিক্স তার র্যাঙ্ক দ্বারা বর্ণিত৷

সম্পর্কিত নিবন্ধগুলি

উইজার্ড বনাম ওয়ারলক (কে শক্তিশালী?)

বিভিন্ন ধরনের স্টিকস (টি) -বোন, রিবেই, টমাহক এবং ফিলেট মিগনন)

সেসনা 150 এবং সেসনা 152 এর মধ্যে পার্থক্য (তুলনা)