Ang mga tensor ay mga kumplikadong array na may partikular at iba't ibang katangian. Hindi lahat ng multifaceted na koleksyon ay tensor.

May dalawang uri ng one-dimensional tensor: Kabilang dito ang mga vector at co-vector. Maaaring katawanin ang alinman sa mga vector o co-vector bilang isang naa-access na hanay ng mga numero.

Ang pagkakaiba lang ay ang pagli-link sa dalawang iyon ay dumarating kapag mayroon kang iba't ibang mga digit na kumakatawan sa bagay sa isang batayan at gusto mong malaman kung anong mga numero ang nagpapagulo sa parehong bagay sa ibang lugar.

Ang mga palatandaan at panuntunan ng pagbabago ay bahagyang magkaiba para sa mga vector at co-vector. Ang mga vector at co-vector ay karaniwang "mga hanay ng mga numero" o "mga linya ng mga numero," ayon sa pagkakabanggit.

Pagkakaiba ng vector at tensor

Sa madaling sabi, ang isang vector ay palaging maging isang one-dimensional tensor; kung mayroon kang one-dimensional tensor, ito ay tiyak na vector o co-vector. Ang dalawang-dimensional na tensor ay kilala bilang mga matrice.

May apat na magkakaibang uri ng two-dimensional tensor, ngunit walang mga partikular na pangalan ang umiiral. Sa kaso ng mga vector, bahagyang naiiba ang mga panuntunan sa pagbabago kapag lumipat ka mula sa isang batayan patungo sa isa pa, ngunit walang mga partikular na pangalan para sa mga tensor na ito: ang mga ito ay mga matrice lamang.

Maaga o huli, maaari silang tawaging anuman two-dimensional array isang "matrix," kahit na ito ay hindi isang tensor. Muli, para sa higit pang mga detalye tungkol sa pagkakaiba sa pagitan ng array at tensor, sumanggunisa naunang talakayan.

Ano ang Dapat Malaman Tungkol sa Mga Tensor

Ang mga Tensor ay mga kumplikadong array na may partikular at iba't ibang katangian.

Ang mga tensor ay mga mathematical na bagay na maaaring gamitin upang ilarawan ang malalaking katangian, katulad ng mga scalar kasama ng mga vector. Ang mga tensor ay isang hinuha lamang ng mga scalar at vectors; ang scalar ay isang 0 rank tensor, at ang vector ay isang 1st rank tensor.

Ang ranggo ng isang tensor ay natutukoy sa pamamagitan ng bilang ng mga direksyon (at samakatuwid ang dimensionality ng array) na kinakailangan upang tukuyin ito. Halimbawa, ang mga property na nangangailangan ng isang diskarte ( o unang ranggo) ay madaling ilarawan ng isang 3×1 column vector.

Higit pa rito, ang mga property na nangangailangan ng dalawang order (second rank tensor) ay maaaring tukuyin ng siyam na numero, tulad ng sa isang 3×3 matrix general, 3n coefficients ay maaaring ilarawan ang nth rank tensor.

Ang pangangailangan para sa second-rank tensor ay dumarating kapag kailangan nating mag-isip ng higit sa isang direksyon upang ilarawan 1 sa mga pisikal na aspetong ito.

Ang isang perpektong halimbawa nito ay kung kailangan nating sabihin ang electrical conductivity ng anumang isotropic na kristal. Alam namin na sa pangkalahatan, ang mga isotropic conductor na nangangailangang sumunod sa batas ng Ohm at iyon ay; j=σE. Nangangahulugan ito na ang kasalukuyang densidad j ay parallel sa nakatalagang electric field, E at ang bawat bahagi ng j ay linearly proportional sa bawat elemento ng E. (hal., j1 = σE1).

Mga Bahagi ng Electric Field

Gayunpaman, ang kasalukuyang density na na-induce sa ang isang anisotropic na materyal ay hindi kinakailangang kahanay sa kasangkot na electric field dahil sa iba't ibang direksyon ng kasalukuyang daloy ng kristal (isang mahusay na halimbawa nito ay sa grapayt). Iminumungkahi nito na, sa pangkalahatan, ang bawat bahagi ng kasalukuyang density ng vector ay maaaring umasa sa lahat ng bahagi ng kasalukuyang electric field.

Kaya, sa pangkalahatan, ang electrical conductivity ay isang 2nd rank tensor at maaaring ayusin ng siyam na independent coefficient, na maaaring ilarawan sa isang 3×3 matrix.

Nangangahulugan ito na ang kasalukuyang densidad j ay parallel sa nakalaang electric field, E at ang bawat bahagi ng j ay linearly proportional sa bawat field.

Ilang Halimbawa ng Second Rank Tensors

Ilan pang halimbawa ng second rank tensors ay binubuo ng:

• Electric suceptibility
• Thermal conductivity
• Stress

Karaniwang iniuugnay nila ang isang vector sa isa pang vector o isa pang dual rank tensor sa isang scalar. Ang mga tensor na may mas mataas na rank ay inutusang ganap na ilarawan ang mga katangian na nagsasabi sa dalawang second-rank tensor (hal., Stiffness (4th rank): stress at strain) o isang second rank tensor at isang vector (hal., Piezoelectricity (3rd).ranggo): pagkabalisa at polarisasyon).

Upang tingnan ang mga ito at higit pang mga halimbawa at imbestigahan kung paano nakakaapekto ang pagbabago sa mga bahagi ng mga tensor sa mga katangiang ito, dumaan sa flash program sa ibaba.

Introduksyon sa mga tensor

Ano ang Vector?

Ang vector ay isang 1-dimensional na hanay ng mga numero, isang matrix kung saan ang m o n ay katumbas ng 1. Katulad ng isang matrix, posibleng magsagawa ng iba't ibang mathematical na operasyon sa isang vector, at madali itong multiply matrice na may mga vectors at vice versa.

Gayunpaman, ang isang tensor ay maaaring isipin bilang isang pangkalahatang matrix na maaaring ilarawan ng ranggo nito.

Ang antas ng isang tensor ay isang integer na numero na 0 o mas mataas. Ang scalar ay maaaring kumatawan sa isang tensor na may ranggo 0, ang isang tensor na may ranggo ng isa ay maaaring katawanin ng isang vector, at ang isang matrix ay maaaring kumatawan sa isang tensor ng ranggo ng dalawa. Mayroon ding mga tensor na nasa ikatlong ranggo at mas mataas, ang mga huli ay mas mahirap ilarawan sa isip.

Bilang karagdagan sa ranggo, ang mga tensor ay may mga partikular na katangian na nauugnay sa kung paano sila nakikipag-ugnayan sa isa't isa na mathematical entity. Kung binago ng alinman sa mga entity sa isang pakikipag-ugnayan ang ibang entity o entity, dapat sumunod ang tensor sa isang katulad na panuntunan sa pagbabago.

Pagkakaiba sa Pagitan ng Mga Vector at Tensor

Ang Vector ay isang- dimensional array ng mga numero, madalas na kilala bilang isang matrix, kung saan m o n = isa.

Ang lahat ng mga vector ay karaniwang mga tensor. Ngunit ang lahat ng mga tensor ay hindi maaaring maging mga vector. Itonangangahulugan na ang mga tensor ay isang mas malawak na bagay kaysa sa isang vector (mahigpit na pagsasalita, kahit na ang mga mathematician ay nagtitipon ng mga tensor sa pamamagitan ng mga vector). Teknikal na inilalarawan ang mga tensor sa pamamagitan ng dalawang magkaibang bagay:

• Mga Vector
• Mga One-form ("dalawahan" na mga vector)

Ang mga vector ay eksklusibong mga bagay kung saan alam mo kung ano ang ipinahihiwatig ng pagbibilang ng alinman sa dalawa sa mga ito (pagdaragdag ng vector) upang baguhin ito ng sukat (kilala rin bilang scalar multiplication).

Ang isang anyo, gayundin, ay mayroong lahat ng parehong mga paniwala; bukod doon, maaari itong gumana sa mga vector at pagkatapos ay ibalik ang mga scalar. Para sa mga halimbawa ay nasa pagkakasunud-sunod: Ang pinaka-prototypical na mga halimbawa ay kinabibilangan ng mga Euclidean vectors –mga punto ng espasyo.

Kasama sa mga halimbawa ang mga one-form ay ang magnetic potential na “vector” (Ito ay hindi isang “true” vector) o ang gradient operator .

Kapag nagdagdag ka ng iba pang naaangkop mga pagpapalagay, ang pinakamahalagang katangian ay ang mga one-form at vectors ay nagko-convert sa ilang paraan sa ilalim ng pagbabago ng mga coordinate. Ito ang mga pag-aari na madalas na inaalala ng mga physicist kapag kumukunsulta tungkol sa mga bagay tulad ng teorya ng pangkalahatang relativity.

Tensor, sa pamamagitan ng pagpahaba, dahil ang mga bagay sa matematika ay mga "multilinear" na operator; ibig sabihin, kumukuha sila ng mga hanay ng mga vector (at isang anyo) at nagbabalik ng isa pang tensor (kumpara sa mga linear na operator, na kumukuha ng mga vector at nagbabalik ng mga vector). Ang mga ito ay may iba't ibang gamit.

Kumbagagusto mong maunawaan ang pangkalahatang teorya ng mga tensor. Sa kasong iyon, dapat mong matanto ang abstract algebra at hindi kapani-paniwalang linear algebra), at kung mauunawaan mo ang tensor calculus, dapat mo ring maunawaan ang teorya ng differentiable manifold.

Mga Pangwakas na Kaisipan

Sa artikulong ito, natutunan mo na:

• Ang mga tensor ay mga multidimensional na array na may natatanging katangian.
• Hindi lahat ng multifaceted na koleksyon ay isang tensor.
• Ang vector ay palaging isang one-dimensional tensor, at isang one-dimensional tensor ay palaging alinman sa isang vector o isang co-vector. Ang matrix ay ang pangalang ibinigay sa dalawang-dimensional na tensor.
• Ang vector ay isang one-dimensional na hanay ng mga numero, kadalasang kilala bilang isang matrix, kung saan ang m o n = 1. Isang vector, tulad ng isang matrix, ay maaaring magamit upang magsagawa ng iba't ibang mga pagpapatakbong matematika, at ito ay simple upang i-multiply ang mga matrice na may mga vector at vice versa.
• Sa kabilang banda, ang isang tensor ay maaaring isipin bilang isang pangkalahatang matrix na inilarawan ayon sa ranggo nito.

Mga Kaugnay na Artikulo

Wizard vs. Warlock (Sino ang mas malakas?)

Iba't Ibang Uri ng Steak (T -Bone, Ribeye, Tomahawk, at Filet Mignon)

Mga Pagkakaiba sa Pagitan ng Cessna 150 at Cessna 152 (Paghahambing)