ટેન્સર એ જટિલ એરે છે જે ચોક્કસ અને અલગ ગુણધર્મો ધરાવે છે. દરેક બહુપક્ષીય સંગ્રહ ટેન્સર નથી.

બે પ્રકારના એક-પરિમાણીય ટેન્સર છે: આમાં વેક્ટર અને કો-વેક્ટરનો સમાવેશ થાય છે. ક્યાં તો વેક્ટર્સ અથવા કો-વેક્ટરને સંખ્યાઓના સુલભ એરે તરીકે રજૂ કરી શકાય છે.

ફક્ત એટલો જ તફાવત એ છે કે તે બેને લિંક કરવાનું ત્યારે આવે છે જ્યારે તમારી પાસે એક આધાર પર ઑબ્જેક્ટનું પ્રતિનિધિત્વ કરતા વિવિધ અંકો હોય અને તે જાણવા માંગતા હોય કે કઈ સંખ્યાઓ એક જ વસ્તુને અમુક અલગ જમીન પર જટિલ બનાવે છે.

પરિવર્તન ચિહ્નો અને નિયમો વેક્ટર અને કો-વેક્ટર માટે થોડા અલગ છે. વેક્ટર અને કો-વેક્ટર સામાન્ય રીતે અનુક્રમે "સંખ્યાઓની કૉલમ" અથવા "સંખ્યાઓની રેખાઓ" હોય છે.

વેક્ટર અને ટેન્સરનો તફાવત

ટૂંકમાં, વેક્ટર હંમેશા એક-પરિમાણીય ટેન્સર બનો; જો તમારી પાસે એક-પરિમાણીય ટેન્સર હોય, તો તે ચોક્કસ કાં તો વેક્ટર અથવા કો-વેક્ટર હશે. દ્વિ-પરિમાણીય ટેન્સર્સને મેટ્રિસિસ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.

દ્વિ-પરિમાણીય ટેન્સરના ચાર જુદા જુદા પ્રકારો છે, પરંતુ કોઈ ચોક્કસ નામો અસ્તિત્વમાં નથી. વેક્ટરના કિસ્સામાં, જ્યારે તમે એક આધારથી બીજા આધાર પર જાઓ છો ત્યારે પરિવર્તનના નિયમો થોડા અલગ હોય છે, પરંતુ આ ટેન્સર્સ માટે કોઈ ચોક્કસ નામ નથી: તે માત્ર મેટ્રિસિસ છે.

વહેલા કે પછીના સમયમાં, તેમને કોઈપણ કહી શકાય. દ્વિ-પરિમાણીય એરે "મેટ્રિક્સ," ભલે તે ટેન્સર ન હોય. ફરીથી, એરે અને ટેન્સર વચ્ચેના તફાવત વિશે વધુ વિગતો માટે, સંદર્ભ લોપહેલાની ચર્ચા માટે.

ટેન્સર્સ વિશે શું જાણવું

ટેન્સર એ જટિલ એરે છે જે ચોક્કસ અને અલગ ગુણધર્મો ધરાવે છે.

ટેન્સર એ ગાણિતિક પદાર્થો છે જેનો ઉપયોગ વેક્ટર્સ સાથે સ્કેલરની જેમ નોંધપાત્ર ગુણધર્મોનું વર્ણન કરવા માટે કરી શકાય છે. ટેન્સર એ ફક્ત સ્કેલર અને વેક્ટરનું અનુમાન છે; સ્કેલર એ 0 રેન્કનું ટેન્સર છે, અને વેક્ટર એ 1 લી રેન્કનું ટેન્સર છે.

ટેન્સરનો ક્રમ નિર્ધારિત કરવા માટે જરૂરી દિશાઓની સંખ્યા (અને તેથી એરેની પરિમાણીયતા) દ્વારા ઓળખવામાં આવે છે. તે ઉદાહરણ તરીકે, પ્રોપર્ટીઝ કે જેને એક અભિગમની જરૂર હોય છે (અથવા પ્રથમ ક્રમ) 3×1 કૉલમ વેક્ટર દ્વારા સરળતાથી વર્ણવી શકાય છે.

વધુમાં, ગુણધર્મો કે જેને બે ઓર્ડરની જરૂર હોય છે (સેકન્ડ રેન્ક ટેન્સર્સ) તે દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે નવ સંખ્યાઓ, જેમ કે 3×3 મેટ્રિક્સ સામાન્યમાં, 3n ગુણાંક nth રેન્ક ટેન્સરનું વર્ણન કરી શકે છે.

સેકન્ડ-રેન્ક ટેન્સરની જરૂરિયાત ત્યારે આવે છે જ્યારે આપણે વર્ણન કરવા માટે એક કરતાં વધુ દિશાઓ વિશે વિચારવાની જરૂર હોય આ ભૌતિક પાસાઓમાંથી 1.

જો આપણે કોઈપણ આઇસોટ્રોપિક સ્ફટિકની વિદ્યુત વાહકતા કહેવાની જરૂર હોય તો તેનું એક સંપૂર્ણ ઉદાહરણ છે. આપણે જાણીએ છીએ કે સામાન્ય રીતે, આઇસોટ્રોપિક વાહક કે જેને ઓહ્મના કાયદાનું પાલન કરવું જરૂરી છે અને તે છે; j=σE. આનો અર્થ એ છે કે વર્તમાન ઘનતા j સમર્પિત ઇલેક્ટ્રિક ફિલ્ડ, Eની સમાંતર છે અને j નો દરેક ભાગ E. (દા.ત., j1 = σE1) માટે રેખીય રીતે પ્રમાણસર છે.

ઇલેક્ટ્રિક ફિલ્ડના ઘટકો

જોકે, વર્તમાન ઘનતા પ્રેરિત ક્રિસ્ટલના વર્તમાન પ્રવાહની જુદી જુદી દિશાઓને કારણે એનિસોટ્રોપિક સામગ્રી સંકળાયેલ ઇલેક્ટ્રિક ક્ષેત્રની સમાંતર હોવી જરૂરી નથી (આનું ઉત્તમ ઉદાહરણ ગ્રેફાઇટમાં છે). આ સૂચવે છે કે, સામાન્ય રીતે, હાલના ઘનતા વેક્ટરના દરેક ઘટક વર્તમાન ઇલેક્ટ્રિક ક્ષેત્રના તમામ ભાગો પર આધાર રાખી શકે છે.

તેથી, સામાન્ય રીતે, વિદ્યુત વાહકતા એ 2જી રેન્ક ટેન્સર છે અને તેને નવ સ્વતંત્ર ગુણાંક દ્વારા નિશ્ચિત કરી શકાય છે, જેને 3×3 મેટ્રિક્સમાં દર્શાવી શકાય છે.

આનો અર્થ એ થાય છે કે વર્તમાન ઘનતા j સમર્પિત ઇલેક્ટ્રિક ફિલ્ડ, Eની સમાંતર છે અને j નો દરેક ભાગ પ્રતિ ફીલ્ડના રેખીય પ્રમાણમાં છે.

સેકન્ડ રેન્ક ટેન્સર્સના કેટલાક ઉદાહરણો

કેટલાક અન્ય ઉદાહરણો બીજા ક્રમના ટેન્સર્સનો સમાવેશ થાય છે:

• ઇલેક્ટ્રિક સંવેદનશીલતા
• થર્મલ વાહકતા
• સ્ટ્રેસ

તેઓ સામાન્ય રીતે વેક્ટરને અન્ય વેક્ટર અથવા અન્ય ડ્યુઅલ રેન્ક ટેન્સરને સ્કેલર સાથે સંબંધિત કરે છે. વધુ ઉચ્ચ ક્રમના ટેન્સરને એવા ગુણધર્મોનું સંપૂર્ણ વર્ણન કરવા સૂચના આપવામાં આવે છે જે બે બીજા-ક્રમાંકના ટેન્સર્સ (દા.ત., જડતા (ચોથો ક્રમ): તાણ અને તાણ) અથવા બીજા ક્રમના ટેન્સર અને વેક્ટર (દા.ત., પીઝોઈલેક્ટ્રીસીટી (3જી) જણાવે છે.રેન્ક): ચિંતા અને ધ્રુવીકરણ).

આ અને વધુ ઉદાહરણો જોવા અને ટેન્સરના ઘટકોને બદલવાથી આ ગુણધર્મોને કેવી રીતે અસર થાય છે તેની તપાસ કરવા માટે, નીચેના ફ્લેશ પ્રોગ્રામ પર જાઓ.

ટેન્સર્સનો પરિચય

વેક્ટર શું છે?

વેક્ટર એ સંખ્યાઓનો 1-પરિમાણીય એરે છે, એક મેટ્રિક્સ જ્યાં m અથવા n 1 બરાબર છે. મેટ્રિક્સની જેમ, વેક્ટર પર વિવિધ ગાણિતિક ક્રિયાઓ કરવી શક્ય છે, અને તે કરવું સરળ છે મેટ્રિસેસને વેક્ટર સાથે ગુણાકાર કરો અને તેનાથી વિપરિત.

જો કે, ટેન્સરને સામાન્યીકૃત મેટ્રિક્સ તરીકે વિચારી શકાય છે જે તેનું રેન્ક વર્ણવી શકે છે.

ટેન્સરનું સ્તર 0 અથવા તેથી વધુની પૂર્ણાંક સંખ્યા છે. સ્કેલર રેન્ક 0 સાથે ટેન્સરનું પ્રતિનિધિત્વ કરી શકે છે, રેન્ક વન સાથેના ટેન્સરને વેક્ટર દ્વારા રજૂ કરી શકાય છે, અને મેટ્રિક્સ રેન્ક બેના ટેન્સરને રજૂ કરી શકે છે. ત્રણ અને ઉચ્ચ ક્રમના ટેન્સર્સ પણ છે, બાદમાંની કલ્પના કરવી વધુ મુશ્કેલ છે.

રેન્ક ઉપરાંત, ટેન્સર્સ એકબીજાની ગાણિતિક એકમો સાથે કેવી રીતે ક્રિયાપ્રતિક્રિયા કરે છે તેનાથી સંબંધિત વિશિષ્ટ લક્ષણો ધરાવે છે. જો ક્રિયાપ્રતિક્રિયામાંની કોઈપણ એન્ટિટી અન્ય એન્ટિટી અથવા એન્ટિટીને રૂપાંતરિત કરે છે, તો ટેન્સરે સમાન પરિવર્તન નિયમનું પાલન કરવું જોઈએ.

વેક્ટર અને ટેન્સર વચ્ચેનો તફાવત

વેક્ટર એ એક- સંખ્યાઓની પરિમાણીય એરે, ઘણીવાર મેટ્રિક્સ તરીકે ઓળખાય છે, જ્યાં m અથવા n = one.

બધા વેક્ટર સામાન્ય રીતે ટેન્સર હોય છે. પરંતુ બધા ટેન્સર્સ વેક્ટર હોઈ શકતા નથી. આમતલબ કે ટેન્સર્સ વેક્ટર કરતાં વધુ વ્યાપક પદાર્થ છે (સખત રીતે કહીએ તો, ગણિતશાસ્ત્રીઓ વેક્ટર દ્વારા ટેન્સરને ભેગા કરે છે). ટેન્સર્સનું તકનીકી રીતે બે અલગ-અલગ ઑબ્જેક્ટ દ્વારા વર્ણન કરવામાં આવે છે:

• વેક્ટર
• એક-સ્વરૂપ ("દ્વિ" વેક્ટર)

વેક્ટર્સ એ ફક્ત એવા પદાર્થો છે કે જેના માટે તમે જાણો છો કે તેમાંના કોઈપણ બેની ગણતરી (વેક્ટર ઉમેરણ) તેને માપ-બદલવા માટે શું સૂચવે છે (સ્કેલર ગુણાકાર તરીકે પણ ઓળખાય છે).

એક સ્વરૂપમાં, એ જ રીતે, બધા સમાન વિચારો ધરાવે છે; તે સિવાય, તે વેક્ટર પર કામ કરી શકે છે અને પછી સ્કેલર પરત કરી શકે છે. ઉદાહરણો માટે ક્રમમાં છે: સૌથી વધુ પ્રોટોટાઇપિકલ ઉદાહરણોમાં યુક્લિડિયન વેક્ટર – અવકાશના બિંદુઓનો સમાવેશ થાય છે.

ઉદાહરણોમાં એક-સ્વરૂપનો સમાવેશ થાય છે ચુંબકીય સંભવિત "વેક્ટર" (તે "સાચું" વેક્ટર નથી) અથવા ગ્રેડિયન્ટ ઓપરેટર .

જ્યારે તમે અન્ય યોગ્ય ઉમેરો છો ધારણાઓ, સૌથી નોંધપાત્ર ગુણધર્મ એ છે કે એક-સ્વરૂપ અને વેક્ટર કોઓર્ડિનેટ્સના ફેરફાર હેઠળ અમુક રીતે રૂપાંતરિત થાય છે. સામાન્ય સાપેક્ષતાના સિદ્ધાંત જેવી બાબતો વિશે સલાહ લેતી વખતે ભૌતિકશાસ્ત્રીઓ મોટે ભાગે ચિંતિત હોય છે.

ટેન્સર્સ, વિસ્તરણ દ્વારા, કારણ કે ગાણિતિક પદાર્થો "બહુરેખીય" ઓપરેટર છે; આ કહેવાનો અર્થ એ છે કે, તેઓ વેક્ટર (અને એક-સ્વરૂપ) ના સેટમાં લે છે અને અન્ય ટેન્સર પરત કરે છે (રેખીય ઓપરેટરોથી વિપરીત, જે વેક્ટર લે છે અને વેક્ટર પરત કરે છે). આના વિવિધ ઉપયોગો છે.

ધારો કેતમે ટેન્સર્સના સામાન્ય સિદ્ધાંતને સમજવા માંગો છો. તે કિસ્સામાં, તમારે અમૂર્ત બીજગણિત અને અવિશ્વસનીય રીતે રેખીય બીજગણિત સમજવું જોઈએ), અને જો તમે ટેન્સર કેલ્ક્યુલસને સમજવા જઈ રહ્યાં છો, તો તમારે ડિફરન્સિએબલ મેનીફોલ્ડ્સની થિયરી પણ સમજવી જોઈએ.

અંતિમ વિચારો

આ લેખમાં, તમે શીખ્યા છો કે:

• ટેન્સર્સ અલગ ગુણધર્મો સાથે બહુપરીમાણીય એરે છે.
• દરેક બહુમુખી સંગ્રહ ટેન્સર નથી.
• વેક્ટર હંમેશા એક-પરિમાણીય ટેન્સર હોય છે, અને એક-પરિમાણીય ટેન્સર હંમેશા હોય છે ક્યાં તો વેક્ટર અથવા કો-વેક્ટર. મેટ્રિક્સ એ દ્વિ-પરિમાણીય ટેન્સરને આપવામાં આવેલું નામ છે.
• વેક્ટર એ સંખ્યાઓની એક-પરિમાણીય શ્રેણી છે, જેને ઘણીવાર મેટ્રિક્સ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે, જ્યાં m અથવા n = 1. વેક્ટર, જેમ કે મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ વિવિધ ગાણિતિક ક્રિયાઓ કરવા માટે થઈ શકે છે અને મેટ્રિક્સને વેક્ટર વડે ગુણાકાર કરવો સરળ છે અને તેનાથી ઊલટું.
• બીજી તરફ, ટેન્સરની કલ્પના કરી શકાય છે તેના રેન્ક દ્વારા વર્ણવેલ સામાન્યીકૃત મેટ્રિક્સ.

સંબંધિત લેખો

વિઝાર્ડ વિ. વોરલોક (કોણ મજબૂત છે?)

સ્ટીક્સના વિવિધ પ્રકારો (ટી -બોન, રિબેય, ટોમાહોક અને ફાઇલેટ મિગ્નોન)

સેસ્ના 150 અને સેસ્ના 152 (સરખામણી) વચ્ચેના તફાવતો