Les tenseurs sont des tableaux complexes qui possèdent des propriétés spécifiques et différentes. Toutes les collections à multiples facettes ne sont pas des tenseurs.

Il existe deux types de tenseurs unidimensionnels : les vecteurs et les covecteurs. Les vecteurs et les covecteurs peuvent être représentés sous la forme d'un tableau de nombres accessible.

La seule différence est que le lien entre les deux est établi lorsque l'on dispose d'une variété de chiffres représentant l'objet sur une base donnée et que l'on souhaite découvrir quels chiffres compliquent la même chose sur une base différente.

Les signes et les règles de transformation sont légèrement différents pour les vecteurs et les covecteurs. Les vecteurs et les covecteurs sont généralement des "colonnes de nombres" ou des "lignes de nombres", respectivement.

Différence entre vecteurs et tenseurs

En bref, un vecteur sera toujours un tenseur unidimensionnel ; si vous avez un tenseur unidimensionnel, il sera certainement soit un vecteur, soit un co-vecteur. Les tenseurs bidimensionnels sont connus sous le nom de matrices.

Dans le cas des vecteurs, les règles de transformation sont légèrement différentes lorsque l'on passe d'une base à une autre, mais il n'existe pas de nom spécifique pour ces tenseurs : il s'agit uniquement de matrices.

Tôt ou tard, on peut appeler "matrice" tout tableau à deux dimensions, même s'il ne s'agit pas d'un tenseur. Encore une fois, pour plus de détails sur la différence entre tableau et tenseur, reportez-vous à la discussion précédente.

Ce qu'il faut savoir sur les tenseurs

Les tenseurs sont des tableaux complexes qui possèdent des propriétés spécifiques et différentes.

Les tenseurs sont des objets mathématiques qui peuvent être utilisés pour décrire des propriétés substantielles, tout comme les scalaires et les vecteurs. Les tenseurs sont simplement une inférence des scalaires et des vecteurs ; un scalaire est un tenseur de rang 0, et un vecteur est un tenseur de rang 1.

Le rang d'un tenseur est identifié par le nombre de directions (et donc la dimensionnalité du tableau) nécessaires pour le définir. Par exemple, les propriétés qui nécessitent une seule approche (ou premier rang) peuvent être facilement décrites par un vecteur à colonnes 3×1.

De plus, les propriétés qui nécessitent deux ordres (tenseurs de second rang) peuvent être définies par neuf nombres, car dans une matrice générale 3×3, 3n coefficients peuvent décrire le nième tenseur de rang.

La nécessité de disposer de tenseurs de second rang apparaît lorsque nous devons envisager plus d'une direction pour décrire l'un de ces aspects physiques.

Nous savons qu'en termes généraux, les conducteurs isotropes doivent obéir à la loi d'Ohm, à savoir : j=σE. Cela signifie que la densité de courant j est parallèle au champ électrique dévolu, E, et que chaque partie de j est linéairement proportionnelle à chaque élément de E. (par exemple, j1 = σE1).

Composantes du champ électrique

Cependant, la densité de courant induite dans un matériau anisotrope ne sera pas nécessairement parallèle au champ électrique impliqué en raison des différentes directions du flux de courant dans le cristal (un excellent exemple est le graphite). Cela suggère que, en général, chaque composante du vecteur de densité existant peut s'appuyer sur toutes les parties du champ électrique présent.

Donc, d'une manière générale, La conductivité électrique est un tenseur de deuxième rang et peut être fixée par neuf coefficients indépendants, qui peut être illustrée par une matrice 3×3.

Cela signifie que la densité de courant j est parallèle au champ électrique dédié, E, et que chaque partie de j est linéairement proportionnelle au champ.

Quelques exemples de tenseurs de second rang

D'autres exemples de tenseurs de second rang comprennent :

• Susceptibilité électrique
• Conductivité thermique
• Le stress

Les tenseurs de rang plus élevé sont chargés de décrire complètement les propriétés qui font intervenir deux tenseurs de second rang (par exemple, la rigidité (4e rang) : contrainte et déformation) ou un tenseur de second rang et un vecteur (par exemple, la piézoélectricité (3e rang) : anxiété et polarisation).

Pour voir ces exemples et d'autres encore et étudier comment la modification des composantes des tenseurs affecte ces propriétés, parcourez le programme flash ci-dessous.

Introduction aux tenseurs

Qu'est-ce qu'un vecteur ?

Un vecteur est un tableau de nombres à une dimension, une matrice où m ou n est égal à 1. Comme pour une matrice, il est possible d'effectuer diverses opérations mathématiques sur un vecteur, et il est facile de multiplier des matrices par des vecteurs et vice versa.

Cependant, un tenseur peut être considéré comme une matrice généralisée que son rang peut décrire.

Le niveau d'un tenseur est un nombre entier de 0 ou plus. Un scalaire peut représenter un tenseur de rang 0, un tenseur de rang 1 peut être représenté par un vecteur, et une matrice peut représenter un tenseur de rang 2. Il existe également des tenseurs de rang 3 et plus, ces derniers étant plus difficiles à visualiser.

Outre le rang, les tenseurs ont des caractéristiques spécifiques liées à la manière dont ils interagissent avec d'autres entités mathématiques. Si l'une des entités dans une interaction transforme l'autre ou les autres entités, alors le tenseur doit obéir à une règle de transformation similaire.

Différence entre vecteurs et tenseurs

Un vecteur est un tableau unidimensionnel de nombres, souvent appelé matrice, où m ou n = un.

Tous les vecteurs sont généralement des tenseurs. Mais tous les tenseurs ne peuvent pas être des vecteurs, ce qui signifie que les tenseurs sont un objet plus répandu qu'un vecteur (à proprement parler, bien que les mathématiciens assemblent les tenseurs par l'intermédiaire des vecteurs). Les tenseurs sont techniquement décrits par deux objets différents :

• Vecteurs
• Formes simples (vecteurs "doubles")

Les vecteurs sont exclusivement des objets pour lesquels on sait ce que le comptage de deux d'entre eux (addition de vecteurs) indique au changement d'échelle (également connu sous le nom de multiplication scalaire).

Une forme, de même, possède toutes les mêmes notions ; en dehors de cela, elle peut opérer sur des vecteurs et retourner ensuite des scalaires. Les exemples les plus prototypiques sont les vecteurs euclidiens - points de l'espace.

Voici quelques exemples de formulaires uniques le "vecteur" du potentiel magnétique (ce n'est pas un "vrai" vecteur) ou l'opérateur de gradient .

Si l'on ajoute d'autres hypothèses appropriées, la propriété la plus importante est que les formes simples et les vecteurs se convertissent d'une manière ou d'une autre en cas de changement de coordonnées. Ce sont ces propriétés qui préoccupent le plus souvent les physiciens lorsqu'ils consultent sur des sujets tels que la théorie de la relativité générale.

Les tenseurs, par extension, en tant qu'objets mathématiques, sont des opérateurs "multilinéaires", c'est-à-dire qu'ils prennent des ensembles de vecteurs (et de formes simples) et renvoient un autre tenseur (par opposition aux opérateurs linéaires, qui prennent des vecteurs et renvoient des vecteurs).

Supposons que vous souhaitiez comprendre la théorie générale des tenseurs : dans ce cas, vous devez comprendre l'algèbre abstraite et, de manière incroyable, l'algèbre linéaire, et si vous voulez comprendre le calcul tensoriel, vous devez également comprendre la théorie des collecteurs différentiables.

Réflexions finales

Dans cet article, vous avez appris que :

• Les tenseurs sont des tableaux multidimensionnels dotés de propriétés distinctes.
• Toutes les collections à multiples facettes ne sont pas des tenseurs.
• Un vecteur est toujours un tenseur à une dimension, et un tenseur à une dimension est toujours soit un vecteur, soit un covecteur. Matrice est le nom donné aux tenseurs à deux dimensions.
• Un vecteur est un tableau unidimensionnel de nombres, souvent appelé matrice, où m ou n = 1. Un vecteur, comme une matrice, peut être utilisé pour exécuter une variété d'opérations mathématiques, et il est simple de multiplier des matrices par des vecteurs et vice versa.
• D'autre part, un tenseur peut être considéré comme une matrice généralisée décrite par son rang.

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