เทนเซอร์เป็นอาร์เรย์ที่ซับซ้อนซึ่งมีคุณสมบัติเฉพาะและแตกต่างกัน ไม่ใช่ทุกคอลเลคชันที่มีหลายแง่มุมจะเป็นเทนเซอร์

เทนเซอร์หนึ่งมิติมีอยู่ 2 ประเภท ได้แก่ เวกเตอร์และเวกเตอร์ร่วม เวกเตอร์หรือเวกเตอร์ร่วมสามารถแสดงเป็นอาร์เรย์ของตัวเลขที่สามารถเข้าถึงได้

ข้อแตกต่างเพียงอย่างเดียวคือการเชื่อมโยงสองสิ่งนี้เกิดขึ้นเมื่อคุณมีตัวเลขหลายตัวที่เป็นตัวแทนของออบเจกต์บนพื้นฐานเดียว และต้องการค้นหาว่าตัวเลขใดที่ทำให้สิ่งเดียวกันซับซ้อนบนพื้นฐานที่แตกต่างกัน

สัญลักษณ์และกฎของการแปลงรูปจะแตกต่างกันเล็กน้อยสำหรับเวกเตอร์และเวกเตอร์ร่วม เวกเตอร์และเวกเตอร์ร่วมมักจะเป็น "คอลัมน์ของตัวเลข" หรือ "บรรทัดของตัวเลข" ตามลำดับ

ความแตกต่างของเวกเตอร์และเทนเซอร์

กล่าวโดยย่อ เวกเตอร์จะ เป็นเทนเซอร์หนึ่งมิติ ถ้าคุณมีเทนเซอร์หนึ่งมิติ มันจะเป็นเวกเตอร์หรือเวกเตอร์ร่วมอย่างแน่นอน เมตริกซ์สองมิติเรียกว่าเมตริกซ์

เทนเซอร์สองมิติมีสี่ประเภทที่แตกต่างกัน แต่ไม่มีชื่อเฉพาะ ในกรณีของเวกเตอร์ กฎการแปลงจะแตกต่างกันเล็กน้อยเมื่อคุณย้ายจากฐานหนึ่งไปยังอีกฐานหนึ่ง แต่ไม่มีชื่อเฉพาะสำหรับเทนเซอร์เหล่านี้ พวกมันเป็นเพียงเมทริกซ์เท่านั้น

ไม่ช้าก็เร็ว จะเรียกว่าเป็นอะไรก็ได้ อาร์เรย์สองมิติเป็น "เมทริกซ์" แม้ว่าจะไม่ใช่เมตริกซ์ก็ตาม อีกครั้ง สำหรับรายละเอียดเพิ่มเติมเกี่ยวกับความแตกต่างระหว่างอาร์เรย์และเทนเซอร์ โปรดดูไปยังการสนทนาก่อนหน้านี้

สิ่งที่ต้องรู้เกี่ยวกับ Tensor

Tensor เป็นอาร์เรย์ที่ซับซ้อนซึ่งมีคุณสมบัติเฉพาะและแตกต่างกัน

เทนเซอร์เป็นวัตถุทางคณิตศาสตร์ที่สามารถใช้เพื่ออธิบายคุณสมบัติที่สำคัญ เช่นเดียวกับสเกลาร์และเวกเตอร์ เทนเซอร์เป็นเพียงการอนุมานของสเกลาร์และเวกเตอร์ สเกลาร์คือเทนเซอร์อันดับ 0 และเวกเตอร์คือเทนเซอร์อันดับ 1

อันดับของเทนเซอร์ระบุได้จากจำนวนทิศทาง (และด้วยเหตุนี้มิติของอาร์เรย์) ที่จำเป็นในการกำหนด มัน. ตัวอย่างเช่น คุณสมบัติที่ต้องการแนวทางเดียว (หรืออันดับแรก) สามารถอธิบายได้ง่ายด้วยเวกเตอร์คอลัมน์ 3×1

นอกจากนี้ คุณสมบัติที่ต้องการสองลำดับ (เทนเซอร์อันดับสอง) สามารถกำหนดได้โดย ตัวเลขเก้าตัว เช่นเดียวกับเมทริกซ์ 3×3 ทั่วไป ค่าสัมประสิทธิ์ 3n สามารถอธิบายเทนเซอร์อันดับ n ได้

ข้อกำหนดสำหรับเทนเซอร์อันดับสองเกิดขึ้นเมื่อเราต้องคิดถึงทิศทางมากกว่าหนึ่งทิศทางเพื่ออธิบาย ๑ ในกายลักษณะเหล่านี้.

ตัวอย่างที่สมบูรณ์แบบของสิ่งนี้คือ หากเราจำเป็นต้องบอกค่าการนำไฟฟ้าของผลึกไอโซทรอปิกใดๆ เรารู้ว่าโดยทั่วไปแล้ว ตัวนำแบบไอโซโทรปิกต้องเป็นไปตามกฎของโอห์ม นั่นคือ j=σE ซึ่งหมายความว่าความหนาแน่นกระแส j ขนานกับสนามไฟฟ้าที่กำหนด E และแต่ละส่วนของ j เป็นสัดส่วนเชิงเส้นตรงต่อองค์ประกอบของ E (เช่น j1 = σE1)

ส่วนประกอบของสนามไฟฟ้า

อย่างไรก็ตาม ความหนาแน่นกระแสที่เกิดขึ้นใน วัสดุแอนไอโซโทรปิกไม่จำเป็นต้องขนานกับสนามไฟฟ้าที่เกี่ยวข้องเนื่องจากทิศทางการไหลของกระแสที่ต่างกันของคริสตัล (ตัวอย่างที่ยอดเยี่ยมของสิ่งนี้คือในกราไฟต์) สิ่งนี้ชี้ให้เห็นว่าโดยทั่วไปแล้ว แต่ละส่วนประกอบของเวกเตอร์ความหนาแน่นที่มีอยู่สามารถพึ่งพาทุกส่วนของสนามไฟฟ้าปัจจุบันได้

โดยทั่วไปแล้ว การนำไฟฟ้าเป็นเมตริกซ์อันดับ 2 และสามารถคงที่ได้ด้วยค่าสัมประสิทธิ์อิสระ 9 ค่า ซึ่งสามารถแสดงได้ในเมทริกซ์ 3×3

ซึ่งหมายความว่าความหนาแน่นกระแส j ขนานกับสนามไฟฟ้าเฉพาะ E และทุกส่วนของ j เป็นสัดส่วนเชิงเส้นต่อสนาม

ตัวอย่างของ Tensors อันดับสอง

ตัวอย่างอื่นๆ ของเทนเซอร์อันดับสองประกอบด้วย:

• ความไวต่อไฟฟ้า
• การนำความร้อน
• ความเครียด

โดยทั่วไปแล้วความสัมพันธ์ระหว่างเวกเตอร์กับเวกเตอร์อื่นหรือเทนเซอร์อันดับคู่อื่นกับสเกลาร์ เทนเซอร์ที่มีอันดับสูงกว่าจะได้รับคำแนะนำให้อธิบายคุณสมบัติที่บอกเทนเซอร์อันดับสองสองตัว (เช่น ความแข็ง (อันดับ 4): ความเค้นและความเครียด) หรือเทนเซอร์อันดับสองและเวกเตอร์ (เช่น Piezoelectricity (อันดับ 3ระดับ): ความวิตกกังวลและโพลาไรเซชัน)

หากต้องการดูตัวอย่างเหล่านี้และอื่นๆ และตรวจสอบว่าการเปลี่ยนแปลงส่วนประกอบของเทนเซอร์ส่งผลต่อคุณสมบัติเหล่านี้อย่างไร ให้ไปที่โปรแกรมแฟลชด้านล่าง

ข้อมูลเบื้องต้นเกี่ยวกับเทนเซอร์

เวกเตอร์คืออะไร

เวกเตอร์คืออาร์เรย์ของตัวเลข 1 มิติ ซึ่งเป็นเมทริกซ์ที่ m หรือ n เท่ากับ 1 คล้ายกับเมทริกซ์ เป็นไปได้ที่จะดำเนินการทางคณิตศาสตร์ต่างๆ กับเวกเตอร์ และง่ายต่อการ คูณเมทริกซ์ด้วยเวกเตอร์และกลับกัน

อย่างไรก็ตาม เทนเซอร์อาจถูกมองว่าเป็นเมทริกซ์ทั่วไปที่สามารถอธิบายอันดับของมันได้

ระดับของเทนเซอร์คือจำนวนเต็ม 0 หรือสูงกว่า สเกลาร์สามารถแทนเทนเซอร์ที่มีอันดับ 0 เทนเซอร์ที่มีอันดับ 1 สามารถแทนด้วยเวกเตอร์ และเมทริกซ์สามารถแทนเทนเซอร์อันดับ 2 นอกจากนี้ยังมีเทนเซอร์ของอันดับสามและสูงกว่า ซึ่งอันหลังนั้นยากที่จะมองเห็น

นอกจากอันดับแล้ว เทนเซอร์ยังมีลักษณะเฉพาะที่เกี่ยวข้องกับวิธีที่พวกมันโต้ตอบกับเอนทิตีทางคณิตศาสตร์อื่นๆ ถ้าเอนทิตีใดในการโต้ตอบแปลงเอนทิตีหรือเอนทิตีอื่น เทนเซอร์จะต้องเป็นไปตามกฎการแปลงที่คล้ายกัน

ความแตกต่างระหว่างเวกเตอร์และเทนเซอร์

เวกเตอร์คือหนึ่ง- อาร์เรย์เชิงมิติของตัวเลข มักเรียกว่าเมทริกซ์ โดยที่ m หรือ n = หนึ่ง

เวกเตอร์ทั้งหมดมักจะเป็นเทนเซอร์ แต่เทนเซอร์ทั้งหมดไม่สามารถเป็นเวกเตอร์ได้ นี้หมายความว่าเทนเซอร์เป็นวัตถุที่แพร่หลายมากกว่าเวกเตอร์ (พูดอย่างเคร่งครัด แม้ว่านักคณิตศาสตร์จะประกอบเทนเซอร์ผ่านเวกเตอร์ก็ตาม) เทนเซอร์ได้รับการอธิบายทางเทคนิคผ่านวัตถุสองอย่างที่แตกต่างกัน:

• เวกเตอร์
• รูปแบบเดียว (“เวกเตอร์คู่”)

เวกเตอร์เป็นเพียงวัตถุที่คุณรู้ว่าการนับเวกเตอร์สองตัวใด (การบวกเวกเตอร์) บ่งชี้ถึงการเปลี่ยนมาตราส่วน (หรือที่เรียกว่าการคูณสเกลาร์)

รูปแบบเดียวก็มีแนวคิดเหมือนกันทั้งหมด นอกเหนือจากนั้น มันสามารถทำงานกับเวกเตอร์แล้วส่งคืนสเกลาร์ ตัวอย่างเรียงตามลำดับ: ตัวอย่างต้นแบบส่วนใหญ่ ได้แก่ เวกเตอร์แบบยุคลิด – จุดในอวกาศ

ตัวอย่างรวมถึงรูปแบบเดียวคือ เวกเตอร์" ศักย์แม่เหล็ก (ไม่ใช่เวกเตอร์ "จริง") หรือตัวดำเนินการไล่ระดับสี .

เมื่อคุณเพิ่มสิ่งอื่นๆ ที่เหมาะสม สมมติฐาน คุณสมบัติที่สำคัญที่สุดคือรูปแบบหนึ่งและเวกเตอร์แปลงในลักษณะบางอย่างภายใต้การเปลี่ยนแปลงของพิกัด คุณสมบัติเหล่านี้เป็นคุณสมบัติที่นักฟิสิกส์มักกังวลมากที่สุดเมื่อปรึกษาเกี่ยวกับสิ่งต่างๆ เช่น ทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป

เทนเซอร์โดยการยืด เนื่องจากวัตถุทางคณิตศาสตร์เป็นตัวดำเนินการ "หลายเส้น" กล่าวคือ พวกเขาใช้ชุดของเวกเตอร์ (และรูปแบบเดียว) และส่งคืนเทนเซอร์อีกตัว (ตรงข้ามกับตัวดำเนินการเชิงเส้น ซึ่งรับเวกเตอร์และส่งคืนเวกเตอร์) สิ่งเหล่านี้มีการใช้งานที่แตกต่างกัน

สมมติว่าคุณต้องการเข้าใจทฤษฎีทั่วไปของเทนเซอร์ ในกรณีนั้น คุณควรเข้าใจพีชคณิตนามธรรมและพีชคณิตเชิงเส้นอย่างไม่น่าเชื่อ) และถ้าคุณกำลังจะเข้าใจแคลคูลัสเทนเซอร์ คุณควรเข้าใจทฤษฎีของผลต่างมากมายด้วย

ความคิดสุดท้าย

ในบทความนี้ คุณได้เรียนรู้ว่า:

• Tensor คืออาร์เรย์หลายมิติที่มีคุณสมบัติต่างกัน
• ไม่ใช่ทุกคอลเลคชันที่มีหลายแง่มุมจะเป็นเทนเซอร์
• เวกเตอร์จะเป็นเทนเซอร์หนึ่งมิติเสมอ และเทนเซอร์หนึ่งมิติจะเป็นเทนเซอร์เสมอ ทั้งเวกเตอร์หรือเวกเตอร์ร่วม เมทริกซ์เป็นชื่อที่กำหนดให้กับเทนเซอร์สองมิติ
• เวกเตอร์คืออาร์เรย์ของตัวเลขหนึ่งมิติ มักรู้จักกันในชื่อเมทริกซ์ โดยที่ m หรือ n = 1 เวกเตอร์ เช่น เมทริกซ์สามารถใช้ในการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ได้หลากหลาย และการคูณเมทริกซ์ด้วยเวกเตอร์และในทางกลับกันก็เป็นเรื่องง่าย
• ในทางกลับกัน เทนเซอร์อาจถูกมองว่าเป็น เมทริกซ์ทั่วไปที่อธิบายโดยอันดับของมัน

บทความที่เกี่ยวข้อง

พ่อมด vs. วอร์ล็อค (ใครแข็งแกร่งกว่ากัน)

สเต็กประเภทต่างๆ (T -Bone, Ribeye, Tomahawk และ Filet Mignon)

ความแตกต่างระหว่าง Cessna 150 และ Cessna 152 (การเปรียบเทียบ)