Tensori ir sarežģīti masīvi, kuriem piemīt specifiskas un atšķirīgas īpašības. Ne katrs daudzšķautņains kopums ir tenors.

Pastāv divu veidu viendimensiju tenzori: tie ir vektori un kovektori. Gan vektorus, gan kovektorus var attēlot kā pieejamu skaitļu masīvu.

Vienīgā atšķirība ir tāda, ka šo divu skaitļu sasaiste rodas tad, kad jums ir dažādi skaitļi, kas raksturo objektu uz viena pamata, un jūs vēlaties noskaidrot, kādi skaitļi sarežģī to pašu lietu uz kāda cita pamata.

Vektoriem un kovektoriem transformācijas zīmes un noteikumi nedaudz atšķiras. Vektori un kovektori parasti ir attiecīgi "skaitļu kolonnas" vai "skaitļu rindas".

Vektoru un tenzoru starpība

Īsāk sakot, vektors vienmēr būs viendimensiju tenzors; ja jums ir viendimensiju tenzors, tas noteikti būs vai nu vektors, vai kopvektors. Divdimensiju tenzorus sauc par matricām.

Pastāv četri dažādi divdimensiju tenzoru veidi, taču tiem nav specifisku nosaukumu. Vektoru gadījumā transformācijas noteikumi nedaudz atšķiras, pārejot no vienas bāzes uz citu, taču šiem tenzoriem nav specifisku nosaukumu: tie ir tikai matricas.

Agri vai vēlu jebkuru divdimensiju masīvu var saukt par "matricu", pat ja tas nav tenzors. Atkal, lai sīkāk iepazītos ar atšķirību starp masīvu un tenzoru, skatiet iepriekšējo diskusiju.

Kas jāzina par tenzoriem

Tensori ir sarežģīti masīvi, kuriem piemīt īpašas un atšķirīgas īpašības.

Tensori ir matemātiski objekti, kurus var izmantot, lai aprakstītu būtiskas īpašības, tāpat kā skalārus kopā ar vektoriem. Tensori ir vienkārši skalāru un vektoru atvasinājums; skalārs ir 0 ranga tenors, bet vektors ir 1. ranga tenors.

Tensora rangu identificē pēc tā definēšanai nepieciešamo virzienu skaita (un līdz ar to arī masīva dimensijas). Piemēram, īpašības, kurām nepieciešams viens virziens ( jeb pirmais rangs), var viegli aprakstīt ar 3 × 1 kolonnas vektoru.

Turklāt īpašības, kurām nepieciešamas divas kārtas (otrā ranga tenzorus), var definēt ar deviņiem skaitļiem, jo 3×3 matricas vispārīgā gadījumā 3n koeficienti var aprakstīt n-tā ranga tenzoru.

Prasība pēc otrā ranga tenzoriem rodas tad, kad mums ir jādomā par vairāk nekā vienu virzienu, lai aprakstītu 1 no šiem fizikālajiem aspektiem.

Lielisks piemērs tam ir, ja mums ir nepieciešams pateikt kāda izotropa kristāla elektrisko vadītspēju. Mēs zinām, ka vispārīgi izotropiem vadītājiem, kuriem ir jāievēro Oma likums, ir j = σE. Tas nozīmē, ka strāvas blīvums j ir paralēls veltītajam elektriskajam laukam E un ka katra j daļa ir lineāri proporcionāla katram E elementam (piem., j1 = σE1).

Elektriskā lauka komponenti

Tomēr anizotropā materiālā inducētais strāvas blīvums ne vienmēr būs paralēls iesaistītajam elektriskajam laukam, jo kristālā ir dažādi strāvas plūsmas virzieni (lielisks piemērs tam ir grafīts). Tas liecina, ka kopumā katra esošā blīvuma vektora sastāvdaļa var balstīties uz visām esošā elektriskā lauka daļām.

Tātad vispārīgi, elektrovadītspēja ir 2. ranga tenzors, un to var noteikt ar deviņiem neatkarīgiem koeficientiem, ko var ilustrēt ar 3×3 matricu.

Tas nozīmē, ka strāvas blīvums j ir paralēls īpašajam elektriskajam laukam E un ka katra j daļa ir lineāri proporcionāla laukam.

Daži otrā ranga tenzoru piemēri

Daži citi otrā ranga tenzoru piemēri ir šādi:

• Elektriskā jutība
• Siltumvadītspēja
• Stress

Tie parasti saista vektoru ar citu vektoru vai citu divpakāpju tenzoru ar skalāru. Augstāka ranga tenzoriem uzdots pilnībā aprakstīt īpašības, kas stāsta par diviem otrā ranga tenzoriem (piemēram, stīvums (4. ranga): spriegums un deformācija) vai otrā ranga tenzoru un vektoru (piemēram, pjezoelektriskums (3. ranga): nemiers un polarizācija).

Lai apskatītu šos un citus piemērus un izpētītu, kā tenzoru komponenšu maiņa ietekmē šīs īpašības, izmantojiet zemāk redzamo zibatmiņas programmu.

Ievads tenzoros

Kas ir vektors?

Vektors ir viendimensiju skaitļu masīvs, matrica, kur m vai n ir vienāds ar 1. Līdzīgi kā ar matricu, arī ar vektoru var veikt dažādas matemātiskas darbības, un ir viegli reizināt matrices ar vektoriem un otrādi.

Tomēr par tenzoru var domāt kā par vispārinātu matricu, ko var aprakstīt tā rangs.

Tenzora rangs ir vesels skaitlis 0 vai lielāks. Tenzoru ar rangu 0 var atveidot ar skalāru, tenzoru ar rangu 1 var atveidot ar vektoru, bet tenzoru ar rangu 2 var atveidot ar matricu. Pastāv arī tenzores ar rangu 3 un augstāk, taču pēdējās ir grūtāk vizualizējamas.

Papildus rangam tenzoriem piemīt īpašas īpašības, kas saistītas ar to mijiedarbību ar citām matemātiskajām vienībām. Ja kāda no mijiedarbības vienībām pārveido citu vienību vai vienības, tad tenzoram ir jāpakļaujas līdzīgam pārveidošanas noteikumam.

Atšķirība starp vektoriem un tenzoriem

Vektors ir viendimensiju skaitļu masīvs, ko bieži dēvē par matricu, kur m vai n = viens.

Visi vektori parasti ir tenzori. Taču visi tenzori nevar būt vektori. Tas nozīmē, ka tenzori ir plašāk izplatīts objekts nekā vektors (stingri ņemot, lai gan matemātiķi tenzorus montē caur vektoriem). Tehniski tenzorus apraksta, izmantojot divus dažādus objektus:

• Vektori
• Vienformas ("duālie" vektori)

Vektori ir tikai tādi objekti, par kuriem jūs zināt, ko jebkuru divu no tiem saskaitīšana (vektoru saskaitīšana) norāda uz mērogu maiņu ( pazīstama arī kā skalārā reizināšana).

Vienai formai tāpat ir visi tie paši jēdzieni, turklāt tā var operēt ar vektoriem un pēc tam atgriezt skalārus. Par piemēriem var minēt: prototipiski piemēri ir Eiklīda vektori - telpas punkti.

Kā piemēru var minēt šādas vienveidlapas. magnētiskā potenciāla "vektors" (Tas nav "patiess" vektors) vai gradienta operators. .

Pievienojot citus atbilstošus pieņēmumus, visnozīmīgākā īpašība ir tāda, ka vienformas un vektori kaut kādā veidā pārveidojas, mainot koordinātas. Šīs ir tās īpašības, par kurām fiziķi visbiežāk uztraucas, konsultējoties par tādām lietām kā vispārējā relativitātes teorija.

Tensori kā matemātiski objekti ir "multilineāri" operatori; tas nozīmē, ka tie uzņem vektoru (un vienformu) kopas un atdod citu tenoru (pretstatā lineārajiem operatoriem, kas uzņem vektorus un atdod vektorus). Tiem ir dažādi lietojumi.

Pieņemsim, ka jūs vēlaties izprast tenzoru vispārējo teoriju. Tādā gadījumā jums vajadzētu saprast abstrakto algebru un neticami lineāro algebru), un, ja vēlaties izprast tenzoru aprēķinu, jums vajadzētu saprast arī diferencējamo daudzstūru teoriju.

Nobeiguma domas

Šajā rakstā jūs uzzinājāt, ka:

• Tensori ir daudzdimensiju masīvi ar atšķirīgām īpašībām.
• Ne katra daudzšķautņaina kolekcija ir tenzors.
• Vektors vienmēr ir viendimensiju tenzors, un viendimensiju tenzors vienmēr ir vai nu vektors, vai ko-vektors. Matrica ir divdimensiju tenzoriem dotais nosaukums.
• Vektors ir viendimensiju skaitļu masīvs, ko bieži dēvē par matricu, kur m vai n = 1. Vektoru, tāpat kā matricu, var izmantot dažādu matemātisku darbību izpildei, un ir vienkārši reizināt matrices ar vektoriem un otrādi.
• No otras puses, tenzoru var uztvert kā vispārinātu matricu, ko raksturo tās rangs.

Saistītie raksti

Burvis pret burvi (Kurš ir spēcīgāks?)

Dažādi steiku veidi (T-Bone, Ribeye, Tomahawk un Filet Mignon)

Cessna 150 un Cessna 152 atšķirības (salīdzinājums)