Тензоры - это сложные массивы, обладающие специфическими и различными свойствами. Не каждая многогранная коллекция является тензором.

Существует два типа одномерных тензоров: векторы и ковекторы. Векторы и ковекторы могут быть представлены в виде доступного массива чисел.

Разница лишь в том, что связывать эти два понятия приходится тогда, когда у вас есть множество цифр, представляющих объект на одном основании, и вы хотите выяснить, какие цифры усложняют то же самое на каком-то другом основании.

Знаки и правила преобразования немного отличаются для векторов и ковекторов. Векторы и ковекторы обычно представляют собой "столбцы чисел" или "строки чисел", соответственно.

Разность векторов и тензоров

Короче говоря, вектор всегда будет одномерным тензором; если у вас есть одномерный тензор, он обязательно будет либо вектором, либо ковектором. Двумерные тензоры известны как матрицы.

Существует четыре различных типа двумерных тензоров, но конкретных названий не существует. В случае векторов правила преобразования немного отличаются при переходе от одного базиса к другому, но конкретных названий для этих тензоров не существует: это всего лишь матрицы.

Рано или поздно любой двумерный массив можно будет назвать "матрицей", даже если он не является тензором. Опять же, за более подробной информацией о разнице между массивом и тензором обратитесь к предыдущему обсуждению.

Что нужно знать о тензорах

Тензоры - это сложные массивы, обладающие специфическими и различными свойствами.

Тензоры - это математические объекты, которые могут быть использованы для описания существенных свойств, как и скаляры и векторы. Тензоры - это просто индукция скаляров и векторов; скаляр - это тензор 0-го ранга, а вектор - тензор 1-го ранга.

Ранг тензора определяется количеством направлений (и, следовательно, размерностью массива), необходимых для его определения. Например, свойства, требующие одного приближения (или первого ранга), могут быть легко описаны вектором столбцов 3×1.

Более того, свойства, требующие двух порядков (тензоры второго ранга), могут быть определены девятью числами, так как в общем случае матрицы 3×3 3n коэффициентов могут описывать тензор n-го ранга.

Потребность в тензорах второго ранга возникает, когда нам нужно подумать о более чем одном направлении для описания одного из этих физических аспектов.

Мы знаем, что в общем случае изотропные проводники должны подчиняться закону Ома, а именно: j=σE. Это означает, что плотность тока j параллельна напряженности электрического поля, E, и что каждая часть j линейно пропорциональна каждому элементу E. (например, j1 = σE1).

Компоненты электрического поля

Однако плотность тока, индуцированного в анизотропном материале, не обязательно будет параллельна вовлеченному электрическому полю из-за различных направлений протекания тока в кристалле (прекрасный пример этого - графит). Это говорит о том, что, в общем, каждая компонента существующего вектора плотности может опираться на все части существующего электрического поля.

Итак, в целом, электропроводность является тензором 2-го ранга и может быть зафиксирована девятью независимыми коэффициентами, что можно проиллюстрировать матрицей 3×3.

Это означает, что плотность тока j параллельна выделенному электрическому полю, E, и что каждая часть j линейно пропорциональна полю.

Некоторые примеры тензоров второго ранга

Некоторые другие примеры тензоров второго ранга включают в себя:

• Электрическая восприимчивость
• Теплопроводность
• Стресс

Они обычно связывают вектор с другим вектором или другой тензор двойного ранга со скаляром. Тензорам более высокого ранга предписано полностью описывать свойства, которые определяют два тензора второго ранга (например, жесткость (4 ранг): напряжение и деформация) или тензор второго ранга и вектор (например, пьезоэлектричество (3 ранг): беспокойство и поляризация).

Чтобы просмотреть эти и другие примеры и исследовать, как изменение компонентов тензоров влияет на эти свойства, пройдите флэш-программу ниже.

Введение в тензоры

Что такое вектор?

Вектор - это одномерный массив чисел, матрица, где m или n равно 1. Как и над матрицей, над вектором можно производить различные математические операции, а матрицы легко перемножать с векторами и наоборот.

Однако тензор можно рассматривать как обобщенную матрицу, которую может описывать ее ранг.

Уровень тензора - это целое число 0 или выше. Скаляр может представлять тензор с рангом 0, тензор с рангом 1 может быть представлен вектором, а матрица может представлять тензор с рангом 2. Существуют также тензоры с рангом 3 и выше, причем последние более сложны для визуализации.

В дополнение к рангу, тензоры имеют специфические характеристики, связанные с тем, как они взаимодействуют с другими математическими сущностями. Если любая из сущностей при взаимодействии преобразует другую сущность или сущности, то тензор должен подчиняться аналогичному правилу преобразования.

Разница между векторами и тензорами

Вектор - это одномерный массив чисел, часто называемый матрицей, где m или n = единица.

Все векторы обычно являются тензорами. Но все тензоры не могут быть векторами. Это означает, что тензоры - более распространенный объект, чем вектор (строго говоря, хотя математики собирают тензоры через векторы). Тензоры технически описываются с помощью двух различных объектов:

• Векторы
• Одноформы ("двойные" векторы)

Векторы - это исключительно объекты, для которых известно, что подсчет любых двух из них (сложение векторов) означает изменение масштаба (также известное как скалярное умножение).

Одна форма, аналогично, имеет все те же понятия; кроме того, она может оперировать векторами и возвращать скаляры. Примеры по порядку: Наиболее прототипичными примерами являются евклидовы векторы - точки пространства.

В качестве примера можно привести одноформные формы "вектор" магнитного потенциала (это не "настоящий" вектор) или оператор градиента .

Если добавить другие соответствующие предположения, то наиболее существенным свойством является то, что одноформы и векторы преобразуются определенным образом при изменении координат. Именно об этих свойствах чаще всего беспокоятся физики, когда консультируются по таким вопросам, как теория общей относительности.

Тензоры, как математические объекты, являются "мультилинейными" операторами, то есть они принимают наборы векторов (и единичных форм) и возвращают другой тензор (в отличие от линейных операторов, которые принимают векторы и возвращают векторы). Они имеют различное применение.

Предположим, вы хотите понять общую теорию тензоров. В этом случае вы должны понимать абстрактную алгебру и невероятно линейную алгебру), и если вы собираетесь понять тензорное исчисление, вы также должны понимать теорию дифференцируемых многообразий.

Заключительные размышления

В этой статье вы узнали, что:

• Тензоры - это многомерные массивы с различными свойствами.
• Не всякая многогранная коллекция является тензором.
• Вектор всегда является одномерным тензором, а одномерный тензор всегда является либо вектором, либо ковектором. Матрица - это название двумерных тензоров.
• Вектор - это одномерный массив чисел, часто известный как матрица, где m или n = 1. Вектор, как и матрица, может быть использован для выполнения различных математических операций, причем перемножать матрицы с векторами и наоборот очень просто.
• С другой стороны, тензор можно представить как обобщенную матрицу, описываемую ее рангом.

Похожие статьи

Волшебник против колдуна (Кто сильнее?)

Различные виды стейков (T-Bone, Ribeye, Tomahawk и Filet Mignon)

Различия между самолетами Cessna 150 и Cessna 152 (сравнение)