Tensorlar o'ziga xos va har xil xususiyatlarga ega bo'lgan murakkab massivlardir. Har bir ko'p qirrali to'plam tenzor emas.

Bir o'lchovli tensorlarning ikki turi mavjud: Bularga vektorlar va ko-vektorlar kiradi. Vektorlar yoki ko-vektorlar kirish mumkin bo'lgan raqamlar qatori sifatida ko'rsatilishi mumkin.

Yagona farq shundaki, bu ikkalasini bir-biriga bog'lash sizda ob'ektni bir asosda ifodalovchi turli raqamlar mavjud bo'lganda va qanday raqamlar bir xil narsani har xil asosda murakkablashtirishini bilmoqchi bo'lsangiz.

Transformatsiya belgilari va qoidalari vektorlar va kovektorlar uchun bir oz farq qiladi. Vektorlar va kovektorlar odatda mos ravishda "sonlar ustunlari" yoki "sonlar qatorlari" bo'ladi.

Vektor va tenzorlar farqi

Xulosa qilib aytganda, vektor har doim bo'ladi. bir o'lchovli tensor bo'lishi; Agar sizda bir o'lchovli tensor bo'lsa, u albatta vektor yoki kovektor bo'ladi. Ikki o'lchovli tensorlar matritsalar deb nomlanadi.

Ikki o'lchovli tensorlarning to'rt xil turi mavjud, ammo aniq nomlar mavjud emas. Vektorlar holatida, bir asosdan ikkinchisiga o'tganda transformatsiya qoidalari biroz farq qiladi, lekin bu tensorlar uchun maxsus nomlar yo'q: ular faqat matritsalardir.

Ertami kechmi, ularni istalgan deb atash mumkin. ikki o'lchovli massiv, hatto tenzor bo'lmasa ham, "matritsa". Yana massiv va tensor o'rtasidagi farq haqida batafsil ma'lumot olish uchun qarangoldingi muhokamaga.

Tensorlar haqida nimalarni bilish kerak

Tensorlar o'ziga xos va har xil xususiyatlarga ega bo'lgan murakkab massivlardir.

Tensorlar matematik ob'ektlar bo'lib, ular vektorlar bilan bir qatorda skalerlar kabi muhim xususiyatlarni tasvirlash uchun ishlatilishi mumkin. Tensorlar shunchaki skalerlar va vektorlarning xulosasi; skaler - 0 darajali tensor, vektor esa 1-darajali tensor.

Tenzorning darajasi aniqlash uchun zarur bo'lgan yo'nalishlar soni (va demak, massivning o'lchovliligi) bilan aniqlanadi. bu. Masalan, bitta yondashuvni (yoki birinchi darajali) talab qiladigan xususiyatlarni 3×1 ustun vektori bilan osongina tasvirlash mumkin.

Bundan tashqari, ikkita tartibni talab qiluvchi xususiyatlar (ikkinchi darajali tensorlar) tomonidan aniqlanishi mumkin: to'qqizta raqam, 3×3 umumiy matritsadagi kabi, 3n koeffitsientlari n-darajali tensorni tavsiflashi mumkin.

Ikkinchi darajali tensorlarga bo'lgan talab, tasvirlash uchun bir nechta yo'nalish haqida o'ylashimiz kerak bo'lganda paydo bo'ladi. Ushbu jismoniy jihatlardan 1 tasi.

Har qanday izotrop kristalning elektr o'tkazuvchanligini aytishimiz kerak bo'lsa, bunga mukammal misol bo'la oladi. Biz bilamizki, umumiy ma'noda, Ohm qonuniga bo'ysunishni talab qiladigan izotrop o'tkazgichlar va bu; j=sE. Bu shuni anglatadiki, j oqim zichligi ajratilgan elektr maydoni E ga parallel va j ning har bir qismi E. elementiga chiziqli proportsionaldir (masalan, j1 = sE1).

Elektr maydonining komponentlari

Biroq, induksiyalangan oqim zichligi anizotropik material kristalning oqim oqimining turli yo'nalishlari tufayli jalb qilingan elektr maydoniga parallel bo'lishi shart emas (buning ajoyib namunasi grafitda). Bu shuni ko'rsatadiki, umuman olganda, mavjud zichlik vektorining har bir komponenti mavjud elektr maydonining barcha qismlariga tayanishi mumkin.

Demak, umuman olganda, elektr o'tkazuvchanlik 2-darajali tensor bo'lib, to'qqizta mustaqil koeffitsient bilan o'rnatilishi mumkin uni 3×3 matritsada tasvirlash mumkin.

Bu shuni anglatadiki, j oqim zichligi ajratilgan elektr maydoni E ga parallel va j ning har bir qismi har bir maydonga chiziqli proportsionaldir.

Ikkinchi darajali tensorlarga ba'zi misollar

Ba'zi boshqa misollar Ikkinchi darajali tensorlar quyidagilardan iborat:

• Elektr sezgirligi
• Issiqlik o'tkazuvchanligi
• Stress

Ular odatda vektorni boshqa vektorga yoki boshqa ikki darajali tensorni skalerga bog'laydi. Yuqori darajali tensorlarga ikkita ikkinchi darajali tensorlarni (masalan, Qattiqlik (4-darajali): stress va kuchlanish) yoki ikkinchi darajali tensor va vektorni (masalan, Piezoelektrik (3-darajali)) aytib beradigan xususiyatlarni to'liq tavsiflash buyuriladi.daraja): tashvish va qutblanish).

Ushbu va boshqa misollarni ko'rish va tensorlarning tarkibiy qismlarining o'zgarishi ushbu xususiyatlarga qanday ta'sir qilishini o'rganish uchun quyidagi flesh-dasturni ko'rib chiqing.

Tenzorlarga kirish

Vektor nima?

Vektor - bu 1 o'lchovli sonlar massivi, m yoki n 1 ga teng bo'lgan matritsa. Matritsaga o'xshab vektor ustida turli matematik amallarni bajarish mumkin va uni bajarish oson. matritsalarni vektorlar bilan ko'paytiring va aksincha.

Biroq, tensorni uning darajasi tavsiflashi mumkin bo'lgan umumlashtirilgan matritsa sifatida qarash mumkin.

Tenzor darajasi 0 yoki undan yuqori butun sondir. Skayar 0 darajali tensorni, birinchi darajali tensorni vektor bilan va matritsa ikkinchi darajali tensorni ifodalashi mumkin. Uchinchi va undan yuqori darajali tenzorlar ham bor, ikkinchisini tasavvur qilish qiyinroq.

Runtga qo'shimcha ravishda, tensorlar bir-biri bilan qanday bog'liq bo'lgan o'ziga xos xususiyatlarga ega bo'lgan matematik ob'ektlar bilan o'zaro ta'siri. Agar o'zaro ta'sirdagi ob'ektlardan birortasi boshqa ob'ekt yoki ob'ektlarni o'zgartirsa, tensor shunga o'xshash transformatsiya qoidasiga bo'ysunishi kerak.

Vektorlar va tensorlar o'rtasidagi farq

Vektor bir- ko'pincha matritsa deb nomlanuvchi raqamlarning o'lchovli massivi, bu erda m yoki n = bir.

Barcha vektorlar odatda tenzorlardir. Ammo barcha tensorlar vektor bo'la olmaydi. Bubu tensorlar vektorga qaraganda kengroq ob'ekt ekanligini anglatadi (qat'iy aytganda, matematiklar tensorlarni vektorlar orqali yig'adilar). Tensorlar texnik jihatdan ikki xil ob'ekt orqali tavsiflanadi:

• Vektorlar
• Bir shaklli ("ikki" vektorlar)

Vektorlar faqat ob'ektlar bo'lib, ular uchun ulardan ikkitasini hisoblash (vektorlarni qo'shish) uning masshtabini o'zgartirishni ko'rsatadi (skalyar ko'paytirish deb ham ataladi).

Bitta shakllar ham xuddi shunday tushunchalarga ega; Bundan tashqari, u vektorlarda ishlay oladi va keyin skalerlarni qaytaradi. Misollar tartibda: Eng prototipli misollar Evklid vektorlari - fazo nuqtalarini o'z ichiga oladi.

Misollar orasida bitta shaklli magnit potentsial "vektor" (bu "haqiqiy" vektor emas) yoki gradient operatori .

Boshqa mos keladiganlarni qo'shsangiz. Taxminlarga ko'ra, eng muhim xususiyat shundaki, bitta shakl va vektorlar koordinatalar o'zgarishi ostida qandaydir tarzda aylanadi. Bu umumiy nisbiylik nazariyasi kabi narsalar haqida maslahatlashganda fiziklar ko'pincha tashvishlanadigan xususiyatlardir.

Tensorlar cho'zilish bo'yicha, chunki matematik ob'ektlar "ko'p chiziqli" operatorlardir; ya'ni ular vektorlar to'plamini (va bir shaklli) oladi va boshqa tensorni qaytaradi (chiziqli operatorlardan farqli o'laroq, vektorlarni qabul qiladi va vektorlarni qaytaradi). Bular turli xil foydalanishga ega.

Faraz qilayliktensorlarning umumiy nazariyasini tushunishni xohlaysiz. Bunday holda, siz mavhum algebra va ajoyib chiziqli algebrani tushunishingiz kerak) va agar siz tenzor hisobini tushunmoqchi bo'lsangiz, differensiallanuvchi manifoldlar nazariyasini ham tushunishingiz kerak.

Yakuniy fikrlar

Ushbu maqolada siz quyidagilarni bilib oldingiz:

• Tensorlar alohida xususiyatlarga ega bo'lgan ko'p o'lchovli massivlardir.
• Har bir ko'p qirrali to'plam tenzor emas.
• Vektor har doim bir o'lchovli tensor, bir o'lchovli tensor esa har doim ham vektor yoki ko-vektor. Matritsa ikki oʻlchovli tensorlarga berilgan nomdir.
• Vektor bir oʻlchovli sonlar massivi boʻlib, koʻpincha matritsa deb ataladi, bu yerda m yoki n = 1. Vektor, masalan. matritsadan turli xil matematik amallarni bajarish uchun foydalanish mumkin va matritsalarni vektorlar bilan ko'paytirish oson va aksincha.
• Boshqa tomondan, tenzorni shunday tasavvur qilish mumkin. o'z darajasiga ko'ra tavsiflangan umumlashtirilgan matritsa.

Tegishli maqolalar

Sehrgar va Warlock (Kim kuchli?)

Har xil biftek turlari (T -Bone, Ribeye, Tomahawk va Filet Mignon)

Cessna 150 va Cessna 152 o'rtasidagi farqlar (taqqoslash)